CHAPITRE 2 : MODELISATION EXERGO- ECONOMIQUE DE LA MACHINE A
2.2 Hypothèse de base
Avant d‟entamer la modélisation de la machine frigorifique à absorption montrée par la figure 2.1, il est nécessaire d‟émettre certaines hypothèses simplificatrices [1], sur lesquelles vont se baser les calculs. Elles s‟énoncent comme suit :
le fonctionnement du cycle est en régime permanent;
les températures dans les composants (générateur, évaporateur, condenseur,absorbeur) sont supposées uniformes sur tout le volume considéré ;
la pression dans l‟absorbeur est égale à celle de l‟évaporateur ce qui revient à négliger les pertes de charge; la pression dans le bouilleur est de même égale à celle du condenseur ;
les pressions haute et basse sont celles d‟équilibre aux températures du générateur et de l‟évaporateur, respectivement ;
La solution riche en fluide frigorigène à la sortie de l'absorbeur est un liquide saturé à la température et la concentration dans l'absorbeur. De même, la solution pauvre en fluide frigorigène quittant le générateur est à une concentration liée par une relation d'équilibre à la pression et à la température du générateur;
le travail fourni à la pompe est négligeable ;
Le fluide frigorigène sortant du condenseur est pris comme étant liquide saturé à la température et la pression correspondante ;
Le frigorigène, à la sortie de l'évaporateur, est à l'état de vapeur saturée à la température et à la basse pression de l'évaporateur;
les détentes sont isenthalpiques ;
les échanges entre les parois des échangeurs et l‟extérieur sont négligeables ; 2.3 Analyse Energétique et Exergétique
Ici en se référant au cycle représenté sur la figure 2.1 on fera ressortir pour chaque composant de la machine à absorption les bilans massiques, énergétiques, entropiques et l‟estimation des irréversibilités.
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2.3.1 Rappels thermodynamiques
Considérons le volume de contrôle de la figure 2.2 ci-dessous qui reçoit un flux de chaleur ̇ à la température T et fournit une puissance ̇ au milieu extérieur à la température To.
Figure 2-2 Schéma d’un volume de contrôle.
Notons respectivement h, s, l‟enthalpie, l‟entropie et l‟exergie spécifiques du fluide. En supposant que le volume a plusieurs ports d‟entrée (indice e) et de sortie (indice s) et que le régime est permanent, les équations générales applicables au système s‟écrivent :
Bilan de masse
∑ ̇ ∑ ̇ (1)
Bilan d‟énergie
̇ ̇ ∑ ̇ ∑ ̇ (2)
Bilan d‟entropie
̇ ∑ ̇ ∑ ̇ ̇ (3)
Estimation des irréversibilités
∑ ̇ ∑ ̇ ̇ ( ) ̇ (4) l‟éxergie spécifique etpeut se mettre sous la forme :
(5)
Entrée e
Sortie s ̇
̇
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2.3.2 Application à la machine à absorption
Dans tout ce qui suit, on notera respectivement : le débit masse, l‟entropie, l‟enthalpie et l‟exergie spécifiques du fluide à l‟état i.
2.3.2.1 Absorbeur
Le schéma de principe est représenté à la figure 2.3. La vapeur dufrigorigène venue de l‟évaporateur (14) parvient à l‟absorbeur où est pulvérisé lemélange pauvre venu du bouilleur (6). Une circulation d‟eau froide (16) permetd‟extraire la chaleurde l‟absorbeur. Le mélange sort riche (1).
Figure 2-3 Schéma de l’absorbeur.
Bilan de masse (fluide de refroidissement)
̇ ̇ (6)
Bilan de masse (mélange)
̇ ̇ ̇ (7)
Bilan de masse (fluide frigorigène NH3)
̇ ̇ ̇ (8)
Ici les représentent les concentrations d‟ammoniac dans le mélange à l‟état i.
Bilan d‟énergie
La puissance ̇ de l‟absorbeur peut s‟exprimer comme suit :
̇ ̇ ̇ ̇ (9)
QA
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Bilan d‟entropie
L‟entropie ̇ générée à l‟absorbeur est fonction des entropies spécifiquesaffectées des débitset de la puissance de l‟absorbeur. On a alors :
̇ ̇ ̇ ̇ ̇
(10)
, représente la température moyenne entropique à l‟absorbeur
Irréversibilité
La somme des exergies entrantes est égale à celles sortantes et àl‟irréversibilité ̇ associée à l‟absorbeur. On a :
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (
) (11)
Avec TOune température de référence.
Rendement exergétique
La pompe de circulation permet de faire varier la pression. Elle aspire lemélange riche à basse pression (1) et le refoule à haute pression(2).
Figure 2-4 Schéma de la pompe.
Bilan de masse
̇ ̇ (13)
Bilan d‟énergie
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̇ ̇ ( ) ̇ ( ) (14)
Bilan d‟entropie
̇ ̇ ( ) (15)
Irréversibilité
L‟irréversibilité ̇ associée à la pompe mécanique est :
̇ ̇ ( ) ̇ (16)
Rendement exergétique
̇ ( )
̇
(17)
2.3.2.3 Détendeur D1
La solution pauvre sortie de l‟échangeur de solution (5) à haute pressionest détendue avant son admission à l‟absorbeur(6). Rappelons que la détente estisenthalpique et il n‟y a pas de variation de matière.
Figure 2-5 Schéma du détendeur.
Bilan de masse
̇ ̇ (18)
Bilan d‟énergie
(la détente étant isenthalpique) (19)) D1
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Bilan d‟entropie
̇ ̇ ( ) (20)
Irréversibilité
̇ ( ) (21)
Rendement exergétique
(22)
2.3.2.4 Echangeur de solution
L‟échangeur thermique Liquide-Liquide permet le transfert de chaleur dela solution pauvre venue du bouilleur (4) vers la solution riche sortie del‟absorbeur (2) avant son admission dans le bouilleur (3). Il permet de réduireainsi le temps de désorption. Le schéma de principe est représenté à la figure 2.6
Figure 2-6 Schéma de l’échangeur de chaleur.
Bilan de masse
̇ ̇ et ̇ ̇ (23)
Bilan d‟énergie
La puissance ̇ de l‟échangeur de solution est donnée par :
̇ ̇ ( ) ̇ ( ) (24)
Bilan d‟entropie
L‟entropie générée ̇ est donnée par l‟expression suivante fonction del‟entropie spécifiques:
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̇ ̇ ( ) ̇ ( ) (25)
Irréversibilité
̇ ( ) ̇ ( ) (26)
2.3.2.5 Bouilleur ou Générateur
Le bouilleur reçoit la solution riche sortant de l‟échangeur de solution(3), etil en sort la solution pauvre (4) et la vapeur de réfrigérant (7) avant son entrée aurectificateur. La séparation est due au passage d‟une source de chaleur (18) quifournit de la chaleurau bouilleur. Le schéma de principe est représenté à lafigure 2.7.
Figure 2-7Schéma du bouilleur.
Bilan de masse (mélange)
̇ ̇ ̇ ̇ (27)
Bilan de masse (fluide frigorigène)
̇ ̇ ̇ ̇
(28) Bilan d‟énergie
La puissance du bouilleur ̇ est donnée par l‟expression suivante:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (29)
Bilan d‟entropie
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̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
Le rectificateur reçoit la vapeur de réfrigérant sortant du bouilleur de solution(7) et contenant de la vapeur d‟eau. Cette dernière est condensée grâce à la circulation d‟un fluide froid (22-23). Il découle de la rectification, des vapeurs purifiées de fluide frigorigène (9) en partance pour le condenseur et de l‟eau (8) qui retourne au bouilleur.Le schéma de principe est représenté à lafigure 2.8.
Figure 2-8 Schéma du rectificateur.
Bilan de masse
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La puissance du rectificateur est donnée par l‟expression suivante:
̇ ̇ ̇ ̇ (35)
Bilan d‟entropie : L‟entropie générée au sein du rectificateur est donnée par l‟expression :
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (36)
Irréversibilité
̇ ̇ ̇ ̇ (
) (37)
Rendement exergétique
̇ ( ) ̇ ̇ ̇
(38)
2.3.2.7 Condenseur
La vapeur de frigorigène venant du rectificateur est admise dans le condenseur (9) où elle est refroidie par une circulation d‟eau froide(19). Cette dernière va extraire une quantité de chaleur ̇ nécessaire à la condensation du réfrigérant. La vapeur condensée (10) est envoyée dans l‟échangeur de chaleur liquide vapeur pour être davantage refroidie. Le schéma de principe est représenté à la figure 2.9.
Figure 2-9 Schéma du condenseur.
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Bilan de masse
̇ ̇ et ̇ ̇ (39)
Bilan d‟énergie
La puissance du condenseur est donnée par l‟expression suivante:
̇ ̇ ( ) (40)
Bilan d‟entropie
̇ ̇ ( ) ̇ (41)
Irréversibilité
̇ ( ) ̇ (
) (42)
Rendement exergétique
̇ ( ) ̇ ( )
(43)
2.3.2.8 Echangeur liquide – vapeur
L‟échangeur thermique Liquide-Vapeur permet d‟extraire la chaleur dufrigorigène liquide venue du condenseur (10) avant son admission au détendeurD2 (11) par le frigorigène vapeur sortie de l‟évaporateur (13) avant son admissionà l‟absorbeur (14). Ceci permet d‟augmenter la production frigorifique. Leschéma de principe est représenté à la figure 2.10.
Figure 2-10Schéma de l’échangeur liquide-vapeur.
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Bilan de masse
̇ ̇ = ̇ ̇ (44)
Bilan d‟énergie
̇ ̇ ( ) ̇ ( ) (45)
Bilan d‟entropie
̇ ̇ ( ) ̇ ( ) (46)
Irréversibilité
̇ ( ) ̇ ( ) (47)
2.3.2.9 Détendeur D2
Le frigorigène liquide sorti de l‟échangeur thermique à haute pression (11)est détendu avant son admission à l‟évaporateur (12). Il n‟y a pas de variationd‟énergie et de matière à travers le détendeur.
Figure 2-11 Schéma du détendeur D2.
Bilan de masse
̇ ̇ (48)
Bilan d‟énergie
(la détente étant isenthalpique) (49)
Bilan d‟entropie
̇ ̇ ( ) (50)
Irréversibilité
̇ ( ) (51)
D2
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2.3.2.10 Evaporateur
Le frigorigène liquide est admis à l‟évaporateur (12) où il est pulvérisé dans une ambiance à très faible pression. En s‟évaporant, le réfrigérant soustrait la chaleur ̇ au frigoporteur qui est ainsi refroidi(22). Il n‟y a pas de variation de masse à travers l‟évaporateur. Le schéma de principe est représenté à la figure 2.12.
Figure 2-12 Schéma de l’évaporateur.
Bilan de masse
̇ ̇ (52)
Bilan d‟énergie
̇ ̇ ( ) (53)
Bilan d‟entropie
̇ ̇ ( ) ̇ (54)
Irréversibilité
̇ ( ) ̇ ( ) (55)
Rendement exergétique
̇ ( ) ̇ ( )
(56)
2.3.3 Calcul du taux de circulation FR
Les calculs relatifs aux machines à absorption se font généralement par unité de masse des vapeurs pures arrivant au condenseur. On définit ainsi le taux de circulation ou débit
13
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spécifique de solution ou encore débit du mélange riche FR, comme le rapport des débits En combinant les relations de bilans de masse au bouilleur (relations 27 et 28) et au
rectificateur (relations 33 et 34) avec les expressions suivantes : Débit masse du mélange riche
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (58)
Débit masse du mélange pauvre
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (59)
Débit masse des vapeurs purifiées à la sortie du rectificateur
̇ ̇ ̇ (60) correspondant aux points i respectifs du cycle de la machine frigorifique (figure 2.1)
2.3.4 Calcul des rendements de la machine 2.3.4.1 Coefficient de performance COP
Le rendement énergétique ou coefficient de performance de la machine à absorption est le rapport de l‟énergie utile sur l‟énergie utilisé. Etant donné que l‟effet utile ici est le froid produit à l‟évaporateur, le coefficient de performance est donné par la relation suivante :
̇ ̇ ̇
(62)
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On rappelle que ̇ ̇ sont les quantités de chaleur échangées respectivement à l‟évaporateur et au générateur et l‟énergie à fournir à la pompe.
Notons que, le travail à fournir à la pompe est généralement négligeable devant la quantité de chaleur échangée au générateur et on peut donc estimer le COP de la machine à absorption à l‟aide de l‟expression suivante (63).
̇ ̇
(63)
Avec les relations (29) et (53), le COP devient : ̇ ( )
̇ ̇ ̇ ̇
(64) En tenant compte des relations (39) et (44) on obtient :
̇ ( ) ̇ ̇ ̇ ̇
(65)
Divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par ̇ on obtient :
Des relations (27), (28), (33) et (34), on déduit les expressions suivantes : ̇
En insérant ces trois dernières relations dans l‟expression (66) du COP on obtient :
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( ) ( ) ( )
(70)
2.3.4.2 Le rendement exergétique
Le rendement exergétique de la machine se définit comme étant le rapport de l‟exergie utile sur l‟exergieconsommée. L‟exergie utile ici, est celle obtenue par le fluide frigorigène à l‟évaporateur. L‟exergieconsommée pour avoir cet effet utile à l‟évaporateur, est la somme des exergies de la quantité de chaleur transférée au bouilleur et du travail fourni à la pompe.
On obtient donc : découle une nouvelle expression du rendement exergétique.
( ) ̇
( ) ̇ ( )
( )
(72)
Dans les expressions (71) et (72), , représente une température de référence.
2.4 Etude Economique
Il s‟agira dans cette partie d‟évaluer pour une machine à absorption le temps brut de retour simple sur investissement (sans actualisation) en fonction du coût moyen de la machine , du coût moyen de vente de la frigorie produite , du coût unitaire du combustible (charbon, tourbe, gaz, fuel…) utilisé au bouilleur et du COP de la machine.
Toute l‟analyse économique qui suit se repose sur les réalités du marché béninois.
2.4.1 Détermination du coût de vente du kilojoule de froid produit : en FCFA/kJ Considérons une machine frigorifique destinée à produire de la glace à partir des sachets d‟eau communément appelé « pure water » et très vendus sur le marché africain en général et béninois en particulier. Le sachet de « pure water » est obtenu en stockant généralement 0,5 L d‟eau soit me= 0,5 kg d‟eau (la masse volumique de l‟eau étant de 1kg/L) dans un sachet conçu pour la circonstance. Le prix de vente du sachet de « pure water » est fonction de l‟état
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de l‟eau : sous forme d‟eau fraîche le sachet est à 25 FCFA et sous forme de glace, il est vendu à 50 FCFA.
La quantité Q1 de chaleur qu‟il faut extraire à l‟eau prise à la température ambiante To pour la transformer entièrement en glace est donnée par la relation suivante :
[ ( ) ] (73)
Avec :
Ce = 4,18kJ/ (kg °C) : la chaleur spécifique de l‟eau Lf=333 kJ/kg : chaleur latente de fusion de la glace
Si on note PVg le prix de vente sur le marché béninois d‟une masse me d‟eau qui s‟est transformée en glace, le prix de vente du kJ de froid produit devient:
(74)
En appliquant les relations (73) et (74) au sachet de « pure water » contenant 500 g d‟eau (vendu à 50 F CFA sous forme de glace) on obtient le prix unitaire de vente du kJ de froid produit : .
2.4.2 Détermination du temps brut de retour sur investissement (TRI)
Evaluation du chiffre d‟affaire annuel : en considérant une année de 360 jours, une disponibilité de dmach (nombre de jours de fonctionnement/ 360), et une puissance ̇ [kW] disponible à l‟évaporateur, le chiffre d‟affaire annuel CA réalisable avec la machine à absorption est :
̇ (
) ( ) ̇ (75)
Evaluation du coût annuel de production CP du froid:
CP est la somme des montants annuels alloués à l‟achat de combustible, la maintenance systématique ou curative de l‟équipement et éventuellement le salaire annuel de celui qui s‟occupe de la vente des produits finis. On appelle le prix (en FCFA/kWh) sur le marché de combustible (ce coût dépend bien évidemment du type de combustible
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choisi). Dans cette analyse, le coût de la maintenance ainsi que le salaire du vendeur, sont estimés au prorata (Km) du coût de combustible.
̇ étant la puissance en kW fournie au bouilleur ou générateur, on peut évaluer le coût annuel de production par l‟expression :
( ) ̇ (76)
Economie annuelle réalisée sur l‟équipement : Il s‟agit tout simplement de la différence entre le chiffre d‟affaire et le coût annuels de production du froid.
[ ̇ ( ) ̇ ] (77)
Détermination du TRI : Le temps de retour brut sur investissement se définit ici comme le nombre d‟années au bout duquel le cumul des économies annuelles égale l‟investissement ou le surcoût d‟investissement [17]
(78)
Inv représente ici l‟investissement initial en F CFA. Il englobe ici le coût d‟achat de l‟équipement ainsi que tous les frais engagés pour sa mise en fonctionnement.
En combinant les relations (77) et (78) on obtient :
[ ̇ ( ) ̇ ]
(79)
En insérant dans (79), l‟expression (63) du COP, on déduit une autre expression du TRI :
̇ [ ( ) ] (80)
L‟analyse exergo-économique faite dans ce chapitre, a permis d‟évaluer en fonction des caractéristiques et conditions de fonctionnement de la machine, son rendement exergétique et son temps brut de retour sur investissement. Ces deux éléments seront les
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critères à optimiser dans le chapitre suivant consacré à l‟optimisation de la machine à absorption à l‟aide des algorithmes génétiques.
CHAPITRE 3 : OPTIMISATION EXERGO- ECONOMIQUE DE
LA MACHINE A ABSORPTION A AMMONIAC
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Ce chapitre porte sur la description du problème d‟optimisation. Il définit les variables à optimiser, les contraintes d‟optimisation. La méthode d‟évaluation de la fonction fitness ou fonction objectif y est aussi décrite.
3.1 Le problème d’optimisation
Dans le fonctionnement de la machine à absorption, on peut définirquatretempératures externes qui sont les suivantes :
température de la source chaude TSC,
température de la source froide TSF,
température du milieu de refroidissement del‟absorbeur Tma,
température du milieu de refroidissement du condenseur Tmc.
A ces quatre (4) températures externes correspondent quatre températures internes qui sont respectivement :
la température du bouilleur ou générateur TG,
latempérature d‟évaporation TE,
la température de l‟absorbeur TA,
et la température de condensation TC.
Il s‟agit ici d‟optimiser le régime des températures de fonctionnement de la machine à absorption. Les températures de fonctionnement à prendre en compte ici, sont les températures externes couplées aux écarts de température qui renseigneront sur les températures internes. Les plages de variations des écarts sont obtenues à partir des travaux de Minkuc et al.[16]
o la température de la source chaude Tsc et l‟écart ∆TG tel que :
(81) o la température du milieu de refroidissement du condenseur et l‟écart qui
dépend du médium de refroidissement tel que :
(82)
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o la température de la source froide et l‟écart tel que :
(83)
o la température du milieu de refroidissement de l‟absorbeuret l‟écart qui dépend du médium de refroidissement tel que :
(84)
Le problème à résoudre peut se résumer comme suit :
Considérons la machine frigorifique à absorption à ammoniac représentée sur la figure 2.1 de puissance frigorifique ̇ et dont les échangeurs liquide-liquide et liquide- vapeur, ont une efficacité Ech donnée. Quel est le 8-uplet( ) de températures permettant d‟avoir le rendement exergétique optimal et le meilleur temps de retour sur investissement ?
3.2 Fonction fitness ou objectif TRIREX
Le problème d‟optimisation tel que posé plus hautest uneoptimisation à double critères :
le rendement exergétique,
et le temps de retour sur investissement.
Le but étant ici de maximiser le rendement exergétique tout en minimisant le temps de retour sur investissement.Les expressions du rendement exergétique et du temps de retour sur investissement de la machine sont respectivement données par les relations (72) et (80) du chapitre précédent. Ces paramètres apparaissent dans ces relations comme fonction des enthalpies spécifiques et des titres en ammoniac à différents stades du processus de production de froid. La résolution du problème d‟optimisation ainsi posé, nécessite l‟expression du rendement exergétique et du TRI en fonction des différentes températures de fonctionnement. Ces paramètres seront les sorties de la fonction fitness que nous nommerons dans la suite TRIREX
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3.2.1 Expression du rendement exergétique en fonction des températures de fonctionnement
D‟après l‟expression (72), le rendement exergétique est fonction du coefficient de performance COP. Ce dernier dépend à son tour :
des enthalpies du mélange eau-ammoniac(NH3/H20) en phase liquide ou vapeur saturée ,
La concentration d‟ammoniac dans le mélange en phase liquide ou vapeur saturée
Selon l‟état du mélange binaire, différentes expressions sont utilisées pour calculer l‟enthalpie spécifique ou la concentration en ammoniac. Lesfonctions mathématiques utilisées dans cette étude, sont tirées des travaux de Bourseau and Bugarel [11] :
o Fonction de calcul de l’enthalpie spécifique de la solution eau-ammoniac en phase liquide hmelliq (T, x)
La relation entre la température T (°C), la concentration et l‟enthalpie du mélange binaire en phase liquide est donnée par l‟expression :
( ) ∑ (
)
̅ (85)
Avec ̅ la fraction molaire d‟ammoniac dans le mélange et donnée par l‟expression :
̅
( )
(86)
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o Fonction de calcul de l’enthalpie spécifique de la solution eau-ammoniac en phase vapeur hmelvap (T, y)
La relation entre la température (°C), la concentration et l‟enthalpie du mélange binaire (H20 /NH3) en phase vapeur saturée est donnée par l‟expression :
( ) ∑ (
)
( ̅) (87) Avec ̅ la fraction molaire d‟ammoniac dans le mélange et donnée par l‟expression :
̅
( ) (88)
o Fonction de calcul des concentrations en ammoniac du mélange binaire (NH3/H20) en phase liquide saturé:
La relation entre la pression de saturation P (kPa), la température T (°C) et la concentration du mélange eau-ammoniac en phase liquide est donnée par:
( ̅) ∑ ( ̅) [ ( )]
(89) Où ̅ représente la fraction molaire en ammoniac de la solution. La fraction molaire est liée à la fraction massique x par la relation :
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̅
( ̅) ̅
(90)
On peut déduire des deux relations précédentes, une fonction Concentliq (P, T) qui calculera en fonction de la pression et de la température, la concentration en ammoniac de la phase liquide du mélange.
o Fonction de calcul des concentrations en ammoniac du mélange binaire (NH3/H20) en phase vapeur saturée:
La relation entre la pression de saturation P (kPa), la température T (°C) et la fraction molaire ̅du mélange eau-ammoniac en phase vapeur est donnée par:
( ̅) ∑ ( ̅) [ ( )]
(91) ̅ représente la fraction molaire de l‟ammoniac et y la fraction massique.