*( ) ( ) Xi r Ri Pi Yi r Ri Pi X ti X ti X X Y ti Y ti Y Y (2-3)
Il serait possible de calculer une erreur de suivi globale comme la distance directe entre le point Pi et le point Ri, définie selon l’équation (2-4) :
2 2
i i i Xi Yi
PR
(2-4)
L’écart d’asservissement au contour calculé au point Pi, noté e2.2(i), est défini par la composante normale de l’erreur i donnée en (2-4).
Cette définition de l’écart de contour peut être utilisée pour caractériser les écarts entre les trajectoires générées à chacune des étapes. Ainsi, l’écart d’interpolation e2.1(i) représente l’écart de contour entre la trajectoire de consigne et la trajectoire FAO. De même, si l’écart de contour est calculé entre la trajectoire exécutée et la trajectoire de FAO, il représente alors entièrement les écarts d’exécution
e2(i). Les erreurs de contour ainsi définies rendent compte de la précision de l’usinage de la pièce
[SENCER et al. 09a].
3.2 Calcul des écarts de contour
La méthode de calcul des écarts de contour proposée permet de calculer les écarts, pour tout type de trajectoires, planes ou 3D, quel que soit le format de description. Pour des raisons de lisibilité, les illustrations sont détaillées dans le cas de trajectoires planes. La généralisation aux trajectoires 5 axes nécessite de calculer en plus les erreurs d’orientation de l’axe de l’outil [SENCER et al. 09a]. Cette méthode permet de calculer des écarts entre deux trajectoires discrètes, une trajectoire dite de référence et une trajectoire dite générée.
3.2.1 Notion de fenêtre glissante
L’écart de contour est défini comme étant la plus petite distance entre le point P appartenant à la trajectoire générée et le point Q appartenant à la trajectoire de référence (TR) :
min
P Q TR
e P Q
(2-5)
Cette définition est valable dans une fenêtre glissante le long de la trajectoire. En effet, si la trajectoire à suivre décrit une courbe de géométrie particulière, comme par exemple un bouclage, la distance minimale doit être calculée pour des points proches temporellement. Sur l’exemple de la Figure 2.13 (gauche), la distance la plus courte est relative à la première portion de la courbe (point Q1), mais temporellement, le point P de la trajectoire générée est à associer au point Q2 de la deuxième portion.
Figure 2.13. Principe général de calcul des erreurs de contour
Les points P et Q étant somme toute relativement proches, la stratégie de calcul est effectuée dans une fenêtre glissante qui, comme son nom l’indique se déplace au fur et à mesure que la trajectoire est décrite. L’appellation de fenêtre glissante fait référence à un intervalle comprenant un nombre fini d’échantillons sur lequel un ensemble de distances est calculé. Parmi les distances calculées, la plus petite est retenue pour définir l’écart de contour au point considéré (Figure 2.14).
Pi Pi+1 Pi- 1 Qi-1 Qi Qi+1 fenêtre i fenêtre i+1 trajectoire 1 trajectoire 2
Figure 2.14. Fenêtre glissante
Le nombre de points est associé à la taille de la fenêtre, elle-même fonction de l’échantillonnage des trajectoires. Par ailleurs, il y a autant de fenêtres qu’il y a de points échantillonnés sur la trajectoire générée. La taille de la fenêtre glissante est directement liée au rapport entre le nombre de points de la trajectoire 1 et le nombre de points de la trajectoire 2.
3.2.2 Algorithme de calcul
La méthode que nous avons implémentée est la méthode décrite par [ERKORKMAZ et al. 06] qui repose sur une idée simple : retrouver la plus petite distance orthogonale entre deux courbes. La première courbe, décrite par un ensemble des points {Qi} constitue la référence ; la courbe générée est quant à elle décrite par l’ensemble des points {Pj}. Nous nous intéressons donc au calcul de l’écart eP
entre un point P, appartenant à l’ensemble des points {Pj}, et la courbe de référence. Dans le cas spécifié ici, le point Qi est le point le plus proche du point P dans la fenêtre glissante associée. Ainsi, l’écart de contour, calculé vectoriellement et noté eP peut être calculé en considérant l’un des trois cas cités ci-dessous (Figure 2.15) :
Cas 1 : utilisation du segment de référence le plus proche précédent, soit Q Q,
Q2 P eP1 eP2 Q1 eP Q P Trajectoire de référence Fenêtre glissante
Cas 3 : utilisation du point de référence le point de référence le plus proche, soit Qi.
Dans les cas 1 et 2, l’écart au contour est obtenu en calculant la distance entre le point P courant et son projeté orthogonal sur le segment de référence, soit Q. Dans le cas 3, c’est le vecteur QP qui définit l’écart de contour eP.
Figure 2.15. Différents cas de la méthode
Chacun des cas précédemment décrit définit une zone délimitée par les plans normaux aux segments de la trajectoire de référence et le plan bi-normal à l’angle (Qi-1Qi ; QiQi+1). En pratique, après avoir trouvé le point Qi le plus proche par la méthode de la fenêtre glissante, une série de tests permet de savoir à quelle zone appartient le point P courant, et ainsi de définir Q le point le plus proche de P. L’écart est alors donné directement par :
P
e QP (2-6)
Une convention est retenue pour le signe des écarts calculés (Figure 2.16) afin d’orienter les écarts par rapport à la matière. Un écart en un point appartenant à une trajectoire générée sera défini positif, s’il est orienté vers la matière de la pièce usinée par rapport à une trajectoire de référence. Cette convention de signes est également valable pour les courbures : si le centre de courbure est vers la matière, la courbure est positive. Elle est négative dans le cas contraire.
Figure 2.16. Convention sur le signe des écarts calculés
La méthode de calcul des écarts est mise en œuvre pour différentes configurations, selon la nature de l’écart à évaluer (Tableau 2.2). Les écarts sont évalués en fonction d’une abscisse curviligne, celle-ci étant calculée sur la trajectoire générée.
Description Ecarts d’interpolation Ecarts d’asservissement Ecarts d’exécution Trajectoire
référence FAO Consigne FAO
Trajectoire générée Consigne Positions exécutées (articulaires) Positions exécutées (articulaires) Abscisse curviligne Consigne Positions exécutées (articulaires) Positions exécutées (articulaires)
Tableau 2.2. Trajectoires références et générées