ANALYSE A PRIORI DU QUESTIONNAIRE

Nous avons formulé trois catégories d'hypothèses qu'il nous semble intéressant de vérifier par le biais de ce questionnaire :

• Les démonstrations : Nous émettons l'hypothèse que le cours d'arithmétique doit donner lieu à un grand nombre de démonstrations rigoureuses comparativement aux autres chapitres de Terminale car celles-ci nécessitent peu de résultats mathématiques complexes en prérequis. Par ailleurs, nous avons supposé, à la fin de l'analyse des programmes, que chaque fois que l'occasion se présenterait, les démonstrations constructives seraient préférées aux autres. Or, l'analyse de la partie cours des manuels ne nous a pas permis de valider cette hypothèse : aucun manuel ne propose systématiquement de démonstration constructive lorsque cela est possible. Il nous semble intéressant de voir si cette attitude se retrouve chez les professeurs ou si ceux-ci optent pour un choix différent dans leur cours.

• Le PGCD : Nous avons dégagé à ce sujet une différence significative entre le programme de 1971 et celui de 1998. La méthode privilégiée par le programme pour la recherche d'un PGCD est l'algorithme d'Euclide, la décomposition en facteurs premiers devenant une technique à connaître mais à ne pas utiliser de façon systématique. Tout comme pour le point précédent, l'analyse de la partie cours des manuels ne nous a pas permis de vérifier complètement nos hypothèses dans ce domaine. Le PGCD est introduit après le chapitre consacré aux nombres premiers dans deux manuels sur trois (ce qui laisse aux élèves le choix de la technique à adopter lors de la recherche d'un PGCD) et le problème de comparaison de l'efficacité en terme de coût d'une méthode par rapport à l'autre est soulevé dans un seul manuel. Nous avons donc voulu savoir si, en classe, les deux techniques vivent de façon équivalente (en terme de fréquence d'utilisation) ou non.

• La niche algorithmique : L'analyse comparée des programmes de 1971 et de 1998 montre l’existence d’une nouvelle niche pour l'arithmétique dans le nouveau programme, niche qui repose sur son caractère algorithmique. Or, un des moyens de faire vivre cette nouvelle niche est d'introduire l'outil informatique dans l'enseignement de l'arithmétique, que ce soit avec la programmation des principaux algorithmes mentionnés dans le programme ou avec l'introduction de nouveaux types d'exercices comme le propose Dec98. Il nous semble donc essentiel de poser aux professeurs des questions concernant leurs pratiques d'enseignement vis à vis de la calculatrice ou d'autres moyens informatiques car c'est pour nous un moyen de nous

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prononcer sur la viabilité de cette nouvelle fonction de l'arithmétique⁶⁶ dans le savoir apprêté et le savoir enseigné.

Partant de ce questionnement, nous avons fabriqué notre questionnaire, conçu en quatre parties :

1. Introduction

2. Questions autour des démonstrations : questions A1, A3 et A4. 3. Questions autour du PGCD : questions A2, F1, F2 et F3. 4. Questions autour des calculatrices : questions B, C, D, E et G.

I.1 L'introduction

Dans cette première partie, outre les questions de « présentation »⁶⁷, nous avons voulu interroger les professeurs sur deux sujets : leur ancienneté dans le corps enseignant et leurs sources de travail en arithmétique.

La question « depuis quand enseignez-vous ? » permet de savoir si les professeurs de terminale S spécialité avaient déjà pu avoir la possibilité d’enseigner l'arithmétique en terminale avec l'ancien programme. Elle permet également de savoir si ces professeurs ont eu, alors qu'ils étaient eux- mêmes élèves, une formation en arithmétique. Nous espérons ainsi voir si, dans le cas de certains professeurs, le fait d'avoir pu enseigner l'arithmétique en terminale dans les années 70 influence leur manière de traiter ce sujet aujourd'hui. Cette information sera à décoder à travers la lecture des réponses à l’ensemble des questions.

L’objectif de la question suivante (à savoir quel manuel les enseignants utilisent en classe de terminale spécialité) est de voir dans quelle mesure le choix des trois manuels que nous avons analysés (Dec98, Trans98 et Ter98) est représentatif des manuels les plus couramment utilisés en classe.

La question sur les sources de travail des professeurs a pour but de voir à partir de quelles sources ils construisent un cours et choisissent des exercices qu'ils estiment « être en accord » avec le programme d'arithmétique de spécialité. Ce cours étant nouveau, nous voulons savoir comment les enseignants construisent un projet de cours lors d’un changement de programme. Rappelons que, comme le souligne Neyret (1993), le fait que les enseignants consultent différents ouvrages est pour eux « un moyen d’accroître [leur] marge de manœuvre dans l’institution » (Ibid., p. 11). S’attacher à un manuel pour construire un cours conduit à s’inscrire dans un nouveau rapport institutionnel. Il convient alors d’identifier les différents systèmes de contraintes dans lesquels les enseignants agissent et prennent des décisions.

66 Avec un peu de recul, nous aurions pu améliorer le questionnaire sur cette problématique. En effet, l'intégration de l'outil informatique dans l'enseignement de l'arithmétique n'est pas le seul moyen de faire vivre cette nouvelle fonction. Il est également possible de proposer aux élèves soit un grand nombre d'exercices portant sur des tâches dont les principales techniques de résolution sont des techniques basées sur des algorithmes soit des exercices « constructifs » comme ceux portant sur les fractions continues. Il aurait été intéressant de voir si des professeurs avaient donné aux élèves de tels exercices car ce choix n'apparaissait pas dans les manuels (voir chapitre B2, analyse écologique de manuels de 1971 2002).

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I.2 Questions autour des démonstrations

Nous avons choisi de questionner les enseignants sur trois démonstrations importantes du cours d'arithmétique : la démonstration de l’existence et de l’unicité de la division euclidienne, celle du théorème de Bézout et celle de l'existence de la décomposition d'un entier naturel n≥2 en produit de facteurs premiers.

Pour chacune de ces démonstrations, nous avons demandé, d’une part, si cette démonstration a été donnée aux élèves lors du cours et, d’autre part, quelle méthode a été retenue pour fa ire cette démonstration⁶⁸. Les trois démonstrations peuvent donner lieu à plusieurs types de démonstrations dont un de type constructif dont nous avons vu qu’il est rarement choisi par les manuels dans le chapitre précédent.

Avec la première question, nous espérons corroborer notre hypothèse selon laquelle, étant donné le peu de connaissances théoriques nécessaires pour faire les démonstrations d'arithmétique en terminale, beaucoup de démonstrations seraient faites en cours. Très peu de réponses « non » devraient être données aux questions A1, A3 et A4.

La question suivante doit permettre de savoir si les professeurs ont donné des démonstrations semblables à celles des trois manuels analysés ou s’ils ont préféré donner des démonstrations constructives, restant ainsi plus conformes à l'esprit du programme. Dans le premier cas, on obtiendra une majorité de réponses « propriétés de N » à la question A1, « E={am+bn/(m,n)∈Z²} » à la question A3 et enfin « par récurrence » à la question A4. Nous estimons que peu d'enseignants doivent avoir fait le choix de ne donner que des démonstrations de type constructif à leurs élèves mais cette possibilité devrait apparaître dans les réponses. Il sera intéressant de connaître le nombre d'enseignants ayant fait ce choix. Nous devons aussi voir apparaître des cas d'enseignants ne donnant aucune démonstration constructive dans leur cours d'arithmétique. Encore une fois, il s'agit de voir quelle proportion des professeurs interrogés cela représente pour pouvoir approfondir notre analyse sur la viabilité de la nouvelle niche de l'arithmétique ainsi que celle sur l'espace de liberté dont disposent les enseignants pour fabriquer leur cours.

I.3 Questions autour du PGCD

Quatre questions concernent ce sujet : les questions A2, F1, F2 et F3.

a) Question A2 :

Cette question permet de savoir à quel moment le PGCD a été introduit en classe par rapport à la décomposition en facteurs premiers d'un entier.

En effet, s'il est introduit avant, cela signifie que la recherche d'un PGCD par l'algo rithme d'Euclide est favorisée. S'il est introduit après, les deux méthodes (algorithme d'Euclide ou décomposition en facteurs premiers) sont disponibles et rien ne permet de dire si l'algorithme d'Euclide sera privilégié ou non comme cela est souhaité dans le programme. D'après

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l'analyse des manuels, nous pouvons penser que beaucoup d'enseignants ont choisi d'introduire le PGCD après le cours sur les nombres premiers.

Cependant, cette question ne permettant pas de conclure sur la méthode favorisée par les enseignants pour la recherche d'un PGCD, nous avons également posé les questions F1, F2 et F3.

b) Question F1 :

« Pour calculer le PGCD du couple d'entiers (11 475 ; 9 750), entre la méthode utilisant la décomposition en facteurs premiers et celle utilisant l’algorithmique d’Euclide, y’en a-t-il une qui vous semble plus judicieuse (plus économique) que l’autre ? Pourquoi ?

On donne ci-dessous les résultats des « calculs » […] »

Dans cette question, les professeurs n'ont pas à se prononcer sur leurs pratiques d'enseignement mais sur leurs pratiques personnelles de calcul d'un PGCD. Nous voulons voir quelle technique les enseignants utilisent de façon « naturelle » pour calculer un PGCD et savoir si les explications qu'ils donnent pour justifier ce choix sont du même ordre que celles qu'ils donnent aux élèves (questions F2 et F3).

Une variable didactique importante dans cet exercice est le choix du couple d'entiers dont il faut calculer le PGCD. En effet, suivant le couple d'entiers donné, une méthode de calcul de PGCD pouvait fortement être privilégiée par rapport à une autre. Nous avons proposé le calcul d'un PGCD d'un couple d'entiers choisi parmi les exercices de recherche de PGCD des trois manuels analysés. Le couple (11 475 ; 9 750) est celui qui nous a paru le moins susceptible de privilégier une méthode : le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide est relativement important et le nombre de facteurs dans la décomposition en facteurs premiers des deux nombres l'est aussi (ces facteurs ne sont cependant pas très grands et certains sont visibles directement).

Nous avons choisi de donner le détail des calculs pour des raisons de commodité pour les enseignants qui rempliront ce questionnaire.

c) Question F2 :

« D'une manière générale, avez-vous conseillé aux élèves une méthode de recherche de PGCD plutôt qu'une autre ? Si oui, laquelle et pourquoi ? »

Cette question vient compléter la question A2. Elle permet de voir quel choix a été fait par les enseignants sur la méthode à adopter lors de la recherche d'un PGCD en classe.

D'après nos précédentes analyses, nous nous attendons à ce que la plupart des professeurs aient conseillé aux élèves d'utiliser l'une ou l'autre des deux méthodes selon leurs préférences et/ou les conditions imposées dans l'énoncé des exercices.

Un certain nombre d'enseignants devraient toutefois avoir conseillé l'usage exclusif de l'algorithme d'Euclide, excepté dans le cas de consignes explicites sur le choix d'une méthode dans l'énoncé d'un exercice. Aucun professeur ne devrait avoir dema ndé aux élèves d'utiliser le plus systématiquement possible la décomposition en facteurs premiers étant donné les commentaires faits à ce sujet dans le programme.

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d) Question F3 :

« Avez-vous fait à vos élèves des commentaires sur l'efficacité respective de ces deux méthodes pour le calcul d'un PGCD ? Si oui, lesquels ? »

L'efficacité respective en terme de coût de calcul pour un ordinateur des deux méthodes de recherche d'un PGCD nous a semblé être une des raisons ayant motivé la réintroduction de l'arithmétique sous un angle algorithmique en insistant sur la place que peut tenir l'outil informatique dans cet enseignement.

Nous voulons savoir si ce paramètre est pris en compte par les professeurs dans leur enseignement et si oui, comment ils l’abordent en classe.

Cette différence de coût de calcul n'est pas facile à mettre en évidence lorsque l'on travaille avec des « petits » nombres. Nous avons par ailleurs constaté qu'aucun des trois manuels analysés n'a pris en compte cette dimension pour faire un travail de comparaison d'efficacité d'une méthode sur l'autre. De plus, il n'est pas facile de mettre en avant l'efficacité de l'algorithme d'Euclide sur la décomposition en facteurs premiers avec les capacités d'une calculatrice (la plupart peuvent traiter des nombres composés d'au maximum douze chiffres) ; il faut, pour que cela soit plus probant, utiliser un ordinateur.

Par conséquent, nous pensons que relativement peu d'enseignants ont pu expliquer aux élèves ce qui peut conduire à favoriser l'utilisation quasi exclusive de l'algorithme d'Euclide dans la recherche d'un PGCD.

I.4 Questions autour de la calculatrice

Nous avons soutenu précédemment que l'usage de la calculatrice pouvait être un moyen de faire vivre la niche algorithmique. Nous avons donc souhaité nous intéresser à la façon dont les professeurs ont utilisé (et fait utiliser aux élèves) la calculatrice.

a) Question B :

« Avez-vous demandé à vos élèves de programmer certains algorithmes sur leur calculatrice ? Si oui, lesquels ? Cela a-t-il donné lieu à des activités ou à des corrections en classe ? »

Trois grands types de réponses peuvent être donnés à cette question :

• Des enseignants ayant demandé aux élèves de programmer les principaux algorithmes mais ayant laissé ces tâches à la charge des élèves ou en leur ayant fourni des programmes déjà faits.

• Des enseignants n'ayant pas demandé des élèves qu'ils possèdent de programmes d'arithmétique dans leurs calculatrices.

• Des enseignants qui ont souhaité que les élèves possèdent certains algorithmes programmés dans leur calculatrice et qui ont mené ce travail en classe.

Dans le chapitre précédent, nous avons montré qu'un nombre relativement peu important d'exercices peut se résoudre en « faisant tourner » un programme sur une calculatrice. Nous pensons donc que les deux premiers types de réponses seront majoritaires. Cela nous permettra de conclure que la niche algorithmique ne vit pas réellement en classe au travers

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d'exercices de programmation. Il faudra donc se demander comment elle peut être viable autrement.

b) Questions C et D :

« C) Dans les exercices que vous avez donnés en arithmétique, jugez-vous que l’usage de la calculatrice en était un élément : dont on pouvait se passer, assez important, important, indispensable ?

D) Avez-vous proposé à vos élèves des exercices ou des activités dans lesquels la calculatrice était indispensable ? Si oui, la raison en était : un travail sur les grands nombres, un T.P. ou exercice de programmation, autre(s) (précisez) »

Ces deux questions portent également sur les calculatrices mais ne sont plus uniquement axées sur le rapport algorithme/calculatrice.

Dans le cadre d'une comparaison entre les programmes de 1971 et de 1998, nous nous intéressons à ce que la calculatrice peut apporter aux exercices d'arithmétique aujourd'hui. En effet, si un enseignant répond à la question C que dans les exercices qu'il a donné en arithmétique, l'usage de la calculatrice était un élément « dont on pouvait se passer », nous pouvons légitimement penser⁶⁹ que ces exercices ne sont pas trop différents de ceux du programme de 1971 ou, tout du moins, qu'ils auraient pu être posés en 1971.

Par contre, le fait que la calculatrice soit indispensable pour résoudre un exercice (cas d'une réponse positive à la question D) montre une évolution dans le type d'exercices proposés en arithmétique entre ces deux périodes. Si ce cas se présente, nous voulons savoir pourquoi ces exercices nécessitent obligatoirement l'emploi d’une calculatrice. Nous avons relevé dans les manuels deux types d'exercices dont la résolution nécessite l'usage d'une calculatrice : les exercices portant sur les grands nombres et les exercices de programmation.

c) Question E :

« Avez-vous utilisé d'autres moyens informatiques ? Si oui, lesquels (ordinateur, tableur, logiciel de calcul…) ? Les exercices faits avec un ordinateur auraient-ils pu être faits avec une calculatrice ? »

Nous pensons que pratiquement aucun enseignant n'aura utilisé d'autres moyens informatiques dans son cours d'arithmétique, par manque de temps ou par absence de matériel informatique dans l'établissement, etc.

Cependant, l'ordinateur est un moyen intéressant de faire vivre le côté algorithmique de l'arithmétique, car ses capacités (de calcul notamment) sont beaucoup plus grandes que celles d'une calculatrice. Les réponses positives des professeurs à cette question devraient nous apporter des pistes sur la manière dont peut être intégré l'outil informatique dans un cours d'arithmétique.

d) Question G :

« Voici l’énoncé d’un exercice :

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‘Le mathématicien Lagrange conjectura la propriété suivante : tout nombre impair n=5 peut s’écrire sous la forme n=2p+q, avec p et q premiers. Par exemple : 51=2×23+5. Ecrire un programme permettant pour un entier impair n=5 donné, de déterminer un couple (p,q) de nombres premiers tels que n=2p+q. (Cette conjecture n’est toujours pas démontrée.)’

Jugez-vous que cet exercice soit un exercice d’arithmétique ? Pourquoi ? Poseriez-vous un tel exercice à vos élèves ? Pourquoi ? »

Nous avons souhaité présenter aux enseignants un exercice extrait d'un manuel actuel qui n'aurait pas pu être posé dans l'ancien programme. Il s'agit d'un exercice de Dec98, le seul manuel qui propose dans le chapitre d'arithmétique des exercices d'un type nouveau. Nous n'avons pas mentionné dans ce questionnaire que cet exercice inhabituel est extrait d'un manuel actuel.

Cet exercice a un statut particulier. Il porte certes sur des nombres entiers mais la tâche demandée aux élèves est d'écrire un programme. La place que l'arithmétique y occupe peut être source de questionnement. Dans la quasi-totalité des exercices, l'arithmétique est l'objet sur lequel porte l'exercice. Ici, l'arithmétique est essentiellement un outil pour résoudre le problème car elle permet d'écrire le programme.

Cependant, d'un autre coté, une fois le programme écrit, il va être utilisé, même si ceci n'est pas explicitement demandé dans l'énoncé de l'exercice. Or, en faisant « tourner » ce programme, l'arithmétique redevient l'objet d'étude car on va s'interroger sur la véracité ou non de la conjecture de Lagrange. Toute la question tourne donc autour des différents statuts (outil ou objet) que peut avoir l'arithmétique dans cet exercice. Nous nous demandons donc si cet exercice va être plutôt considéré comme un exercice d'arithmétique ou comme un exercice de programmation.

Par ailleurs, ce qui peut aussi surprendre les enseignants, c'est que l'exercice porte sur une conjecture du mathématicien Lagrange qui n'a toujours pas été démontrée ou invalidée. Il n’est donc pas attendu de démonstration de la part des élèves comme ce qui est habituellement le cas dans les exercices de mathématiques. Les enseignants seraient- ils donc prêts à poser un exercice de ce type à des élèves ?

Nous allons maintenant analyser les réponses des enseignants.