CADRE, MATERIEL ET METHODES D’ETUDE

PARTIE III : ETUDE DU THEME

3.4. CADRE, MATERIEL ET METHODES D’ETUDE

Nos modelos econômicos, a justi¸ca distributiva está relacionada ao bem-estar social. Um árbitro deve utilizar uma fun¸cão de bem-estar social de modo a classificar as diferentes distribui¸cões de utilidade entre os agentes envolvidos em uma aloca¸cão. Fun¸cões de utilidade são modeladas para representar preferências individuais. Como exemplo temos as fun¸cões de utilidade descritas na Se¸cão 4.3.1. A fun¸cão de bem-estar é definida como forma de modelar preferências sociais, isto é, agregar as preferências dos indiv´ıduos de uma sociedade.

Um ´arbitro, ou um planejador social, como ´e denominado por Mas-Colell (MAS-

COLELL; WHINSTON; GREEN, 1995), inicia sua an´alise a partir de um conjunto n˜ao

vazio de alternativas X e uma cole¸cão de agentes I. As preferências de cada agente são dadas na forma de fun¸cões de utilidade ui : X → R. O conjunto de alternativas

diferentes e relevantes de utilidades ´e definido como o conjunto de possibilidades de utilidade.

Defini¸c˜ao 4.4.1. Considere ui : X → R. O conjunto de possibilidades de utilidade

(UPS - Utility Possibility Set) ´e o conjunto:

U = {(u1, . . . , uI) ∈ RI : ui ≤ ui(x) para algum x ∈ X}.

CAP´ITULO 4. JUSTIC¸ A 82

o bem-estar de diversos agentes (VARIAN, 2006). Um exemplo de fun¸c˜ao de bem-

estar ´e a soma das utilidades individuais: W (u1, . . . , un) = Pn_i=1ui. Essa fun¸c˜ao

utiliza o princ´ıpio utilitarista, portanto é comumente chamada de fun¸cão de bem- estar utilitarista clássica ou de Bentham. Ela pode ser generalizada para uma soma ponderada das utilidades: W (u1, . . . , un) = P

i=1aiui. Os valores ai s˜ao n´umeros

positivos que indicam a importância da utilidade de cada agente para o bem-estar social geral. Outro exemplo é a fun¸cão de bem-estar Rawlsiana: W (u1, . . . , un) =

min{(u1, . . . , uI)}.

Sendo assim, dada uma fun¸cão de bem-estar social W (·) e um conjunto de possibilidades de utilidade U, o árbitro deve resolver o seguinte problema de otimiza¸cão:

max W (u1, . . . , uI)

sujeito a (u1, . . . , uI) ∈ U. (4.4.1)

Observe a representa¸cão de um UPS na Figura 4.4 para as fun¸cões de utilidade de dois agentes. Se uma aloca¸cão estiver na fronteira do conjunto de possibilidades de utilidade, não haverá outras aloca¸cões fact´ıveis que proporcionem utilidades maiores para ambos os agentes. Estes valores formam a Fronteira de Pareto definida anteri- ormente na Se¸cão 3.3.3.

A solu¸cão para o problema, representado pela Equa¸cão(4.4.1), deve ser buscada entre as curvas de isobem-estar. Curvas de isobem-estar são curvas que apresentam distribui¸cão de utilidade constante para todos os agentes (VARIAN, 2006). O vetor

de utilidades ou o conjunto de pol´ıticas que resolvem o problema (Equa¸cão 4.4.1) é denominado ótimo social. O ótimo social é uma solu¸cão eficiente no sentido de Pareto, mas para ser também considerada equitativa segundo Varian, a solu¸cão tem que ser justa. Ou seja, a aloca¸cão além de eficiente, deve ser simétrica de acordo com algum princ´ıpio de justi¸ca. O árbitro deve utilizar alguma forma de compara¸cão entre as aloca¸cões dos agentes de tal modo que os agentes tenham o mesmo n´ıvel de satisfa¸cão; nenhum dos agentes deve preferir a aloca¸cão do outro à sua própria.

CAP´ITULO 4. JUSTIC¸ A 83

As diversas interpreta¸cões de justi¸ca deram origem a diversos trabalhos, o que impossibilita a defini¸cão de uma fórmula matemática única para avaliar justi¸ca. Em redes de computadores isso pode ser observado nos inúmeros trabalhos sobre justi¸ca na aloca¸cão. Como exemplos temos que o ótimo social encontrado a partir da fun¸cão de bem-estar de Bentham é equivalente à fun¸cão de otimiza¸cão do mecanismo de justi¸ca proporcional apresentado na Se¸cão 4.3.1. Já o ótimo social encontrado a partir da fun¸cão de bem-estar Rawlsiana equivale à fun¸cão de otimiza¸cão do mecanismo de justi¸ca Max-min.

Os trabalhos de Teoria dos Jogos contribuem com análise de justi¸ca, pois a análise do espa¸co de solu¸cões, considerando as diversas situa¸cões de conflito de cenários de jogos, permite explorar as propriedades que devem ser consideradas em aloca¸cões justas segundo alguma teoria de justi¸ca.

4.4.3 ´Indice de Justi¸ca

Com base nos trabalhos de Teoria dos Jogos para aloca¸c˜oes justas, Legrand e Touati

em (LEGRAND; TOUATI, 2007) consideram que utilidades gerais podem representar

vazão, atraso ou qualquer outra fun¸cão de utilidade e apresentam como avaliar a efi- ciência de pol´ıticas de aloca¸cão. Legrand e Touati destacam que as fun¸cões que são utilizadas para avaliar a eficiência dos mecanismos de aloca¸cão são fun¸cões agregado- ras que podem ser utilizados como ´ındices para avaliar a distância de uma aloca¸cão para um ponto considerado de aloca¸cão justa. Dado um UPS U e uma pol´ıtica de aloca¸cão β(U) qualquer, uma fun¸cão ´ındice pode ser definida segundo o ponto de vista da teoria de justi¸ca de interesse e essa fun¸cão ´ındice é utilizada para avaliar a distância entre a fronteira de Pareto de uma aloca¸cão ótima da pol´ıtica de aloca¸cão que estiver sendo avaliada. Essa ideia é comum nos trabalhos que apresentam ´ındices de discrimina¸cão, onde se destacam o Índice de Jain (JAIN; CHIU; HAWE, 1984) e o

Pre¸co da Anarquia (KOUTSOUPIASA; PAPADIMITRIOU, 2009). O Pre¸co da Anarquia é um ´ındice de ineficiência que é explorada em trabalhos de jogos não-cooperativos

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para avaliar a máxima ineficiência da aloca¸cão.

Jain, Chiu e Hawe definiram em (JAIN; CHIU; HAWE, 1984) um ´ındice de justi¸ca,

baseando-se no trabalho de Jaffe (JAFFE, 1981), com justi¸ca max-min. O ´Indice de

Jain, como é conhecido na literatura, pode ser adaptado às métricas de desempenho de acordo com o problema em questão. Várias métricas para justi¸ca foram pro- postas na literatura como, por exemplo, métricas baseadas em variância, coeficiente de varia¸cão, razões entre m´ınimos e máximos, média aritmética, média geométrica, média harmônica, etc. De um modo geral, os trabalhos sobre medidas de justi¸ca se concentram em questões espec´ıficas relacionadas ao problema e procuram definir como avaliar se uma aloca¸cão é justa ou injusta.

O ´ındice de Jain traz como vantagem o fato de poder ser generalizado para pol´ıticas de aloca¸cão que possuem valores de aloca¸cão ótima. Valores de aloca¸cão ótimos são utilizados como referência para a distância entre aloca¸cões consideradas equitativas segundo algum critério de justi¸ca.

Defini¸cão 4.4.2. Se um sistema deve alocar um certo recurso C entre n agentes, tal que cada agente i, i = 1, ..., n recebe uma aloca¸cão xi, então o ´ındice de Jain é

definido como (JAIN; CHIU; HAWE, 1984): f (x) = [ Pn i=1xi]2 nPn i=1x2i , xi ≥ 0.

Este ´ındice mede a igualdade da aloca¸cão x. Se todos os agentes obtiverem uma parcela xi igual , então o ´ındice será igual a 1 e o sistema é considerado 100% justo.

Se a aloca¸cão x favorecer apenas um grupo menor de agentes, a diferen¸ca da aloca¸cão aumenta e o ´ındice se aproxima do valor 0. Uma explica¸cão intuitiva para essa varia¸cão do ´ındice de Jain entre os valores 0 e 1 é dada através do exemplo introduzido em

(JAIN; CHIU; HAWE, 1984) e apresentado em seguida.

Exemplo 4.4.1. Suponha que algu´em tem que distribuir R$ 20, 00 entre 100 pessoas. Considere duas poss´ıveis regras de aloca¸c˜ao A e B:

Regra A Doar R$ 0, 20 para cada um dos 100 agentes, ou seja, xi = R$0, 2 para

i = 1, 2, ..., 100. O ´ındice de Jain para este caso ´e calculado como: fA= [P100 i=1xi]2 100P100 i=1x2i = 1, 0.

CAP´ITULO 4. JUSTIC¸ A 85

A aloca¸c˜ao A ´e totalmente justa segundo o ´ındice de Jain.

Regra B Por alguma razão desconhecida, por algum critério de discrimina¸cão, 10 agentes são escolhidos para receber R$2, 00 cada um. Os outros 90 agentes restantes não recebem dinheiro. Neste caso,

xi = 2 i= 1, 2, ..., 10;

0 i= 11, ..., 100. O ´ındice de Jain para a regra B ´e:

fB = [P100 i=1xi]2 100P100 i=1x2i = 0, 1. A aloca¸c˜ao B, segundo o ´ındice de Jain ´e 10% justa.

O ´ındice de justi¸ca é denotado por f (x). O parâmetro x significa que uma métrica de aloca¸cão diferente pode ser utilizada. Jain em (JAIN; CHIU; HAWE, 1984) afirma que a escolha da métrica de aloca¸cão depende da aplica¸cão. Em problemas onde todos os agentes têm direitos iguais, x pode representar uma medida de tempo de resposta, vazão, etc. Se os agentes produzem demandas diferentes pelos recursos, então cada medida xi pode ser definida a partir da Fra¸cão de Demanda (JAIN; CHIU;

HAWE, 1984): xi = ( _a i di se ai < di; 1 caso contr´ario; (4.4.2)

onde di é a demanda do i-ésimo agente e ai é a aloca¸cão correspondente.

Além do recurso de fra¸cão de demanda, a fórmula de Jain pode ser reescrita para comparar aloca¸cões com uma aloca¸cão conhecida como justa, segundo algum critério de justi¸ca. O novo ´ındice de Jain é reformulado como:

f (x) = 1 n n X i=1 xi xf ; (4.4.3)

onde xf é uma referência de aloca¸cão justa, sendo calculada como:

xf = Pn i=1x2i Pn i=1xi . (4.4.4)

Assim, cada aloca¸cão xi pode ser comparada com a referência xf e o árbitro pode

CAP´ITULO 4. JUSTIC¸ A 86

apenas xi/xf justa. O fator de discrimina¸cão da aloca¸cão xi em rela¸cão à aloca¸cão

de referˆencia ´e calculada como:

fatori =

xf − xi

. (4.4.5)

Todos os agentes com aloca¸c˜ao xi > xf s˜ao considerados favorecidos, enquanto aqueles

com xi < xf são discriminados. O Índice de Discrimina¸cão (ID) é a média da discri-

mina¸cão de cada aloca¸cão, relacionada a uma referência xf:

IDf = 1 n n X i=1 xf − xi xf . (4.4.6)

O ´ındice de Jain pode se calculado a partir do ´ındice de discrimina¸c˜ao como

f (x) = 1 − IDf. (4.4.7)

Essa flexibilidade do ´ındice de Jain foi explorada por Legrand e Touati em (LE-

GRAND; TOUATI, 2007) para fun¸c˜oes de utilidade em geral. Segundo Legrand e Touati,

considerando um UPS U, o ´ındice de Jain ´e generalizado substituindo o parˆametro xi pela utilidade ui.

Exemplo 4.4.2. Suponha que uma certo recurso C = 100 deve ser distribu´ıdo entre dois agentes que avaliam suas parcelas individuais com fun¸cões de utilidade diferentes que, por sua vez, não tem conhecimento sobre a utilidade do outro agente. Cada agente requisita uma quantia di diferente, d = (40; 80). Um árbitro é chamado para

sugerir poss´ıveis aloca¸cões, visto que os agentes não dispõem de mecanismos para negocia¸cão.

Na Tabela 4.1 são apresentados valores poss´ıveis de aloca¸cão segundo critérios diferentes de justi¸ca. A Tabela 4.1 é dividida em duas partes: a primeira parte traz uma lista de parti¸cões de C com rela¸cão a demanda d de acordo com as regras gerais de divisão proporcional, igualdade aritmética simples, Valor de Shapley e max-min; a segunda parte apresenta uma aloca¸cão arbitrária β = (35; 65), sem critério de justi¸ca definido.

Na Tabela 4.2, são apresentados os parâmetros utilizados para calcular o fator de discrimina¸cão e o ´ındice de Jain da aloca¸cão β com rela¸cão à cada uma das aloca¸cões de referência α da Tabela 4.1. Essa Tabela inclui também os valores referentes ao cálculo do ´ındice de Jain reformulado pela fra¸cão de demanda. A fra¸cão de demanda, calculada de acordo com a Equa¸cão (4.4.2), representa a distância do valor de aloca¸cão da pol´ıtica β em rela¸cão à demanda original (d = (40; 80)).

Os valores ui foram especificados como forma de avaliar a distˆancia da demanda

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Tabela 4.1: Sugestão de particionamento de recurso C = 100 u.m. entre dois agentes com demanda d = (40, 80), segundo vários critérios de justi¸ca

Aloca¸cão x1 x2 Referência α Proporcional 33,3333 66,6667 Igualdade Aritmética 50 50 Valor de Shapley 30 70 Max-min 40 60 Arbitrária β 35 65

Tabela 4.2: Parâmetros para cálculo do ´ındice de Jain para aloca¸cão β = (35; 65) Referência u1 u2 uf fator1 fator2 Índice

α de Jain Fra¸c˜ao de demanda 0,8750 0,8125 0,844907 -0,035616 0,038356 0,998630 Proporcional 1,0000 0,9750 0,987658 -0,012496 0,012816 0,999840 Igualdade Aritm´etica 0,7000 1,0000 0,876471 0,201342 -0,140940 0,969799 Valor de Shapley 1,0000 0,9286 0,965608 -0,035616 0,038356 0,998630 Max-min 0,8750 1,0000 0,941667 0,070796 -0,061947 0,995575

valores de fun¸c˜ao de utilidade, sendo limitados ao intervalo [0, 1]. O valor ui = 1

indica utilidade máxima, isso significa que a aloca¸cão βi é maior do que a aloca¸cão

αi. Os fatores de discrimina¸c˜ao, fatori, foram calculados utilizando a Equa¸c˜ao (4.4.5).

Os valores de ´ındice de Jain apresentados na Tabela 4.2 foram calculados a partir da Equa¸cão (4.4.7). Os ´ındices de Jain, nestes casos, representam a média dos fatores de discrimina¸cão e o maior ´ındice indica que a justi¸ca da aloca¸cão β está mais próxima do padrão de justi¸ca proporcional. Já o menor ´ındice de Jain indica que a aloca¸cão β está mais distante do padrão de igualdade aritmética.

Na Figura 4.5 são apresentados os valores da discrimina¸cão individual para cada fator de discrimina¸cão da aloca¸cão β em rela¸cão a cada aloca¸cão α. O fator de discrimina¸cão de α indica que o agente 1 é mais favorecido do que o agente 2 com rela¸cão à fra¸cão de demanda, à aloca¸cão proporcional e ao Valor de Shapley. A menor diferen¸ca entre os fatores de discrimina¸cão da aloca¸cão arbitrária β se aproxima mais do critério de justi¸ca proporcional. Em contrapartida, o agente 2 é mais favorecido do que o agente 1 com rela¸cão aos critérios de igualdade e max-min. Sendo que na aloca¸cão β, os fatores de discrimina¸cão dos agentes se afastam mais em rela¸cão ao critério de igualdade.

Observando o Exemplo 4.4.2 podemos afirmar que apenas com o fator de discrimina¸cão não é poss´ıvel afirmar qual é a aloca¸cão mais justa, mas este fator se apresenta

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Figura 4.5: Fator de discrimina¸cão para aloca¸cão proposta β = (35; 65) como um mecanismo anal´ıtico poderoso para avaliar pol´ıticas de aloca¸cão, quando for poss´ıvel definir aloca¸cões de referência.

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