3. Critères de fatigue aptes à prendre en compte le gradient des contraintes
3.2. Critère basé sur la théorie de la distance critique
3.2.1. Définition du critère
La théorie de la distance critique a été abordée dans la partie 5.2.2du Chapitre I. Différentes approches dérivant de cette théorie ont été présentées. Il a été choisi dans cette étude d’utiliser la méthode du point. Pour rappel, la méthode du point consiste à considérer que la rupture intervient si et seulement si la contrainte équivalente choisie dépasse une valeur seuil (βdc) sur une profondeur au moins égale à la distance critique (dc). La Figure IV-4 présente une illustration de ce que devrait être la répartition des contraintes dans les différentes éprouvettes entaillées pour un chargement correspondant à leurs limites de fatigue afin de respecter ce critère. Ce graphique a été normé par dc pour les abscisses et βdc pour les ordonnées. Cette figure illustre donc que si ce critère était vérifié, à leur limite de fatigue, la valeur de la contrainte de Crossland des éprouvettes entaillées à la profondeur dc devrait être βdc. Attention : Il a été choisi ici de définir une distance critique à partir de la méthode du point (dc). Par rapport à la bibliographie sur la théorie de la distance critique, il y a un rapport 2 entre la présente définition (dc) et celle issue de la bibliographie (L). Ainsi : dc=L/2.
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Figure IV-4 : THEORIE : Illustration de la méthode du point de la théorie de la distance critique dans le cas parfait
Il reste donc à identifier ces 2 paramètres dc et βdc. Plusieurs approches peuvent être envisagées. En effet la bibliographie utilise plusieurs méthodes afin d’obtenir dc. Certaines sont des identifications à partir d’essais afin de reproduire les résultats expérimentaux mais d’autres sont reliées à des longueurs physiques (la taille de grain par exemple) ou à des valeurs mécaniques (cf équation ( IV.7 ))
3.2.2. Identification des paramètres
Dans cette étude il a été choisi d’identifier la distance critique à partir des résultats d’essai sur éprouvettes entaillées. L’identification est effectuée afin de minimiser l’écart entre les contraintes de Crossland des éprouvettes entaillées à une distance dc de l’entaille. Les éprouvettes de référence n’ont pas été utilisées dans l’identification car elles auraient mené aux mêmes problèmes que pour le critère basé sur la méthode du gradient. La Figure IV-5 illustre cette identification. On obtient alors :
►dc = 22 µm
Si l’on compare avec les valeurs de la bibliographie, il faut donc utiliser L=44 µm.. De plus, une formule basée sur les données mécaniques du matériau existe. Il s’agit de la formule ( IV.7 ) cf [Taylor2008]. Les valeurs ∆\9Ž et #. sont respectivement un seuil de propagation et une limite de fatigue. Afin de garder une certaine cohérence entre les valeurs, il a été choisi d’utiliser les valeurs correspondant à R=0,1 du Tableau II-1 et du Tableau IV-1.
Z =[ M1 ∆\#9Ž
. PA= 78 μx → />= 39 μx ( IV.7 )
Tout d’abord, la valeur de la distance critique est dans l’intervalle de ce que la bibliographie relate. Ensuite, on peut remarquer que pour un même matériau, les distances critiques peuvent fortement
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varier. Ceci est le reflet de la multitude de méthodes d’identification de la distance critique et du fait que de nombreux paramètres peuvent influencer la distance critique.
Figure IV-5 : Identification graphique de la distance critique à partir des résultats sur entailles Le second paramètre de ce critère (βdc) est identifié afin de minimiser les écarts de contraintes entre les courbes et βdc à la distance critique (dc). Il a été identifié sur la Figure IV-5 à 880MPa. Les contraintes des différents modèles à la distance critique (dc) seront présentées dans la Figure IV-6.
3.2.3. Utilisation du critère
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La Figure IV-6 présente les différentes valeurs des contraintes de Crossland des éprouvettes à leur limite de fatigue à une distance de 22 µm du lieu d’amorçage. Elles sont proches de βdc pour les éprouvettes entaillées. Le domaine de variation des contraintes reste dans les ±50 MPa à la distance critique. Ce qui représente environ 5,5% de variation. C’est assez peu pour des entailles dont les rayons varient d’un facteur 10. Par contre, l’identification effectuée sur les entailles ne permet pas de retrouver les résultats expérimentaux sur les éprouvettes de référence. En effet, les contraintes de Crossland sont de 415 MPa pour ces essais. Ce qui est très éloigné des 880 MPa prédit par le critère. La prévision de la limite de fatigue de chaque géométrie d’éprouvette peut être comparée avec la limite de fatigue expérimentale. Ainsi, l’équation ( IV.8 ) défini le chargement uniaxial maximal sur un cycle à appliquer à une éprouvette pour que le critère prévoit sa survie. Cette équation est basée sur la limite de fatigue expérimentale, sur la contrainte de Crossland de cette éprouvette à sa limite de fatigue à une distance dc de l’amorçage et sur le paramètre βcr.
#$%C = #,.,;9% ∗#> O = /E >
†>
( IV.8 )
Cette équation prévoit des limites de fatigue de :
Limite de fatigue Prévue par le critère (En MPa) Expérimentale (En MPa)
ρ=50 µm 106 101
ρ=200 µm 149 158
ρ=500 µm 200 190
Référence 736 415
Tableau IV-7 : Comparaison entre les limites de fatigue expérimentales et celles prévues par le critère Ce tableau illustre bien que le critère ainsi défini propose des prédictions de bonne qualité pour les éprouvettes entaillées (environ ±5%) mais n’est pas capable de faire le lien direct entre des éprouvettes avec des entailles très fines et des éprouvettes lisses. Comme pour le critère basé sur l’approche du gradient, l’échec de cette prédiction peut être attribué aux effets d’échelles. En effet, il est logique que les éprouvettes de référence qui possèdent un grand volume fortement sollicité aient du mal à être comparées à des entailles très fines pour lesquelles le volume sollicité est beaucoup plus faible.
À retenir
►Le critère basé sur la théorie de la distance critique a été défini ►Utilisation de la méthode du point
►L’identification des paramètres a été faite afin de minimiser les erreurs de prédictions sur les éprouvettes entaillées :
►dc=22 µm ►βdc=880 MPa
►Le critère donne de bonnes prédictions pour les éprouvettes entaillées mais ne permet pas de faire le lien entre entailles et éprouvettes lisses. L’effet d’échelle peut être mis en cause
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