CONTRAINTES SUR LES PARAM ` ETRES D’ACC ´ EL ´ ERATION 143

SNR k0(Ee,max) Bd(α, r) inµG Ee,max(α, r) in TeV αmin

r= 4 r= 10 (1 ; 4) (1 ; 10) (1/3 ; 4) (1 ; 4) (1/3 ; 10) r= 10

Cas A 3.2 1.5 390 280 350 12 15 0.08

Kepler 4.5 2.2 340 250 300 11 14 0.09

Tycho 10 4.9 530 400 400 5.2 6.9 0.10

SN 1006 (0.40) (0.19) 110 (84) 95 (59) 100 (82) 37 (32) − 0.37 G347.3−0.5 (0.87) (0.41) 96 (93) 84 (66) 92 (89) 36 (37) − 0.13

Tab.6.3 – Param`etres de diffusion et d’acc´el´eration estim´es pour les cinq SNRs jeunes consid´er´es dans le tableau 6.1 (voir le texte).

6.3.2 Coupure X et coefficient de diffusion

L’´evaluation du temps de pertes synchrotron effectif n´ecessite elle aussi de distinguer entre les pertes d’´energie en amont et en aval. Siτuetτdsont respectivement les temps pass´es dans ces deux milieux, et si τsyn,u et τsyn,d sont les temps de pertes synchro-tron correspondants, la loi effective de d´ecroissance de l’´energie sur un cycle complet, τcycle = τu+τd, peut-ˆetre ´ecrite E(τcycle) = E0exp(−τu/τsyn,u) exp(−τd/τsyn,d). Le temps de pertes synchrotron moyen,hτsyni, s’obtient par identification avecE(τcycle) = E0exp(−τcycle/hτsyni) :

hτ_syni= (1.25 10³yr)×E_TeV⁻¹ × B²⁻¹

, (6.17)

o`u B²

= (B_u²τ_u+B_d²τ_d)/(τ_u+τ_d) est le champ carr´e moyen. Avecτ_i ∝D_i/V_i, nous avonsτ_u/τ_d=D_u/rD_d=B_u/rB_d'0.83 et

B²

'B_d²1 + 1/0.83r²

1.83 '0.59B_d². (6.18)

Ainsi, en termes du champ magn´etique aval :

hτsyni '(2.1×10³yr)×E_TeV⁻¹ B₁₀₀⁻². (6.19) On obtient alors, `a partir des ´equations (6.16) et (6.19) :

Ee,max'(8.3 TeV)×f¯(r)×k^−1/2₀ ×B₁₀₀^−1/2Vsh,3, (6.20) o`u ¯f(r)≡f(r)/f(4), avecf(r) =√

r−1/r : ¯f(r) prend des valeurs comprises entre 1 etf(10)/f(4)'0.693.

Par ailleurs, l’´equation (6.2) donne E_e,max en fonction de l’´energie de coupure des photons X :

E_e,max'(22 TeV)×B^−1/2₁₀₀ ×E_γ,cut,keV^1/2 , (6.21) avec la mˆeme d´ependance enB. En identifiant les deux expressions, nous pouvons ainsi d´eduirek0 =D(Ee,max)/DB(Ee,max) directement `a partir des donn´ees sur les restes de supernova, en l’occurrence l’´energie de coupure en X et la vitesse du choc :

k0(Ee,max) = 0.14×E_γ,cut,keV⁻¹ ×V_sh,3² ×f¯(r)². (6.22) avec 0.48 ≤ f¯(r)² ≤ 1. Les valeurs obtenues pour r = 4 et r = 10 sont donn´ees au tableau 6.1. Comme il se doit,k0est trouv´e sup´erieur `a 1 pour Cas A, Kepler et Tycho,

144 CHAPITRE 6. LIMITES OBJECTIVES DES RESTES DE SUPERNOVA ou marginalement inf´erieur `a 1 pour G347.3-0.5. Dans le cas de SN 1006,k0'0.4 pour r= 4 et 0.2 for r= 10, ce qui semble favoriser un rapport de compression faible et/ou r´ev´eler une possible surestimation de Eγ,max (e.g. si la coupure synchrotron est moins abrupte que la coupure exponentielle suppos´ee) et/ou une sous-estimation deVsh. `A noter que l’´energie de coupure et la vitesse du choc donn´ees au tableau 6.3 ont ´et´e obtenues pour SN 1006 `a partir de diff´erentes r´egions du SNR. Des donn´ees suppl´ementaires sur ces param`etres seraient donc tr`es appr´eciables pour la pr´esente ´etude.

En d´epit des incertitudes mentionn´ees, il apparaˆıt au tableau 6.3 quek₀ garde des valeurs relativement faibles, ce qui signifie que la v´eritable valeur du coefficient de dif-fusion `a E<sub>e,max</sub> n’est pas tr`es sup´erieure `a la valeur de Bohm, et qu’elle en est mˆeme probablement tr`es proche dans le cas de SN 1006 et G347.3-0.5. Notons ´egalement que les ´etudes num´eriques de la diffusion dans un champ magn´etique turbulent, comme celles que nous avons d´ecrites au chapitre 4, obtiennent des valeurs de k0 ' 3–4 `a l’´energie o`urL =λc, la longueur de coh´erence du champ magn´etique turbulent. Si la valeur des param`etres utilis´es pour Cas A et Kepler devait ˆetre confirm´ee, il faudrait alors y voir un argument favorisant une ´echelle de turbulence proche derL(Ee,max).

6.3.3 Epaisseur des croissants et r´ ´ egime de diffusion

Nous r´ep´etons `a pr´esent les calculs du paragraphe 6.2, mais en tenant compte cette fois conjointement de l’advection et de la diffusion, et en utilisant la valeur du coefficient de diffusion des ´electrons `aE_e,maxque nous venons de d´eterminer. Pour obtenir l’´echelle de longueur de la distribution des ´electrons de haute ´energie en aval du choc, nous

´

ecrivons `a nouveau une version stationnaire de l’´equation (6.6), en gardant les termes d’advection et de diffusion :V<sub>d</sub>(∂f /∂x) =D∂<sup>2</sup>f /∂x<sup>2</sup>−f /τ<sub>syn</sub>. La solution est `a nouveau de la formef(x)∝exp(−ax), o`uaest la solution positive de l’´equation caract´eristique quadratique : ob-serv´ee (en projection) des croissants s’´ecrit :

∆Robs=P× 2D/Vd

p1 + 4D/V_d²τsyn−1. (6.24) Par d´efinition, cette ´equation n’est valable qu’`a Ee,obs, donn´ee par l’´equation (6.3), de sorte que c’est `acette´energie que nous devons ´evaluer le temps de pertes synchrotron et le coefficient de diffusion. Nous avons d´ej`a obtenuτsyn(Ee,obs) par l’´equation (6.5). Pour le coefficient de diffusion, nous avons d´eriv´e sa valeur `a Ee,max et nous devons donc `a pr´esent faire une hypoth`ese sur ler´egime de diffusion, i.e. la d´ependance en ´energie deD.

Cette d´ependance n’est pas connuea priori, et nous la laisserons donc libre par la suite, supposant simplement qu’elle peut s’exprimer, dans le domaine d’´energie consid´er´e, par une loi de puissance :

o`u l’indice α est un param`etre libre. Comme nous l’avons d´ej`a vu au chapitre 4, le r´egime de Bohm correspond `a α = 1, la th´eorie quasi-lin´eaire pr´edit α = 1/3 (resp.

6.3. CONTRAINTES SUR LES PARAM `ETRES D’ACC ´EL ´ERATION 145 1/2) dans le cas d’un spectre de type Kolmogorov (resp. Kraichnan) de la turbulence magn´etique, et un simple calcul montre queα= 2 pour des particules de rayon de Larmor sup´erieur `a la longueur de coh´erence du champ (en parfait accord avec nos simulations).

Notons que dans la mesure o`uD(E) doit rester sup´erieur `a DB(E), il est imp´eratif que k0(E/E0)^α−1 > 1 `a toutes les ´energies o`u le r´egime en loi de puissance se maintient.

Puisque k0 <∼ 10 pour E0 = Ee,max et puisque l’´energie d’injection dans le processus d’acc´el´eration est de nombreux ordres de grandeur au dessous deE_e,max, on en d´eduit queα≤1 au moins jusqu’`a des ´energies proches deE_e,max.

Bien que ni E_e,obs, ni E_e,max ne soient encore connues, leur rapport peut d´ej`a s’ex-primer tr`es simplement : l’´energie rayonn´ee ´etant proportionnelle au carr´e de l’´energie de l’´electron, on a par d´efinition, avecE_γ,obs = 5 keV :

Ee,obs

E_e,max =

Eγ,obs

E_γ,cut ^1/2

'2.2×E^−1/2_γ,cut,keV. (6.26) Puisque Eγ,cut < 5 keV pour les cinq SNRs consid´er´es, nous avons bien sˆur Ee,obs >

Ee,max(les rapports sont respectivement 2.0, 2.3, 4.1, 1.3 et 1.4). Ceci permet d’obtenir une limite inf´erieure deα, en exigeant queD(Ee,obs)≥DBohm(Ee,obs). Avec (6.25), ceci se traduit par :

α≥1− lnk₀(E_e,max)

ln(Ee,obs/Ee,max). (6.27)

Une telle relation n’est cependant pas contraignante dans le cas de Cas A, Kepler et Tycho, puisque la valeur limite obtenue est n´egative. Pour SN 1006 et G347.3-0.5, nous avons d´ej`a not´e que la valeur dek0d´eduite des donn´ees ´etait inf´erieure `a 1. Dans la suite, nous supposeronsk0= 1 dans ce cas, mettant la valeur irr´ealiste calcul´ee sur le compte d’incertitudes – d’ailleurs raisonnables – sur les param`etres mesur´es. En cons´equence, toute valeur de α inf´erieure `a 1 est interdite, ce qui implique “m´ecaniquement” une diffusion de Bohm. Voil`a qui illustre une fois de plus `a quel point les donn´ees peuvent ˆetre contraignantes pour le r´egime de diffusion.

6.3.4 Champ magn´ etique auto-consistant et ´ energie maximale des ´ electrons

En reportant l’´equation (6.26) dans (6.25) et en utilisant (6.22), on obtient : D(Ee,obs) = (1.0 10²⁴cm²s⁻¹)B^−3/2₁₀₀ V_sh,3² K(α, r), (6.28) o`u nous avons d´efini

K(α, r) = ¯f(r)²×2.2^α×E_γ,cut,keV^{−1/2−α/2} (6.29) Le rapport au d´enominateur de l’´equation (6.24) s’en d´eduit :

4D(Ee,obs)

V_d²τsyn(Ee,obs) = 8.1 ¯R²K(α, r), (6.30) ind´ependant deB_dcomme deV_sh. Reportant (6.30) et (6.28) dans (6.24), nous obtenons une expression auto-consistante pour le champ magn´etique en aval en fonction deα, de ret des param`etres mesur´es des SNRs :

B_d'(520µG)

"

Vsh,3∆R⁻¹_obs,−2P¯RK(α, r)¯ p1 + 8.1 ¯R²K(α, r)−1

#^2/3

. (6.31)

146 CHAPITRE 6. LIMITES OBJECTIVES DES RESTES DE SUPERNOVA

Fig.6.2 – ´Energie maximale des protons, Ep,max, en fonction de l’indice du r´egime de diffusion,α, pourr= 4 (`a gauche) etr= 10 (`a droite). La partie pointill´ee des courbes correspond `a des valeurs deαqui conduisent `a des coefficients de diffusion plus petits que la limite de Bohm `aEp,max, et qui sont donc exclues. La valeur deEp,max la plus ´elev´ee possible est mat´erialis´ee par les cercles donnant la valeur αopt au-dessus de laquelle les indices du r´egime de diffusion sont tout `a fait valides – notamment l’index de Bohm α= 1, mais conduisent `a des valeurs plus faibles deE_p,max.

.

Les r´esultats sont reproduits dans le tableau 6.3, pour diff´erentes valeurs du rapport de compression et diff´erents r´egimes de diffusion. Pour SN 1006 et G347.3-0.5, nous avons pos´e k0(Ee,max) = 1 (i.e. D = DBohm) et donn´e entre parenth`eses le r´esultat obtenu avec la valeur calcul´ee (non physique)k0 <1. Comme not´e pr´ec´edemment, les champs magn´etiques estim´es sont tr`es largement sup´erieurs aux champs typiques du milieu in-terstellaire et n´ecessitent une forte amplification au voisinage du choc, probablement induite par les particules ´energ´etiques. Des champs magn´etiques plus faibles sont obte-nus avec des valeurs plus petites deα et/ou des rapports de compression plus grands.

Deux cas limites sont consid´er´es : (α= 1, r= 4) et (α= 1/3, r= 10).

Avec ces valeurs du champ magn´etique, nous pouvons maintenant d´eriver l’´energie maximale des ´electrons de mani`ere totalement consistante, `a partir de l’´equation (6.21) :

Ee,max'(9.6 TeV)×E^1/2_γ,cut,keV

Les r´esultats sont donn´es dans le tableau 6.3 : ces ´energies maximales sont de l’ordre de 10 TeV pour Cas A et Kepler, 5 TeV pour Tycho, et 40 TeV pour SN 1006 et G347.3-0.5, pratiquement ind´ependamment des param`etresαet r.

Finalement, la valeur deE_e,maxet la valeur associ´ee deE_e,obsnous permettent de po-ser une limite inf´erieure surα, en exigeant que le temps d’acc´el´eration total des ´electrons jusqu’aux ´energies les plus hautes n’exc`ede pas l’ˆage du SNR,tSNR. En int´egrant le temps d’acc´el´eration, (6.14), deEinj `aEe,obsEinj, en utilisant (6.25), on trouve