L’analyse de la forme de gouttes `a l’´equilibre nous a permis d’obtenir la fonction σ(θ) `a une homoth´etie pr`es. Cette grandeur pr´esente des caract´eristiques originales (orientations interdites mˆeme dans les r´egions dilu´ees) et se caract´erise par un facettage de l’interface Lα-L3 `a un angle θ0 ne correspondant `a aucune sym´etrie des deux phases. La forme de la fonction σ(θ) nous a permis d’expliquer la plupart des ph´enom`enes qui ne rel`event que des propri´et´es thermodynamiques de l’interface (formes diverses de gouttes proches de l’´equilibre ...). En particulier la pr´esence d’orientations interdites d´estabilise les orientations globales d’angle θ > θ0 et ces orientations ne seront en effet jamais observ´ees dans le domaine de coexistence. Au contraire, les orientations (θ < θ0) sont observ´ees mais sont d´estabilis´ees par l’apparition de d´efauts macroscopiques. Il nous reste donc `a ´etudier en d´etail le ((facettage volumique)) des phases lamellaires avant d’aborder les aspects dynamiques de la croissance.
Nous n’avons pas abord´e l’origine de ces propri´et´es originales de σ(θ). Des mod`eles simples seront propos´es dans les Chap. 10 et Chap. 11.
Annexe 5A : ´equation de Gibbs-Thomson g´en´eralis´ee
`
a 2D.
Nous ´etudions ici le cas bidimensionel repr´esent´e en Fig. 5.18. Soit un monocristal `
a l’´equilibre, d’´energie interfaciale σ(ν). Nous appelerons ∆f la variation d’´energie libre volumique entre le cristal et sa phase isotrope. Envisageons un d´eplacement de l’interface de δh(s), fonction de l’abscisse curviligne s. La variation d’´energie libre d’origine volumique s’´ecrit alors :
δFV =−
I
∆f δhds (A.1)
La variation d’´energie libre d’origine surfacique est due `a la variation d’aire (de δhRds o`u R =−ds
dν est le rayon de courbure de l’interface), mais ´egalement aux changements d’orientation de l’interface (de δν = dδhds ) :
δFS = H
σ(ν + δν)(1 + δhR)ds−H
σ(ν)ds
≈ H h
σ(ν)δhR +dσdνdδhds ids (A.2)
Fig. 5.18 – Notations utilis´ees dans l’annexe 5A.
La variation d’´energie libre totale s’´ecrit donc : δF = H h −∆fδh + σ(ν)δh R + dσdνdδhdsids = H h −∆fδh + σ(ν)δh R + d2σ dν2δh R i ds, (A.3)
car d· /ds = −d · /Rdν (int´egration par parties). L’´equilibre thermodynamique se traduit donc par :
R∆f = σ(ν) + ddν2σ2, (A.4)
´equation se r´esolvant `a l’aide d’une construction de Wulff (Chap. 1). Dans le cas simple o`u σ est constant, le rayon de courbure des gouttes l’est aussi et les formes des gouttes sont des disques.
Annexe 5B : analyse des profils et construction de
Wulff.
`
A partir d’un profil de goutte typique (Fig. 5.19), la forme de la goutte est ajust´ee par un polynˆome pair P6 de degr´e 6, ρ = P (z). La construction de Wulff est ensuite obtenue num´eriquement selon la construction d´ecrite Fig. 5.19.
Fig. 5.19 – Goutte de phase ´eponge dans la phase Lα, pour une dilution de φw = 0,82. L’´etude de son profil permet de connaˆıtre σ(θ) = OP .
Remarquons que seule la r´egion pour laquelle θ < θ0 peut ˆetre caract´eris´ee `a partir de la forme de la goutte. N´eanmoins, si on d´efinit formellement σ(θ) aux grandes orientations, les valeurs prises par cette grandeur doivent ˆetre sup´erieures `a la valeur repr´esent´ee en pointill´e Fig. 5.19, pour que l’orientation θ ne soit pas pr´esente dans la forme de la goutte. La partie de courbe (en pointill´e) ainsi d´efinie a pour ´equation en
polaire: σ(θ) sin θ = σ(θ0) sin θ0 σ(θ) = σ(θ0) sin θ sin θ0 (B.1) Cette courbe est un arc de cercle et on v´erifie qu’elle correspond bien `a la fronti`ere de la condition habituelle de stabilit´e d’une interface (voir par exemple [42]) :
˜
σ = σ + σ00 > 0. (B.2)
Cette remarque permet ainsi de d´efinir formellement une limite inf´erieure aux va-leurs prises par σ(θ > θ0) et montre que l’angle θ0 est un point de rebroussement de la fonction σ(θ) (cf. Fig. 5.10).
Chapitre 6
Les d´efauts de la phase Lα
L
a croissance de la phase Lα dans la phase L3 ne se se traduit pas seulement par des instabilit´es d’interface de mˆeme nature que celles rencontr´ees dans les ´etudes classiques de solidification des solides et autres cristaux liquides, mais ´egalement par la nucl´eation et la croissance de d´efauts macroscopiques, l’un des ph´enom`enes les plus visibles dans la morphologie des germes Lα. La bonne lisibilit´e de la texture des bˆatonnets permet une ´etude fine de ces d´efauts, contrairement `a l’´etude de la phase Lα
en ´echantillons ´epais.
Ce chapitre est donc consacr´e aux d´efauts macroscopiques pr´esents dans les bˆatonnets et couches lamellaires minces au repos. Dans une premi`ere partie, nous caract´eriserons ces d´efauts, ce qui nous am`enera `a ´etendre l’approximation g´eom´etrique habituelle des smectiques pour les phases Lα. Ce travail nous permettra d’expliquer la pr´esence de d´efauts autres que les coniques focales et de d´ecrire la structure des r´eseaux dans les couches minces lamellaires Fig. 4.8 et 5.6. Enfin, cette approche nous am`enera dans une derni`ere section plus th´eorique, `a r´efl´echir sur la validit´e de l’approximation g´eom´etrique des smectiques et `a proposer une m´ethodologie pour trouver les textures avec conditions aux limites impos´ees, applicable aux lamellaires dans les situations les plus simples.
6.1 Observations en microscopie optique
6.1.1 Techniques exp´erimentales
Les observations d´ecrites dans ce chapitre ont ´et´e obtenues sur une phase ´eponge de composition φeau = 0,7, h/c≈ 1,12, dont la transition L3-Lα d´ebute autour de 40◦C et se termine au voisinage de 65◦C. Les ´echantillons (capillaires de 200, 300 ou 400µm)
sont introduits dans la platine chauffante et observ´es sous microscope entre polariseurs et analyseurs crois´es. Les organisations lamellaires macroscopiques sont alors ´etudi´ees par rotation de l’´echantillon et observation des lignes d’extinction, puis d´etermin´ees `a partir de consid´erations g´eom´etriques simples et des singularit´es pr´esentes.
La croissance libre des bˆatonnets obtenue par un saut brutal de quelques degr´es, conduit `a l’apparition des d´efauts classiques des Sm-A : les coniques focales. Comme nous l’avons d´ej`a remarqu´e Chap. 4, elles sont moins nombreuses et peu pr´esentes dans les germes de petite taille. Par contre, d’autres singularit´es sont pr´esentes : il s’agit de surfaces courbes sur lesquelles le champ du directeur n’est plus d´efini (se reporter aux Fig. 4.4 et 4.7). Il faut donc conclure que la description habituelle des d´efauts dans les Sm-A, rappel´ee Chap. 1, ne suffit pas `a d´ecrire l’organisation des couches. Si l’approximation g´eom´etrique semble valide pour d´ecrire l’organisation de domaines isol´es, chaque organisation distincte se raccorde aux autres selon ces d´efauts de surface inexistants, ou peu visibles, dans les Sm-A.
6.1.2 Le bˆatonnet ((glaive I))
Le bˆatonnet le plus simple pr´esentant l’un de ces d´efauts a ´et´e d´ecrit Fig. 4.4, nous l’appellerons bˆatonnet((glaive I)). Il est fr´equemment obtenu en croissance rapide, r´esultant d’une augmentation brutale de la temp´erature de l’´echantillon de plus de 5◦C1. Ce bˆatonnet peut ensuite ˆetre ´etudi´e pendant une dur´ee typique d’une heure, avant qu’il ne disparaisse rapidement au contact des parois, son d´eplacement ´etant dˆu `a la faible diff´erence de densit´e avec la phase L3. Pour le confort du lecteur, nous rappelons son allure Fig. 6.1.
Le corps de ce bˆatonnet est constitu´e d’un empilement de lamelles coniques alors que son ext´emit´e est constitu´ee d’un empilement sph´erique (voir Fig. 6.2). Ces deux domaines sont s´epar´es par une surface sur laquelle le directeur est discontinu `a l’´echelle des observations optiques.