Caractéristiques de notre piège dipolaire croisé

On veut décrire ici les caractéristiques du piège résultant de l’intersec-tion de deux faisceaux gaussiens TEM₀₀croisés à 45°, l’un étant horizontal, l’autre situé dans le plan vertical contenant le premier (voir figure2.2). On repérera les grandeurs relatives au faisceau horizontal par un indice h, et celles relatives au faisceau vertical par un indice v. On notera U la profon-deur des potentiels créés par les faisceaux dipolaires, w la largeur de leur col, zR= πw2_/λleur longueur de Rayleigh, et ω =p

4U/(mw2) la pulsation des petites oscillations transverses d’une particule de masse m au voisinage du col du faisceau [27].

En supposant les faisceaux parfaitement croisés, et en négligeant la va-riation axiale de leur intensité lumineuse2, le potentiel auquel sont soumis les atomes s’écrit :

U(r) = −Uhe⁻²

y2+z2 w2

h − U_ve^{−2y2+(z−x)2/2}w2_v + mgz . (2.7) Centre du piège. Pour déterminer le centre du piège r0, il faut résoudre ∇U(r0) = 0. La projection sur l’axe y de cette équation donne y0 = 0, et la projection sur l’axe x implique que x0 = z0. La dernière projection permet de déterminer la valeur z0 : z0 = −^wh 2 r −W^−A⁻2 h /e , (2.8)

2. Pour pouvoir faire cette simplification, il faut que x2  z2

R,h et x2, z2  z2

R,v, ce qui sera bien vérifié par la suite.

où on a introduit la fonction W de Lambert, qui est la réciproque de la fonc-tion u 7→ u·eusur l’intervalle [−1, +∞[, ainsi que le paramètre adimensionné A_h défini par :

A_h= ^2Uh

mgwh√e , ^(2.9)

qui compare la force maximale exercée par le piège horizontal, obtenue pour r= wh/2 et valant 2Uh/(wh√e), à la force de gravitation. On remarque que z0 ne dépend que des caractéristiques du faisceau horizontal ; ceci provient du fait que nous avons négligé la variation axiale des potentiels.

Il n’y a de solution que lorsque le faisceau horizontal est suffisamment raide pour compenser la gravité, c’est-à-dire pour Ah > 1. On peut donc réécrire Ah sous la forme :

Ah = ^Ph

Pc

, (2.10)

où Ph est la puissance du faisceau horizontal et Pc = mgw3

h√e/(2χ) est la puissance critique en dessous de laquelle celui-ci ne constitue plus un piège. Pour un col wh∼40 µm, cette puissance critique est de l’ordre de 50 mW. La variation de z0 en fonction du paramètre Ahest représentée sur la figure2.3. La valeur maximale de |z0|vaut wh/2, ce qui justifie le fait d’avoir négligé les variations axiales des potentiels, car pour les faisceaux que nous avons utilisés en pratique, wh z_R,h, zR,v.

Les puissances les plus faibles que nous avons utilisées sont de l’ordre de 5Pcen fin de rampe (cf §2.3.2), soit un décalage du centre du piège de 6 % de la largeur du col, soit 2,4 µm.

Fréquences propres du piège. Pour déterminer les axes propres et les fréquences propres du piège, il faut diagonaliser la matrice Hessienne du potentiel Ω[U] au niveau de son minimum. En effet, les valeurs propres de ˜Ω = Ω[U](r0)/m sont les carrés des pulsations propres ; les vecteurs propres donnent les axes propres du piège. Cette matrice s’écrit ˜Ω = ˜Ωh+ ˜Ωv en séparant les contributions des faisceaux :

˜Ω =    0 0 0 0 ω2 y 0 0 0 ω2 z   + ω2 v    1/2 0 −1/2 0 1 0 −1/2 0 1/2    , (2.11)

en introduisant les pulsations modifiées par le déplacement gravitationnel ω2 y = ω2 hexp −2z2 0^/wh²
et ω2 z = ω2 y 1 − 4z2 0^/w2h

. Nous les avons tracé en fonction de Ah sur la figure 2.3. La fréquence ωy reste proche de sa valeur à forte puissance ωh quel que soit Ah; par contre, la fréquence ωz tend vers 0 quand Ah tend vers 1, ce qui est la trace du fait que le système n’est plus piégeant pour Ah < 1. Pour nos rampes expérimentales, Ah & 5, et ωy = ωz= ωh à 1 % près.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 z⁰ /w h 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 100 101 102 ωⁱ /ω h A_h ω_y/ω_h ω_z/ω_h

Figure 2.3 – Influence de la gravité au travers du paramètre Ah = Ph/Pc. En haut, nous avons représenté la position du centre du piège ; il est d’autant plus décalé vers le bas que Ph se rapproche de la valeur critique Pc. En bas, nous avons représenté les fréquences propres de piégeage transverse dans le faisceau horizontal seul, relativement à la fréquence ωh en l’absence de gravité. La fréquence transverse horizontale reste peu affectée quel que soit Ah, alors que la fréquence transverse verticale tend vers 0 pour Ah→1.

Figure 2.4 – Centre et axes propres du piège constitué par les deux faisceaux

dipolaires. L’axe x est l’axe du faisceau horizontal, et le trait en pointillés est celui du faisceau vertical.

10−2 100 102 ωⁱ /ω v ω₁/ω_v ω₂/ω_v ω₃/ω_v 0 15 30 45 0.01 0.1 1 10 100 θ [ o ] α

Figure 2.5 – Variation des pulsations propres ainsi que de l’angle entre les

axes propres et les axes(x, z) en fonction du rapport α, pour Ph/Pc1.

En examinant l’expression de ˜Ω, on voit immédiatement que l’axe y reste un axe propre du piège, et que la fréquence sur cet axe vaut ω2

2 = ω2 y+ ω2

v. La diagonalisation du reste de la matrice ne pose pas de problème, et on obtient, en introduisant le rapport α = ωz/ωv :

ω2 1 = ^ω2v 2  1 + α2₋p 1 + α4 sur l’axe x0 (2.12) ω2 3 = ^ω2v 2  1 + α2+p 1 + α4 sur l’axe z0, (2.13) l’axe x0 faisant un angle θ avec l’horizontale (voir figure2.4) donné par :

tan θ = ¹

α2+^√1 + α4 ^. (2.14)

L’axe associé à la pulsation z0se déduit du précédent par une rotation d’angle π/2 autour de l’axe y. On a représenté sur la figure 2.5 la variation des fréquences propres et de l’angle θ en fonction du paramètre α pour Ah1, ce qui est le cas pour la majeure partie des rampes expérimentales.

La lecture de ces résultats amène plusieurs remarques :

• les fréquences propres de piégeage dépendent de deux paramètres : l’un, Ah, compare la force de gravitation à la force maximale exer-cée par le faisceau horizontal sur les atomes ; l’autre, α, compare les fréquences de piégeage transverse des faisceaux.

• le piège ne peut pas être isotrope. Il s’en rapproche le plus lorsque A_h  1 et α = 1, et les trois fréquences sont alors dans le rapport 0,54 : 1 : 1,30.

Profondeur du piège. Pour déterminer la profondeur de piégeage U0, il faut analyser les voies de sorties les plus favorables. Il y en a a priori deux : les atomes peuvent s’échapper sur l’axe du faisceau horizontal ou sur l’axe du faisceau vertical. Toutes les autres possibilités sont nécessairement moins avantageuses d’un point de vue énergétique puisqu’il faut gravir les potentiels créés par les deux faisceaux. La voie la plus favorable va donc dépendre de la profondeur respective de chacun des potentiels horizontaux et verticaux.

Nous avons utilisé deux approches au cours de nos expériences (cf §2.3.2) : dans la première, nous avons maintenu constant le rapport des puissances des deux faisceaux, de façon à ce que le paramètre α soit voisin de 1. La profondeur se déduit alors de l’un ou l’autre des deux faisceaux indifférem-ment ; dans la seconde, on a utilisé des intensités verticales plus importantes que l’intensité horizontale, de façon à conserver une fréquence de piégeage élevée. La profondeur du piège est alors dictée par la profondeur du faisceau horizontal.

Dans tous les cas, il suffit de s’intéresser à la profondeur du piège consti-tué par le faisceau horizontal pour déterminer la profondeur du piège di-polaire croisé. Nous avons tracé celle-ci sur la figure 2.6 en fonction de Ah = P/Pc, qui constitue le seul paramètre intervenant. Dès que l’on dé-passe le seuil, la profondeur augmente quasi-linéairement avec la puissance (comme en l’absence de gravité).