2.2 Architecture à entrelacement temporel
2.2.6 Architecture à entrelacement temporel à base de modulateurs Σ∆ passe-haut 28
La présence de bruit basses fréquences dans les modulateurs Σ∆ passe-bas est incontournable. L’élimination de ce bruit est une préoccupation majeure à cause de la dégradation de la réso-lution du convertisseur qu’il provoque. Une technique a été proposée dans [35] pour résoudre ce problème. Cette technique consiste à multiplier le signal d’entrée du modulateur par la séquence cos(πn). Ceci a pour effet de translater le signal d’entrée vers les hautes fréquences autour de la fréquence fe
2. Ensuite le signal est traité tout en étant à l’écart du bruit basses fréquences. Puis, il est multiplié par la même séquence pour la ramener de nouveau en basses fréquences.
Dans le cadre de l’architecture TIΣ∆, une architecture à base de modulateurs Σ∆ passe-haut, inspirée de la technique décrite ci-dessus, a été proposée dans [6]. Cette architecture est présentée sur la figure 2.12.
Dans cette architecture, la multiplication par cos(πn) a été remplacée par une décimation et une interpolation d’un facteur M pour créer une réplique du signal d’entrée autour de fe
2. Cette technique exige que le nombre de voies M soit pair pour avoir une réplique autour de fe
2. Après avoir été translaté à la fréquence fe
2, le signal est traité par un modulateur Σ∆ passe-haut et un filtre passe-haut Hph(z). Le bruit basses fréquences, le bruit de quantification introduit par le modulateur passe-haut et les répliques du signal d’entrée sont éliminés par le filtre passe-haut. La figure 2.13 présente les signaux dans le domaine fréquentiel après chaque bloc pour une seule voie avec des modulateurs passe-bas et passe-haut.
On peut noter que :
– le filtre numérique Hph(z) est lié au nombre de voies M. Plus le nombre de voies M est grand, plus les contraintes sur le filtre numérique sont sévères pour supprimer les répliques du signal d’entrée.
– le signal d’entrée se trouve à l’abri des erreurs de décalage en tension qui se trouve en basses fréquences. En revanche, les erreurs de gain persistent toujours.
– le convertisseur proposé est un convertisseur de type Nyquist (N = M).
2.2. Architecture à entrelacement temporel 29
Fig. 2.13 – Représentation dans le domaine fréquentiel des signaux dans une voie avec TIΣ∆ passe-bas et passe-haut.
Le problème lié à la disparité entre les voies due aux erreurs de gain n’a pas été résolu avec l’utilisation des modulateurs passe-haut. La correction de ce gain peut être effectuée en ajoutant un multiplieur après la sortie de chaque voie comme illustré par la figure 2.14.
Lorsque les coefficients multiplicatifs W = [w1, w2. . . wM] sont choisis pour être égaux à l’inverse du gain de chaque voie, le gain de voie total sera unitaire et donc les effets de la disparité entre les gains seront éliminés. La détermination des valeurs du vecteur W est basée sur l’algorithme des moindres carrés. L’algorithme des moindres carrés avec signe du signal d’entrée SD − LMS (Sign Data Least Mean Square) présente une performance meilleure que d’autres versions de l’algorithme telles que SE − LMS et SS − LMS (Sign-Error et Sign-Sign) [29, 6]. L’ algorithme des moindres carrés présente une remarquable simplicité d’implantation. Avec cet algorithme, les poids w sont calculés d’une façon itérative par l’équation :
ˆ
Wk+1= ˆWk+ µ (yideal[n] − y [n]) ˆY (2.26)
avec : ˆ
30 2. Présentation des ADCs parallèles à base de modulateurs Σ∆ k : indice de temps,
yideal : sortie idéale qui est juste une version décalée du signal d’entrée, µ : pas de l’algorithme. Il détermine la vitesse de convergence.
Fig. 2.14 – Correction de gains de l’architecture TIΣ∆ passe-haut.
2.3 Architecture à base de modulation de Hadamard
L’architecture à base de modulation de Hadamard ΠΣ∆ [1] est une autre voie pour la paral-lélisation des modulateurs Σ∆. Cette architecture est présentée sur la figure 2.15.
Fig. 2.15 – Architecture parallèle à base de la modulation de Hadamard.
Le signal d’entrée est appliqué à tous les modulateurs en même temps. Ensuite, le signal est mul-tiplié par la séquence de Hadamard de valeurs ±1 à l’entrée de chaque voie. Cette multiplication est simple à réaliser. Elle nécessite juste un changement de signe quand la valeur d’un élément de la séquence est égale à −1. Après le passage dans le modulateur Σ∆ et le filtre passe-bas H(z), le signal est multiplié par la même séquence mais retardé avant d’être sommé aux sorties
2.3. Architecture à base de modulation de Hadamard 31 des autres voies pour reconstruire le signal global en sortie. La séquence de Hadamard ur[n] (0 ≤ r ≤ M − 1 ) est déterminée à partir de la matrice carré de Hadamard 1. La séquence ur[n] est la ligne d’indice r de la matrice Hd répétée d’une façon cyclique comme le montre l’équation suivante :
ur[n] = m [r, n mod M ] (2.27)
Où m [i, j] est l’élément de la ligne i et de la colonne j de la matrice Hd.
La matrice de Hadamard existe si et seulement si sa dimension M est une puissance de 2. Elle est construite récursivement de la façon suivante :
Hdi = Hdi−1 Hdi−1 Hdi−1 −Hdi−1 avec Hd0 = 1 1 1 −1 (2.28) Cette condition implique que si pour un nombre de voies M, la résolution obtenue n’est pas satisfaisante, il faut au moins multiplier par 2 le nombre de voies afin de construire une autre matrice de Hadamard. Ceci multiplie par 2 les ressources matérielles et par conséquent la surface d’implantation.
Principe de fonctionnement et performances théoriques
Comme dans l’architecture TIΣ∆, l’explication du principe de fonctionnement se base sur le modèle linéaire du modulateur Σ∆. Ce modèle linéaire permet d’exprimer le signal en sortie de l’architecture parallèle y[n] (figure 2.16) par y [n] = yx[n] + ye[n], où yx[n] est la sortie qui correspond au signal d’entrée x[n] et ye[n] la sortie qui correspond au bruit de quantification ei[n] des différentes voies.
Fig. 2.16 – Architecture ΠΣ∆ avec le modèle linéaire du modulateur Σ∆.
1La matrice de HadamardHdest une matrice unitaire composée de valeurs+1 et −1 et telle que HdTHd= MI
32 2. Présentation des ADCs parallèles à base de modulateurs Σ∆
Expression du signal utile yx[n]
La fonction de transfert par rapport au signal STF(z) du modulateur Σ∆ peut être assimilée à un simple retard. En se basant sur cette hypothèse, nous présentons, à titre d’exemple, sur la figure 2.17 une architecture à deux voies où l’on a supposé que le retard introduit par le modulateur est d’une période d’échantillonnage [36]. Le filtre passe-bas H(z) est à 3 coefficients.
Fig. 2.17 – Exemple d’illustration pour deux voies avec STF(z) = z−1.
Nous pouvons constater que grâce à la modulation et à la démodulation par la séquence de Hadamard, le signal d’entrée ne voit que le coefficient central dans ce cas particulier. Donc en choisissant h(2) = 1
2, le signal d’entrée x[n] subit seulement un retard lors de son passage dans l’architecture parallèle ΠΣ∆. Afin de généraliser la condition sur les coefficients du filtre passe-bas H(z) pour assurer une reconstruction parfaite du signal en sortie, nous partons de l’expression du signal tr[n] à la sortie de la voie d’indice r (voir figure 2.16). Le signal tr[n] s’exprime par :
tr[n] = [x [n] × ur[n] ∗ (s [n] ∗ h [n])] ur[n − k0] (2.29) = [x [n] × ur[n] ∗ (q [n])] ur[n − k0] = ∞ X k=0 q [k] x [n − k] ur[n − k] ur[n − k0]
où s[n] est la réponse impulsionnelle de la fonction STF(z) et h[n], la réponse impulsionnelle de la fonction H(z). La composante du signal en sortie due au signal utile est la somme des sorties des différentes voies. Elle s’exprime par :
yx[n] = M −1 X r=0 tr[n] (2.30) = ∞ X k=0 q [k] x [n − k] M −1 X r=0 ur[n − k] ur[n − k0]
Or, d’après la définition de la matrice de Hadamard, la ligne ur[n] se répète d’une façon cyclique et vérifie la relation suivante :
M −1X r=0 ur[n − k] ur[n − k0] = M CM[k − k0] = M si k − k0est multiple de M 0 sinon (2.31)
2.3. Architecture à base de modulation de Hadamard 33 Donc, le signal yx[n] s’exprime par :
yx[n] = M
∞
X
k=0
q [k] x [n − k] CM[k − k0] (2.32)
On peut noter facilement d’après l’équation (2.32) que le signal d’entrée x[n] voit seulement, grâce à la modulation et à la démodulation de Hadamard, le coefficient central et les coefficients de la réponse impulsionnelle q[n] (s [n] ∗ h [n]) dont l’indice est multiple de M. Par conséquent, en imposant le coefficient central de q[n] à 1
M et les coefficients d’indices multiples de M à zéro, le signal en sortie yx[n] est une version retardée du signal d’entrée. Comme la fonction de transfert STF(z) introduit un simple retard (s [n] = δ [n − L], L étant le retard), la condition sur q[n] est vérifiée en choisissant les coefficients du filtre passe-bas H(z) d’ordre P suivant la relation :
h [n] = M si n = P −12 0 si n = P −12 + mM, m = ±1, . . . ±P −12M (2.33)
Le respect de la condition 2.33 avec l’effet de la modulation et de la démodulation de Hadamard permet de supprimer l’effet du filtrage et de récupérer en sortie une version retardée du signal d’entrée.
Expression du signal de bruit ye[n]
Au contraire du signal utile, le bruit de quantification introduit par les modulateurs subit seulement la démodulation par la séquence de Hadamard. Chacune de ces sources de bruit traverse la fonction de mise en forme de bruit NTF(z) et le filtre passe-bas H(z) avant d’être multipliée par ur[n − k0] et sommée à d’autres signaux de bruit (voir figure 2.16) pour former le signal global donné par :
ye[n] =
M −1X r=0
ur[n − k0] er[n] (2.34)
Afin de déterminer la densité spectrale du bruit en sortie, nous exprimons d’abord la fonction d’autocorrélation de ce bruit Ryeye[k] en supposant que les sources de bruit des différents mo-dulateurs sont décorrélées entre elles. Elle est donnée par :
Ryeye[k] = E [ye[n] ye[n + k]] (2.35) = M −1X r=0 M −1X q=0 ur[n − k0] uq[n − k0+ k] E [er[n] eq[n + k]] = M CM[k] Rerer[k]
La densité spectrale de puissance est obtenue à partir de la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation Ryeye[k]. Étant donné que la séquence CM[k] peut être écrite aussi sous la forme suivante (voir annexe B, § B.4) :
CM[k] = 1 M
M −1X l=0
34 2. Présentation des ADCs parallèles à base de modulateurs Σ∆ La densité spectrale du bruit en sortie s’exprime par :
Syeye ejw=
M −1
X
k=0
Sererej(w−2πMk) (2.37)
où Serer ejw est la densité spectrale du bruit er[n]. Elle s’exprime, en utilisant le modèle linéaire du modulateur par : Serer ejw= q