A.2.1 Quantificateur
Le quantificateur (CAN) dans la boucle du modulateur Σ∆ effectue la transition entre le monde analogique et le monde numérique en quantifiant le signal en entrée sur un nombre de bits fini Nb. Le quantificateur est un élément non linéaire : deux signaux à l’entrée du quantificateur dont la différence en valeur absolue est inférieure à q
2 sont représentés par la même valeur en sortie, q est le pas de quantification. Par conséquent, la fonction de quantification est une fonction irréversible. En supposant le bruit de quantification uniformément distribué dans ces segments, sa puissance moyenne est égale à sa variance [23, 45, 64]. Le bruit de quantification est assimilé à un bruit blanc si les conditions de Bennett [28] sont respectées :
1. le quantificateur ne sature pas,
2. les niveaux de quantification sont suffisamment grands et équi-répartis dans l’intervalle de fonctionnement,
3. l’amplitude du signal d’entrée est uniformément répartie sur toute la plage d’utilisation.
Fig. A.2 – Bruit de quantification dans le cas d’une conversion, (a) à la fréquence de Nyquist, (b) avec suréchantillonnage, (c) sigma-delta.
A.2. Concepts élémentaires de la conversion Σ∆ 145 Dans ce cas, la densité spectrale de puissance Γ(f) est constante et uniformément répartie entre −fe
2 et +fe
2 (figure A.2 a), (fe étant la fréquence d’échantillonnage). Elle s’exprime par : Z fe 2 −fe 2 Γ(f )df = σ2ε(n)⇒ Γ(f) = σ 2 ε(n) fe = q2 12fe
Pour un signal sinusoïdale en entrée occupant la plage d’amplitude [−ymax. . . +ymax], la puis-sance de bruit s’exprime, en normalisant le signal d’entrée par rapport à ymax, par :
Pbruit= σε(n)2 =q 2 12= 1 12 2 2Nb− 1 2
Pour un nombre de bits élevé (Nb ≥ 3), la puissance de bruit est approchée par l’equation : Pbruit= 1 12 2 2Nb− 1 2 ≈ 1 12 2 2Nb 2 = 1 3 × 4Nb Dans ce cas, la densité spectrale de bruit s’exprime par :
Γ(f ) = Pbruit
fe =
1
3 × 4Nbfe (A.1)
Le rapport signal sur bruit maximal SNRmax (Signal to Noise Ratio) est donné par : Psignal = y 2 max 2 Pbruit = q 2 12 ≈ 121 2ymax 2Nb 2 (A.2) SN Rmax(dB) = 10log Psignal
Pbruit
= 1.76 + 6.02Nb Selon l’équation A.2, un bit supplémentaire du CAN augmente le SNR de 6 dB.
A.2.2 Suréchantillonnage
Le suréchantillonnage consiste à échantillonner le signal d’entrée du convertisseur de boucle à une fréquence très grande par rapport à la fréquence de Nyquist fN (fN= 2fB, fB est largeur de bande du signal). Cette opération permet :
– d’étaler la puissance de bruit de quantification sur une gamme de fréquence plus large (figure A.2 (b)) en diminuant ainsi la puissance de bruit dans la bande du signal utile et par conséquent améliorer la résolution,
– de diminuer les contraintes sur le filtre anti-repliement à l’entrée du convertisseur en aug-mentant la zone de transition.
Si on échantillonne le signal d’entrée à une fréquence K fois supérieure à la fréquence de Nyquist, on va alors diviser la densité spectrale de puissance par K qui va cette fois s’étaler entre ±K fN
2
(figure A.2 (b)). Le SNR dans ce cas s’exprime par : Pbruit = q
2
12K
SN Rmax(dB) = 10Log Psignal Pbruit
146 A. Modulateur sigma-delta On appelle K le rapport de suréchantillonnage qui est souvent noté OSR (Over Sampling Ratio) et défini par :
OSR = fe fN =
fe
2fB (A.3)
où fB est la bande utile du système.
Par exemple, si on utilise un OSR égal à 4, cela revient à diminuer le bruit de quantification dans la bande de 6 dB d’où un gain de 1 bit. Une augmentation de résolution de 10 bits revient à échantillonner le signal à une fréquence égale à 106fN. Le suréchantillonnage permet d’aug-menter la résolution effective d’un quantificateur. Toutefois, pour des raisons technologiques et de consommation, la fréquence d’échantillonnage ne peut être augmentée indéfiniment. Ainsi à fréquence de suréchantillonnage maximale, c’est l’ordre du filtre de boucle du modulateur qui devra être augmenter pour accroître les performances. C’est ce que nous abordons plus en détails au paragraphe suivant.
A.2.3 Principe de fonctionnement
Comme nous l’avons évoqué en introduction de cette annexe, le modulateur Σ∆ (figure A.1) est composé d’un filtre de boucle qui réalise la mise en forme du bruit de quantification, d’un quantificateur et d’une boucle de rétroaction avec un CNA. Ainsi, la sortie quantifiée est soustraite du signal d’entrée. Le filtre de boucle sert à minimiser l’écart moyen entre le signal d’entrée et sa valeur quantifiée ; de cette manière, le signal de sortie va tendre à suivre l’évolution du signal d’entrée. Ce filtre joue un double rôle : comme dans toute rétroaction, il assure le gain dans la boucle et détermine en plus la bande passante du bruit rejeté. Ce filtre peut être un filtre passe-bas (intégrateur) ou passe-bande (résonateur). Généralement, l’ordre du modulateur (L) est défini par celui du filtre de boucle. Celui-ci est directement lié au nombre d’intégrateurs ou de résonateurs (m) qu’il contient :
L =
m filtre passe-bas 2m filtre passe-bande
Plus l’ordre du modulateur augmente, moins le bruit est important dans la bande ce qui améliore la résolution du modulateur. Cependant, dès que le nombre d’intégrateurs ou de résonateurs (m) est supérieur à 2, on risque d’avoir des problèmes de stabilité du modulateur [23]. Plus la réso-lution du CAN est grande, meilleure est la précision du modulateur Σ∆. Cependant, le nombre de niveaux du CNA dans le chemin de retour augmente. Ceci a pour effet d’induire des erreurs de non-linéarité non négligeables qui vont dégrader les performances globales du modulateur. Les premiers modulateurs réalisés étaient des modulateurs monobit du fait de leur simplicité et de leur linéarité. Aujourd’hui, la réalisation des modulateurs multibits devient une priorité pour obtenir des performances qui ne peuvent jamais être atteintes au moyen de structures monobit. En résumé un modulateur Σ∆ est caractérisé par les paramètres suivants :
– le type de réalisation : discret ou continu,
– le type du filtre de boucle : passe-bas ou passe-bande, – la résolution du CAN (Nb),
– la fréquence de suréchantillonnage (fe), – le facteur de suréchantillonnage (OSR = fe
2fB), – l’ordre (L).
A.3. Le modulateur Σ∆ passe-bande 147