h ∇h(x, y, t) , (2.7)
avec |∇h| = (2πξ)/λ, où ξ et λ sont respectivement l’amplitude et la longueur d’onde des perturbations.
Deux sources de perturbations de la surface libre ont été identifiées : des perturbations induites par la translation de la grille, qui affectent les mesures durant une trentaine de secondes environ après le passage de la grille, et des ondes de surface excitées par les vibrations de la structure expérimentale. Ces dernières ont une fréquence de l’ordre de 5-10 Hz (de longueur d’ondes 10-30 cm) et ne sont pas négligeables pour les plus grandes vitesse de rotation. La contamination dans la mesure de la vitesse est de l’ordre de |~vbruit| = |δ~xbruit|/∆t, où ∆t est l’intervalle de temps entre deux images d’une même paire. En se plaçant à mi-hauteur h = h0/2, une onde d’amplitude 1 mm et de longueur d’onde 15 cm donne un déplacement apparent de 5 mm. En prenant un intervalle de temps ∆t = 500 ms, on trouve alors une vitesse apparente de l’ordre de 1 cm/s.
On note cependant que ce champ de déplacement induit par ces ondes de surface est irrotation-nel et n’affectera pas les mesures de la partie antisymétrique du tenseur des taux de déformation (vorticité), mais affectera sa partie symétrique, soit la divergence horizontale ainsi que l’énergie.
2.4 Conditions initiales d’une expérience et paramètres sans
dimen-sion
Dans cette section, nous allons présenter les paramètres sans dimensions qui caractérisent les écoulements dans les expériences du FAST et de la Plateforme Coriolis.
2.4.1 Conditions initiales
Les conditions initiales d’une expérience sont définies par deux paramètres, la vitesse de la grille Vg et la vitesse de rotation de la cuve Ω. Deux nombres sans dimension peuvent alors être définis pour caractériser ces conditions initiales, le nombre de Reynolds de grille,
Reg = M Vg
ν , (2.8)
et le nombre de Rossby de grille,
Rog = Vg
2ΩM. (2.9)
Dans l’expérience du FAST, Reg varie dans la gamme 8 × 103− 4 × 104 (voir table 2.1), tandis qu’il vaut 5 × 104 sur la Plateforme Coriolis. Ces importantes valeurs de Reg caractérisent une turbulence pleinement développée dans le sillage de la grille. Le nombre de Rossby Rog est relativement important même pour les grandes vitesse de rotation, et prend des valeurs entre 1 et 100 au FAST et varie dans la gamme 4.2 - 17 à Coriolis. Ainsi la production de la turbulence dans le sillage de la grille est probablement peu affectée par la rotation. En conséquence, le début du déclin de l’énergie peut être considéré comme étant quasi homogène et isotrope, et la rotation d’ensemble de la cuve va progressivement affecter l’écoulement au cours du déclin de l’énergie.
A partir des deux paramètres, Vg et Ω, qui caractérisent une expérience, on peut introduire deux temps : le temps caractéristique de translation de la grille tg = h/Vg (ou L/Vg à Coriolis) et le temps de rotation τΩ = Ω−1. La comparaison de ces deux termes nous permet de construire un nombre sans dimension, proportionnel au nombre de Rossby de grille, 1
Roh = τΩ tg
= 2M
h Rog. (2.10)
Ce nombre sans dimension nous permet d’estimer le degré d’homogénéité initial de notre écou-lement. Ainsi, pour que la rotation affecte l’écoulement en entier de façon le plus homogène possible, il faut s’assurer que Roh soit grand devant l’unité, soit dans notre configuration ex-périmentale au FAST lorsque Rog ≫ h/2M ∼ 6. Dans le cas contraire, à temps court, on se retrouve dans une configuration avec un écoulement très inhomogène selon l’axe de rotation. Dans l’expérience du FAST, la paramètre Roh varie dans la gamme 0.18 - 18, tandis qu’il varie dans la gamme 0.35 - 1.5 sur la Plateforme Coriolis.
La figure 2.18 est une schématisation des conditions initiales dans l’espace des paramètres (Vg,Ω). Cette représentation nous permet de mettre en avant toute la difficulté de l’étude de la turbulence en rotation. Effectivement, l’étude d’une turbulence pleinement développée (Reg ≫ 1) qui soit initialement le plus homogène possible (Roh ≫ 1) et dominé par la rotation (Rog ≪ 1 et Ek ≪ 1) est impossible puisque Roh et Rog ne peuvent pas être respectivement simultanément très grand et négligeable devant l’unité. Par conséquent, toute la difficulté de
1
Vg Ω Ro g Re g Ek et Ro h
Fig. 2.18: Représentation simplifiée des conditions initiales (Reg,Rog,Roh,Ek) dans l’espace des pa-ramètres (Vg,Ω). Les lignes — correspondent à des iso-Reg, les pointillés −− correspondent à des iso-Ek tandis que les traits − · − correspondent à des iso-Rog et à des iso-Roh. cette étude sera de choisir un compromis entre l’homogénéité initiale de l’écoulement et une grande vitesse de rotation.
2.4.2 Paramètres instantanés
En parallèle de Vg et Ω, un troisième paramètre est nécessaire pour caractériser l’écoulement au cours du déclin de l’énergie, le temps t après la translation de la grille. Le temps adimensionné est donné par τ = tVg/M et traduit le temps qu’il faut pour que la grille se déplace d’un nombre τ de mailles. Il nous est également possible de normaliser ce temps t par la période de rotation de la cuve tΩ. Nous obtenons alors un deuxième temps adimensionné, τ′
= t/τΩ = Ωt/2π, qui traduit cette fois le nombre de tours de cuve après le passage de la grille.
Nous introduisons également deux paramètres instantanés sans dimensions, les nombres de Reynolds et de Rossby macroscopiques, basés sur les fluctuations de vitesse u′
et sur la taille M de la maille de la grille,
ReM = u′
M/ν, RoM = u′
/2ΩM. (2.11)
Dans la littérature, ces nombres macroscopiques sont calculés en utilisant l’échelle intégrale. Ce-pendant, la détermination de l’échelle intégrale étant délicate, puisqu’il faut mesurer la fonction de corrélation de la vitesse, nous avons dû utiliser la maille M de la grille. Lors de la dimi-nution de l’énergie turbulente, ces deux nombres ReM et RoM diminuent au cours du temps, avec un rapport RoM/ReM qui reste constant (voir la Fig. 2.19). Ce rapport correspond au nombre d’Ekman initial de l’expérience, Ek = ν/2ΩM2 = Rog/Reg, qui dépend uniquement de la vitesse de rotation de la table tournante, et varie dans la gamme 3 × 10−3− 7 × 10−5 au laboratoire FAST, tandis qu’il varie dans la gamme 3 × 10−4− 8 × 10−5 à Coriolis. Les petites valeurs de Ek traduisent le fait que la force de Coriolis est prépondérante par rapport aux forces visqueuses.
Puisque la turbulence à très grand nombre de Reynolds donne naissance à des niveaux de vorticité plus élevés que l’inverse du temps de retournement d’un tourbillon u′
Roω ∼ 1 RoΜ ReΜ I Ω Ω' > Ω II III 1
Fig. 2.19: Deux exemples de trajectoires au cours du déclin de l’énergie dans l’espace des paramètres (ReM, RoM), pour une faible et une grande vitesse de rotation Ω et Ω′
(les axes sont en coordonnées logarithmique). Une expérience commence à partir de la région I, pour laquelle le nombre de Rossby macro est RoM ≫ 1 et la turbulence n’est pas affectée par la rotation. Au cours du déclin, le système peut entrer dans la région II, pour laquelle RoM ≪ 1 et Roω ≃ RoMRe1/2M ≫ 1, où les grandes échelles sont dominées par la rotation tandis que les petites échelles ne le sont pas. Finalement, pour une vitesse de rotation suffisamment élevée, le système entre dans une région III, caractérisée par un nombre de Rossby micro Roω≪ 1, pour laquelle toutes les échelles sont dominées par la rotation.
que les petite échelles échappent à l’influence de la rotation, même pour des petits nombres de Rossby macro RoM. Pour cette raison, il est intéressant d’introduire un dernier nombre sans dimension, le nombre de Rossby microscopique, défini par Jacquin et al. [34],
Roω = ω′
/2Ω, (2.12)
(où ω′
est la vorticité rms verticale). Ce nombre de Rossby micro compare la vorticité à petite échelle à la vorticité d’ensemble de la cuve. L’erreur sur la mesure de ω′
à partir des mesures de PIV induit une erreur de l’ordre de 10% sur Roω.
Pour des nombres de Reynolds suffisamment importants, une région intermédiaire existe, pour laquelle RoM ≪ 1 et Roω ≫ 1 sont simultanément vérifiés. Dans cette région, nommée II sur la figure 2.19, les grandes échelles sont affectées par la rotation d’ensemble de la cuve tandis que les petites échelles ne le sont pas. En supposant que la loi d’échelle de Kolmogorov, u′
η ∼ ǫ1/3η−2/3, est toujours valable dans cette région,2
une analyse dimensionnelle, en utilisant le taux de transfert de l’énergie, ǫ ∼ u′3/M , induit que ω′
≃ u′
/M Re1/2M . Ainsi, la frontière entre les régions II et III est donnée par Roω ≃ RoMRe1/2M ≃ O(1). C’est ce régime intermédiaire qui nous intéresse tout particulièrement puisque les intéractions entre les non-linéarités de la turbulence et les ondes d’inertie produisent une dynamique non triviale, avec de possibles transferts d’énergie vers les modes bidimensionnels. Dans le régime Roω ≪ 1 (region III), le terme linéaire de la force de Coriolis domine la dynamique de l’écoulement et aucun transfert d’énergie n’est attendu.
2
Cette hypothèse est probablement fausse dans ce régime puisque, toutes les échelles de l’écoulement étant dominées par la rotation, les lois de Kolmogorov ne sont probablement plus valables.