5.5 Validation hydrologique de modèles de cascades
5.5.2 Courbes intensité-durée-fréquence
Deux notions importantes doivent être présentées ici pour bien comprendre les résultats qui suivent.
– Les courbes Intensité-durée-fréquence (IDF) correspondent à la distribution des inten-sités moyennes maximales calculées pour des durées variables d’événements pluvieux indépendants. Toutes les intensités de la série de données ne sont pas considérées, contrai-rement à ce qui est fait lors de la construction de la fonction exposant d’échelle. La forme des courbes IDF dépend donc de la définition des événements pluvieux indépendants et de la répartition des intensités de pluie entre ces événements. De plus, les intensités moyennes maximales sont calculées en utilisant un pas de temps glissant et non fixe. Les distributions d’intensités de pluie et leurs moments peuvent donc être sensiblement différents dans le cas d’une analyse IDF et dans le cas de la construction de la fonction exposant d’échelle.
– Il y a deux manières de générer une série pluviographique à un pas de temps ∆t à l’aide d’un modèle de cascade aléatoire. Les intensités peuvent être désagrégées jusqu’au pas de temps ∆t choisi, au niveau k1 de la cascade (on parle alors de cascade nue). Ou bien, les intensités peuvent être désagrégées à un pas de temps plus fin, à un niveau k2 > k1,
puis réagrégées (on parle alors de cascade habillée). Les deux séries ne diffèrent pas dans le cas de cascades micro-canoniques. En revanche, les séries générées à un pas de temps ∆t par un processus de cascade nue ou habillée ne sont pas équivalentes dans le cas de cascades canoniques. Les distributions statistiques des intensités générées ne sont en particulier pas les mêmes (voir équation 5.29).
Ij,k= I0 k1 Y i=1 ηf (j,i),i 1 b(k2−k1) jb(k2−k1) X l=(j−1)b(k2−k1)+1 k2 Y i=k1+1 ηf (l,i),i (5.29)
Qui peut aussi s’écrire,
Ij,k= Ij,k 1 b(k2−k1) jb(k2−k1) X l=(j−1)b(k2−k1)+1 k2 Y i=k1+1 ηf (l,i),i (5.30) Ij,k = Ij,kXb,(k2−k1) (5.31)
Les intensités nues Ij,k et habillées Ij,k sont égales si la cascade est micro-canonique : le terme entre crochets de l’équation 5.30 est égal à 1 par définition. Dans le cas contraire, ce terme est une variable aléatoire que nous avons notée Xb,(k2−k1), dont la distribution dépend de celle du générateur de la cascade mais aussi de b et de k2− k1.
La fonction exposant d’échelle théorique qui a servi à sélectionner le modèle de cascade multiplicative correspond à la cascade nue, alors que les courbes IDF sont calculées à partir de l’agrégation des intensités mesurées au plus petit pas de temps disponible. Les courbes IDF ont donc les propriétés statistiques des cascades habillées.
Différentes fonctions de répartition des séries d’intensités simulées par le modèle de cascade multiplicative aléatoire log-Poisson retenu sont présentées dans la figure 5.10 pour deux pas de temps (4 et 32 minutes). Comme dans les parties précédentes, chaque graphique synthétise les résultats de 30 simulations (fonction de répartition moyenne et intervalle de confiance à 90%). Le premier couple de courbes présente les courbes IDF reconstituées par la méthode classique, à partir des séries d’intensités désagrégées au pas de temps d’une minute. Les courbes IDF reconstituées avec les séries simulées à l’aide du modèle de cas-cade log-Poisson se distinguent notablement des courbes IDF construites à partir des séries observées. En effet, les quantiles de pluie calculés à partir de l’échantillon mesuré sortent de l’intervalle de confiance des quantiles ”simulés” (figures 5.10.a1 et 5.10.a2). Le modèle de cascade tend à simuler trop de valeurs d’intensité fortes. Les figures 5.10.b1 et 5.10.b2
5.5 Validation hydrologique de modèles de cascades 93 présentent les résultats de la même analyse mais conduite en utilisant des fenêtres tem-porelles fixes et non plus glissantes pour le calcul des intensités moyennes maximales des événements pluvieux. Cette modification a très peu d’influence sur les courbes IDF. En revanche, les résultats changent notablement lorsque l’on étudie les séries pluviométriques nue et non plus habillées le processus de cascade étant stoppé au pas de temps souhaité, 32 ou 4 minutes (cf. 5.10.c1 et 5.10.c2). La comparaison des figures 5.10 b et c met en évidence la différence des distributions d’intensité des séries nues et habillée : i.e. l’influence du terme Xb,(k2−k1)de l’équation 5.31. Les courbes IDF construites à partir des séries nues sont bien plus proches des courbes IDF de la série observée. On note l’accroissement de la pente des distributions d’intensité des séries simulées habillée ainsi que l’élargissement des intervalles de confiance par rapport aux distributions des séries nues. Ils sont liés à l’augmentation de la variance des distributions due à la contribution de la variable aléatoire Xb,(k2−k1). La distribution statistique de la variable Xb,(k
2−k1) et en particulier ses propriétés asymp-totiques lorsque k2 − k1 tend vers l’infini a fait l’objet de nombreuses études théoriques (Mandelbrot, 1974a,b,c; Kahane & Peyrière, 1976). L’espérance de cette variable aléatoire est égale à celle de la variable η, générateur du modèle de cascade. Sa distribution statis-tique dépend de la distribution de η et de k2−k1. Sa variance ne converge généralement pas asymptotiquement vers 0 lorsque k2− k1 tend vers l’infini. Les distribution des variables nues et habillées diffèrent donc dès que k2 6= k1. Dans la mesure où on cale les modèles de cascades sur les propriétés des cascades nues, il semble préférable d’utiliser des modèles de cascades micro-canoniques pour éviter les incohérences entre les propriétés statistiques des séries simulées habillées dépendant du niveau de cascade jusqu’auquel est conduite la désagrégation (k2 − k1) et les propriétés théoriques du modèle que nous venons de voir illustrées.
Les dernières figures 5.10.d1 et d2 permettent de mesurer l’influence du choix de la valeur maximale de chaque événement pluvieux plutôt que celui de l’ensemble des intensités de pluie pour la construction des courbes IDF. Rappelons que l’ensemble des intensités et les moments d’ordre q de leurs distributions statistiques sont pris en compte pour construire la fonction exposant d’échelle. Les distributions statistiques de l’ensemble de l’échantillon des intensités mesurées ou simulées diffèrent de celui des valeurs maximales des événe-ments pluvieux, mais les positions relatives des distributions simulées et mesurées sont peu affectées. Certes, le modèle de cascade semble simuler trop de valeurs d’intensités supé-rieures à 30 mm/h au pas de temps de 4 minutes. Mais les résultats obtenus apparaissent très satisfaisants quand on considère que le modèle a été calé non pas directement sur les distributions d’intensités de pluies à différents pas de temps, mais sur une fonction qui y est indirectement reliée par l’intermédiaire du calcul des moments d’ordre q, la fonction exposant d’échelle, et qui s’est de plus avérée être peu discriminante.
Fig. 5.10 – Distributions des intensités de pluie pour deux pas de temps pour la série pluviométrique mesurée (croix) et pour les séries simulées avec le modèle LP (0.5, 1.09) (traits) : a) intensités maximales des événements, séries habillées et fenêtre temporelle glissante, b) intensités maximales des événements, séries habillées et fenêtres temporelles fixes, c) intensités maximales des événements, séries nues et fenêtres temporelles fixes, d) toutes les intensités, séries nues et fenêtres temporelles fixes.
5.5 Validation hydrologique de modèles de cascades 95 Les résultats obtenus avec le modèle micro-canonique à générateur uniforme, modèle qui ne possède pas de paramètres de calage, sont comparables.