Les modes propres d’une fibre invariante en propagation et sans perturbations ne sont pas sujets à des couplages. Cependant, dans la pratique, la fibre optique subit différentes perturbations pendant sa fabrication et au cours de son utilisation. Les champs des différents modes guidés ne se comportent alors plus de la même ma- nière, ce qui peut entraîner des échanges d’énergies entre eux [22] [49] [28].
1.3.1 Perturbations dans les fibres
Les perturbations dans les fibres peuvent avoir diverses origines telles que les dé- fauts de fabrications (non-homogénéité, ellipticité, ...), les courbures, la variation de température, etc.
Lors de la résolution des équations de Maxwell, on considère un guide invariant en translation ce qui conduit à des solutions de modes orthogonaux tels que les modes vectoriels. Dans la pratique, il n’est pas aisé d’obtenir une fibre invariante en trans- lation, c’est-à-dire ayant le même profil d’indice (géométrie et indice de réfraction) sur l’axe de propagation. Les petites perturbations en condition de faible guidage peuvent être exprimées par [28] :
n(x, y, z) = ¯n(x, y, z) +δn(x, y, z), (1.32)
où δn représente une petite variation de l’indice de réfraction. Des cas typiques de perturbations sont le changement du diamètre du cœur de la fibre, une ellipticité, ainsi que les courbures qui modifient le profil d’indice de manière asymétrique sous l’effet des contraintes.
Lorsqu’il y a des perturbations qui font varier le profil d’indice de la fibre longi- tudinalement, les solutions de modes changent le long de l’axe et donc les modes propres à une position z donnée ne recouvrent pas parfaitement ceux de la position suivante.
Les courbures, quant à elles, changent le profil d’indice de la fibre et modifient donc les constantes de propagation et les champs des modes. En général, les diverses pertes énumérées à la section 1.2 sont à l’origine des couplages entre modes [28] [49].
1.3.2 Théorie de couplage des modes d’une fibre
Une fibre optique peut selon ses conditions d’utilisation, être soumise à de fortes ou de faibles perturbations. Dans notre étude, nous allons nous intéresser à ces der- nières. La formulation des modes couplés dans une fibre uniforme en z avec des perturbations à l’intérieur ou près des interfaces est donnée par l’équation différen- tielle de premier ordre [49] [28] :
dap(z)
dz = −jβpap(z) +j
∑
q apC(p, q), (1.33) où ap représente, après une distance de propagation z, l’amplitude complexe du mode p ayant un coefficient de couplage C(p, q)avec les autres modes q de la fibre. Le coefficient de couplage entre deux modes progressifs p et q de la fibre est défini par : C(p, q) = ω 2 Z Z S (ε¯∗−ε) Ept·E∗qt+ ¯ ε∗ ε Epz·E ∗ qz dS , (1.34)où l’indice t au niveau de E désigne les champs transverses, ε la permittivité diélec- trique transverse idéale de la fibre et ¯ε∗ celle liée aux perturbations. La permittivité
diélectrique est reliée à l’indice de réfraction par la relation :
ε=n2×ε0 (1.35)
Selon ce formalisme, le coefficient de couplage entre deux modes quelconques d’une fibre sans perturbations est toujours nul. En revanche, lorsqu’il y a présence de per- turbations du profil d’indice d’une fibre, le coefficient de couplage entre deux modes distincts n’est plus nul. Dans ce cas, nous disons qu’il y a couplage entre ces modes. Pour des perturbations transverses qui ne varient pas en fonction de z, les coeffi- cients de couplage sont souvent trop faibles par rapport aux différences de constantes de propagation des modes (C(p, q) βp) pour provoquer un échange d’énergie im- portant entre eux lors de leurs voyages dans la fibre [49]. Ceci se remarque à la figure
1.13, où nous avons supposé un rayon de courbure de 1 cm pour la SSIF étudiée à la rubrique1.1.1. Ce rayon de courbure introduit, en effet, une variation du profil d’in- dice n(x, y)(figure1.13(b) et (c)). Le nouveau profil d’indice de la fibre est modélisé ici par [50] :
¯n(x, y) = (1+ x
R) ×n(x, y), (1.36)
où R représente le rayon de courbure de la fibre. Les coefficients de couplage cal- culés sont présentés sous forme matricielle à la figure1.13(d). On remarque qu’une courbure de la fibre provoque des couplages entre modes avec indices azimutaux l et l+1. Nous définissons la transmission H(p, q), pour une longueur donnée de fibre, par le carré de l’amplitude apdes modes propres p de l’équation1.33dont les valeurs propres sont βp, lorsque la puissance initiale dans le mode p est égale à 1 et celles dans les autres modes sont nulles. Dans le cas étudié ici, la matrice de trans- mission (qui relie les modes en entrée de la fibre à ceux en sortie) obtenue, pour une distance de propagation de 100 cm est diagonale (figure1.13(e)), ce qui signifie que l’énergie de chaque mode est quasiment conservée.
Nous avons appelé diaphonie X(p, q), la moyenne de l’énergie transférée entre deux modes p et q après un temps de propagation donné. Dans une fibre sans pertes, la
|C(p, q)| 0 dB -30 dB 1.4440 1.4540 1.4426 1.4548 0 1.4×10-4 -10 10 (µm) 𝑛(𝑥, 𝑦) 𝑛̅(𝑥, 𝑦) |𝑛̅(𝑥, 𝑦) − 𝑛(𝑥, 𝑦)| (d) (e) OAM0 1 OAM1 1aa OAM1 1a
OAM0 1 OAM1 1aa OAM1 1aa
0 dB
-30 dB
(f) |H̿(p, q)| max[ X(p, q) ]
Figure 1.13 – Couplage des modes OAM dans une SSIF de rayon de cœur
a =5 µm, d’indices de réfraction n1 = 1.454 dans le cœur et n2 = 1.444
dans la gaine à la longueur d’onde de 1550 nm : (a) profil d’indice de la fibre, (b) profil d’indice perturbé par un rayon de courbure de 1 cm, (c) différence d’indice entre profil réel et celui perturbé, (d) matrice de la valeur absolue des coefficients de couplage, (e) matrice de transmission, normalisée entre
0 dB et−30 dB, après 100 cm de propagation pour une puissance initiale de
0 dB dans chaque mode et (f) énergie maximale pouvant être transférée entre
modes, normalisée entre 0 dB et−30 dB.
diaphonie maximale pouvant exister entre deux modes ayant initialement chacun une puissance égale à 1 est donnée par [49] :
maxX(p, q) = " 1+ βp−βq 2|C(p, q)| 2#−1 , (1.37)
et ce transfert maximal d’énergie apparaît après la distance [49] :
L(p, q) = π
q
maxX(p, q)
2|C(p, q)| (1.38)
Dans le cas de notre exemple, on constate que les deux modes OAM0 1 sont ca- pables d’échanger la totalité de leur énergie. Il en est de même pour les deux modes OAM1 1a(obtenus à partir des modes HE2 1ayant même indice effectif). Cependant,
puisque la fibre est considérée sans pertes, on s’aperçoit que les distances maximales après lesquelles ces échanges complets d’énergie ont lieu tendent vers l’infini. En général, un coefficient de couplage faible et une différence de constante de pro- pagation (ou d’indice effectif) élevée entre deux modes d’une fibre permettent de limiter leur diaphonie.