4.5 Détermination des bandes de fonctionnement à partir de la puissance de bruit
4.5.2 Algorithme d’adaptation du traitement numérique
¯ ¯ k = 3 ,4 k = 3 k = 4 T4(fr4) f3 t ft4 f4 ropt
Fig. 4.12 – Critère d’optimisation T4 fr4. L’allure de T4 f4
r est convexe. Son minimum est atteint à la fréquence d’intersection entre NTF3 et NTF4. Cette fréquence d’intersection est la valeur optimale de f4
r, elle est notée dans l’algorithme d’adaptation par f4
ropt. Nous avons vérifié également que l’allure de T4 fr4 ne change pas si on tient compte de la réponse fréquentielle du filtre passe-bas Gk
pb(z). NB : Le module de la fonction T4 f4
r sur la figure 4.12 a été multiplié par 103 pour la mettre à l’échelle par rapport au tracé des modules des NTF et montrer que son minimum est atteint au point d’intersection entre les deux NTF.
La puissance de bruit totale exprimée par la formule (4.11) est composée de deux termes constant et d’un terme dépendant des fréquences limites fk
r. La recherche des valeurs optimales de ces fréquences minimisant la puissance de bruit totale peut se faire pour chaque fréquence fk
r séparément. En effet, pour une fréquence fk
r donnée, la variation de la puissance de bruit en fonction de fk
r présente la même allure que Tk frk sachant que les autres fréquences fk r sont maintenues fixes (équation (4.11)). Cette constatation constitue l’idée sur laquelle se base l’al-gorithme d’adaptation du traitement numérique aux imperfections des composants analogiques dont la description complète sera détaillée au paragraphe suivant.
4.5.2 Algorithme d’adaptation du traitement numérique
Le but de l’algorithme d’adaptation est de déterminer les bandes de fonctionnement
LkB = 2 × ∆fk|k=0...N+1 de façon à minimiser la puissance de bruit de quantification résiduelle en sortie de l’architecture EFBD. Nous avons vu ci-dessus que la puissance de bruit dépend des fréquences limites fk
r entre les bandes de fonctionnement et que cette puissance est minimale quand les fréquences fk
r sont égales à la fréquence d’intersection entre les fonctions de mise en forme de bruit (NTF) des modulateurs adjacents.
86
4. Architecture EFBD : une architecture robuste aux imperfections de l’analogique – L’algorithme se base sur le calcul de la puissance de bruit totale Pbruit_totale en sortie. De ce fait, l’entrée de l’architecture EFBD est reliée à la masse pour n’avoir que ce bruit en sortie. Un générateur de bruit monobit (dither) est toujours présent à l’entrée du CAN dans la boucle du modulateur afin de régler le problème des cycles limites (voir annexe C, § C.5.1).
– L’erreur maximale sur les fréquences centrales des résonateurs ne doit pas excéder NB afin de garantir une bonne performance de l’architecture EFBD.
– Les fréquences limites fk
r peuvent être quantifiées avec un pas qf = 10−3fe(voir § 4.3) sans dégradation notable de la performance. Avec cette quantification, la bande du signal utile de l’exemple utilisé au cours de cette thèse (voir tableau 3.1) B = [0.2, 0.3] × Fereprésente 102 pas de quantification (⌈0.1/qf⌉ = 102) et la largeur de chaque sous-bande, dans le cas idéal, vaut 12 ou 13 pas de quantification (l 0.1
N×qf m
). Étant donné que l’erreur maximale sur les fréquences centrales ne doit pas excéder NB , la largeur de bande de fonctionnement définie par Lk
B= 2 × ∆fk varie entre 0 et 25qf. Ceci permet d’avoir des filtres FIR pré-calculés stockés dans une mémoire ROM (figure 4.13, ROM3).
Fig. 4.13 – Traitement complexe derrière chaque modulateur. L’algorithme d’adaptation consiste à :
1. mettre l’entrée de l’architecture EF BD à la masse (figure 4.14), 2. initialiser les valeurs de fck, ∆fk k=0...N+1 à leurs valeurs théoriques, 3. faire varier chaque fréquence fk
r k=1...N+1 entre fk−1 r et fk+1 r en posant : fr0 = f1 frN +2= f2 fk r ≤ fk+1 r (4.12)
4.5. Détermination des bandes de fonctionnement à partir de la puissance de
bruit 87
– les séquences de modulation et de démodulation à partir de la fréquence fk
c exprimée par : fck= frk−1+ f k r 2 k=1...N +1 (4.13) – les largeurs de bande des filtres passe-bas définies par :
∆fk= f k r − fk−1 r 2 k=1...N +1 (4.14) 5. estimer la puissance de bruit en sortie à partir de :
ˆ Pbruit(i) = 1 Ns Ns X n=0 "N +1 X k=0 Ik[n]2+ Qk[n]2 # (4.15) où Ns est le nombre d’échantillons permettant d’estimer la puissance. Ik et Qk sont les sorties en phase et en quadrature de phase à la sortie de chaque k-ième étage de traite-ment (figure 4.13). Le calcul de ˆPbruit se fait d’une façon itérative à la récolte de chaque échantillon et n’exige pas d’importantes resources matérielles.
6. après plusieurs itérations, choisir la fréquence fk
r pour laquelle la puissance ˆPbruitest mini-male.
Fig. 4.14 – Schéma fonctionnel de l’algorithme d’adaptation numérique. L’organigramme de cet algorithme est représenté par la figure 4.15.
On appellera séquence l’ensemble des puissances de bruit mesurées après la calibration de cha-cune des fréquences fk
r
k=1...N+1. Elle est de longueur N + 1 (9 dans notre exemple). L’exécution de l’algorithme (figure 4.15) permet de générer une séquence.
La puissance de bruit en sortie est estimée à partir d’un nombre fini d’échantillon Ns. Ceci introduit une erreur dans l’estimation de la vraie valeur de la puissance de bruit et influence la vitesse de convergence de l’algorithme vers les valeurs optimales fk
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4. Architecture EFBD : une architecture robuste aux imperfections de l’analogique
Fig. 4.15 – Organigramme de l’algorithme d’adaptation numérique basé sur la minimisation de la puissance de bruit.
4.5. Détermination des bandes de fonctionnement à partir de la puissance de
bruit 89
Nous avons appliqué l’algorithme d’adaptation à l’architecture EFBD (figure 4.3) composé de 10 modulateurs sur lesquels nous avons imposé un décalage des fréquences centrales des résonateurs de +B
2N. Comme pour les autres méthodes, l’algorithme peut s’appliquer « Off Line » ou « On Line » :
Calcul en temps différé « Off Line »
les signaux en sortie xk[n] des différents modulateurs (figure 4.14) de Ns échantillons sont stockés en mémoire. Ensuite, ces signaux en mémoire seront utilisés à chaque itération de l’al-gorithme d’adaptation. La figure 4.16 présente trois séquences de l’ENOB (calculées à partir de la puissance estimée ˆPbruit) de l’algorithme d’adaptation (l’algorithme a été exécuté 3 fois successivement) avec un nombre d’échantillons de 212.
0 5 10 15 20 25 30 11 11.5 12 12.5 13 13.5 Itération E N O B (b it s)
Séquence 1 Séquence 2 Séquence 3
Fig. 4.16 – Évolution de l’ENOB pour l’algorithme d’adaptation avec Ns= 212 en temps différé. Nous remarquons que la convergence est atteinte à la fin de la première séquence. La convergence vers les vraies valeurs fk
r est déduite de la convergence de la résolution ENOB vers sa valeur théorique qui est égale dans notre exemple à 13.3 bits.
Calcul en temps réel « On Line »
Afin d’éviter l’utilisation d’une mémoire pour le stockage de l’ensemble des valeurs xk[n], pour chaque itération de l’algorithme, l’estimation de la puissance de bruit se fait de façon itérative par la formule (4.15) à la récolte de chaque échantillon xk[n] sur un nombre d’échantillons Ns. Les figures 4.17 et 4.18 présentent l’évolution de la résolution (ENOB) en fonction du nombre d’itérations de l’algorithme et ceci pour une estimation de la puissance ˆPbruitrespectivement sur 212 et 214 échantillons.
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4. Architecture EFBD : une architecture robuste aux imperfections de l’analogique 0 5 10 15 20 25 30 11 11.5 12 12.5 13 13.5 Itération E N O B (b it s)
Séquence 1 Séquence 2 Séquence 3
Résolution théorique
Fig. 4.17 – Évolution de l’ENOB pour l’algorithme d’adaptation avec Ns= 212 en temps réel.
0 5 10 15 20 25 30 11 11.5 12 12.5 13 13.5 Itération E N O B (b it s)
Séquence 1 Séquence 2 Séquence 3
Résolution théorique
Fig. 4.18 – Évolution de l’ENOB pour l’algorithme d’adaptation avec Ns= 214 en temps réel. Nous remarquons que la convergence est assurée à la fin de la troisième séquence même avec l’introduction d’une erreur aléatoire sur les fréquences centrales comme celle présentée sur la
4.6. Calibration de la STF des modulateurs Σ∆ 91