ENSEIGNANTES : DIVERSITE DES PRATIQUES SUR UN DOMAINE D’ETUDE
III. ANALYSE ECOLOGIQUE DU SAVOIR APPRETE PAR L’ENSEIGNANT
Nous allons à présent analyser la place du raisonnement et de l’algorithmique dans les cours de P1, P2 et de l’IREM de Poitiers. Nous distinguons trois points dans cette analyse :
1. Ces enseignants ont- ils introduit les notions d’ensemble et de relations dans leur cours ? Bien que ces notions soient actuellement hors programme, le choix de les présenter aux élèves est nécessaire pour faire des démonstrations « rigoureuses », même dans le cas des démonstrations constructives.
2. Proposent- ils des démonstrations constructives des théorèmes d’arithmétique au programme ? Nous avons vu que le choix de donner des démonstrations constructives est l’une des trois possibilités pour faire vivre la niche algorithmique de l’arithmétique. Nous analysons dans ce sens les démonstrations du théorème de la division euclidienne, du théorème de Bézout, de l’existence de la décomposition en produit de facteurs premiers et la définition du PGCD.
3. Font- ils une place à l’outil informatique dans leur projet de cours ? Si oui, comment l’intègrent-ils ?
III.1 Les notions d’ensemble et de relations
a) Cours de P1
P1 fait le choix de débuter le cours d’arithmétique par l’énonciation des propriétés des parties non vides de N. Nous avons déjà souligné que, dans une optique de formation des élèves au post-bac, P1 insiste sur le raisonnement en arithmétique, et ce d’autant plus qu’il est possible de « partir d’une axiomatique sur les propriétés de N qui sont simples ». Nous verrons dans la
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L’analyse de ce questionnaire fait l’objet du chapitre B3 « Analyse écologique du savoir apprêté par les enseignants. Des contraintes et des libertés institutionnelles ».
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Se rapporter au chapitre B2 « Analyse écologique de manuels de 1971 à 2002. Des contraintes et des libertés institutionnelles ».
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suite de cette analyse si ces propriétés sont effectivement utilisées par P1 lors des démonstrations des théorèmes d’arithmétique.
Néanmoins, les notations ensemblistes sont peu employées par P1. Elle s’appuie dessus essentiellement pour démontrer l’existence du PGCD et du PPCM. Ceci lui permet de réinvestir les propriétés des parties de N dans son cours, comme nous le verrons par la suite. Elle présente par ailleurs le principe de récurrence à la suite des propriétés des parties de N et donne deux exemples d’applications directes dans le cours, suivis de deux exercices dans la première fiche d’exercices. Dans l’entretien que nous avons eu avec elle, P1 souligne que le raisonnement par récurrence fait partie des grandes composantes du contenu du cours d’arithmétique. Comme « c’est un des grands modes de raisonnement en arithmétique », elle estime devoir présenter ce sujet en début de cours d’arithmétique, surtout que « pour la plupart [des élèves], c’est pas acquis en fin de première S. ». Ainsi, pour être cohérente avec son souci de formation des élèves aux modes de raisonnement, elle commence son projet de cours par une présentation du principe de récurrence. La maîtrise de ce type de raisonnement sera d’ailleurs évaluée dans le premier D.S. d’arithmétique par le biais d’un exercice portant sur la divisibilité.
b) Cours de P2
Les propriétés de N et le principe de récurrence ne font pas partie du cours de P2.
Cependant, elle utilise les notations ensemblistes. Ainsi, le premier cours d’arithmétique « Divisibilité – Nombres premiers » débute par la définition d’un multiple, suivi par un exemple et la convention de notation « Ma : multiples de a ».
Se déclinent alors deux exemples de détermination d’un ensemble de diviseurs :
« M0={0}, 0 a un seul multiple. M1=Z=M-1
Ma={ka/k∈Z}, Ma=M-a. » (Extraits Cours n°1 de P2)
Les mêmes notations sont introduites pour les ensembles de diviseurs de a : Da.
Celles-ci seront réutilisées lors du cours sur l’algorithme d’Euclide (Voir cours n°7 de P2 en annexe).
c) Cours de l’IREM de Poitiers
Il n’y a pas d’introduction des notions d’ensemble et de relations dans ce cours. L’enseignant a fait des choix qui ne nécessitent pas l’usage de notations ensemblistes (notamment pour l’algorithme d’Euclide) et ne revient pas en arithmétique sur le principe de récurrence, même si des exercices utilisant ce type de raisonnement sont prévus.
Par ailleurs, il fait le choix explicite de ne pas appuyer son cours sur l’énoncé formel des propriétés de N, préférant faire appel à l’intuition des élèves à ce sujet, quitte à admettre certains résultats :
« La démonstration [de la division euclidienne] s’appuie sur l’axiome : ‘un entier est compris entre deux multiples consécutifs d’un autre’. Le programme nous impose de faire un choix : faut-il partir de l’axiomatique de base de N et démontrer cette propriété par un raisonnement ensembliste ou au contraire se contenter du ‘bon sens commun’ et insister sur l’aspect intéressant de la démonstration de l’unicité […] ? Nous avons fait le second choix. Les élèves utilisent spontanément le résultat de cet axiome, c’est lors de la synthèse que le professeur soulève le problème de l’axiomatisation. » (Poitiers 2000, p. 245)
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III.2 La division euclidienne
Les choix de démonstration du théorème de la division euclidienne étant commentés en détail dans la suite de cette thèse, nous nous contentons ici de mentionner les démonstrations proposées par les trois enseignants.
Aucun des trois enseignants ne fait une démonstration constructive du théorème de la division euclidienne. P2 base sa démonstration sur l’encadrement de a par deux multiples consécutifs de b tandis que P1 s’appuie sur la propriété d’Archimède et l’IREM de Poitiers sur les propriétés de N.
III.3 Définition du PGCD
a) Cours de P1
Comme nous l’avons souligné ci-dessus, P1 définit le PGCD de deux entiers relatifs non nuls à partir de la caractérisation de ces diviseurs :
« D1={diviseurs de a appartenant à N} D2={diviseurs de b appartenant à N}
D1∩D2 est une partie de N, non vide, finie : admet un plus grand élément : PGCD(a,b) » (Extraits cours n°7 de P1)
Ce choix mathématique local est cohérent avec sa volonté de faire des mathématiques rigoureuses en arithmétique, en partant « d’une axiomatique sur les propriétés de N ». L’introduction des notations ensemblistes répond ici à la nécessité d’un choix mathématique.
b) Cours de P2
P2 choisit également de définir le PGCD de a et b à partir de leurs diviseurs, cependant sans utiliser les notations Da et Db alors qu’elles sont disponibles, car introduites dans le premier cours :
« Définition : on appelle PGCD de deux entiers naturels (non nuls simultanément) leur Plus Grand Commun Diviseur. » (Extraits cours n°7 de P2)
Or ces notations sont ré-utilisées dans la même séance pour la présentation de l’algorithme d’Euclide (voir en annexe). Ce choix s’explique par le fait que P2 ne souhaite pas se servir des propriétés des parties de N dans son cours. Utiliser les notations ensemblistes comme P1 l’aurait contrainte à justifier le fait que D1∩D2 admette un plus grand élément.
c) Cours de l’IREM de Poitiers
Dans ce cours, le PGCD est d’abord introduit « par conjecture » (Poitiers 2000, p. 252) avec l’utilisation d’Excel. Son existence est ensuite démontrée à partir de considérations sur les diviseurs de a et b.
Remarquons qu’aucun des trois enseignants ne définit le PGCD à partir de l’algorithme d’Euclide, démonstration constructive qui aurait pu paraître la plus en accord avec le programme.
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III.4 Nombres premiers entre eux – Théorème de Bézout
a) Cours de P1
P1 choisit de prouver le théorème de Bézout par la démonstration utilisant la division euclidienne avec, de façon sous-jacente, la notion d’idéal avec l’ensemble G={am+bn, m∈Z et n∈Z}. Elle utilise ainsi explicitement la propriété « toute partie non vide de N admet un plus petit élément », de même qu’un raisonnement par l’absurde108.
Ce choix de démonstration, s’inscrit dans la logique de choix qu’elle met en place tout au long de son cours : partir d’une axiomatique de N en arithmétique pour démontrer rigoureusement toutes les propriétés et former les élèves au raisonnement.
b) Cours de P2
P2 ne donne pas la démonstration de ce théorème dans son cours. Elle indique simplement la méthode à suivre pour pouvoir la faire :
« Si a et b sont des entiers naturels non nuls et si δ est leur PGCD alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que δ=au+bv.
On montre par récurrence que tous les restes successifs des divisions euclidiennes de l’algorithme d’Euclide s’écrivent sous cette forme. » (Extraits cours n°7 de P2)
La démonstration choisie par P2 s’appuie sur la méthode de descente de l’algorithme d’Euclide. Alors que P2 fait habituellement toutes les démonstrations de son cours, elle décide de ne pas faire celle-ci. C’est peut-être une question de temps ; en effet, si l’on veut formaliser cette démonstration109, il faut introduire des notations assez complexes et le principe de récurrence à mettre en œuvre n’est pas celui qui est habituellement utilisé par les élèves.
c) Cours de l’IREM de Poitiers
Dans ce cours, la démonstration du théorème s’appuie explicitement sur l’activité Excel qui a permis d’introduire les notions de PGCD et de PPCM. Elle utilise le fait que l’activité réalisée permet de trouver un « u » et un « v » tels que au+bv=D ou D est le PGCD de a et de b. Cette démonstration se sert des résultats obtenus sur 4 exemples pour généraliser, sans preuve générale, ce résultat.
III.5 Décomposition d’un entier naturel en produit de facteurs premiers
108 Voir cours n°8 de P1 en annexe. 109
Un manuel que nous n’avons pas analysé propose de démontrer ce théorème par récurrence : Belin. Cette démonstration est assez technique car, pour montrer l’hérédité de la propriété, il faut supposer que celle-ci est vraie pour deux rangs consécutifs. Cette démonstration se base sur l’algorithme d’Euclide mais il est à craindre que les difficultés liées à la récurrence masque, pour les élèves, la descente de l’algorithme d’Euclide et donc, son caractère algorithmique.
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a) Cours de P1
Ce théorème n’est pas démontré par P1. En effet, pour le cours sur les nombres premiers, P1 choisit de faire ce qu’elle appelle un « bis » du livre : elle s’appuie fortement sur le livre pour ce cours et ne détaille au tableau que les points qui lui semblent importants. Dans ce cours, elle met ainsi l’accent sur la démonstration de l’infinité des nombres premiers, qu’elle refait au tableau, tandis qu’elle renvoie les élèves à leur manuel pour la démonstration de l’existence de la décomposition en produit de facteurs premiers.
Le manuel de la classe est Ter98 et la démonstration de ce théorème présentée par ce manuel est la méthode de descente110.
b) Cours de P2
La démonstration choisie par P2 pour prouver l’existence de la décomposition d’un entier naturel n≥2 en produit de facteurs premiers est la démonstration par la méthode de descente. La vérification de l’arrêt de l’algorithme de « descente » est mentionnée mais le fait que toute suite d’entiers naturels strictement décroissante est finie est admis.
c) Cours de l’IREM de Poitiers
Le choix fait dans ce cours est le même que celui fait par P2. III.6 Place de l’outil informatique
a) Cours de P1
Comme nous l’avons souligné précédemment, P1 est l’enseignante qui, à l’analyse des questionnaires111, était apparue comme la plus favorable à l’introduction de l’outil informatique en arithmétique.
Si l’on analyse le projet de cours de P1, on constate que la calculatrice occupe une place bien déterminée : absente des cours, des exercices et d’un D.S., elle rentre dans le projet de P1 dans le cadre d’une séance particulière sur la programmation et de fiches d’arithmétique particulières112.
Voici une description succincte des trois fiches sur la calculatrice faites par P1. Les deux premières fiches présentent un programme écrit dans un ou deux langa ges de programmation avec des commentaires tandis que la troisième propose un programme sans commentaire et il est demandé aux élèves de décrire ce que fait ce programme :
1. Une fiche « arithmétique et calculatrice » : dans cette fiche, P1 propose les instructions ou les programmes permettant de :
- déterminer si un nombre est multiple d’un nombre donné dans un programme, - déterminer si un nombre N est premier ou non et dans le second cas, de trouver
son plus petit diviseur entier,
- décomposer un nombre N en facteurs premiers.
Ces programmes sont tous précédés d’une explication portant sur le principe sur lequel est construit le programme et des valeurs numériques sont données pour permettre de
110
Voir chapitre B2 « analyse écologique de manuels de 1971 à 2002. Des contraintes et des libertés institutionnelles ».
111
Le questionnaire rempli par P1 est présenté au début de l’annexe au chapitre B3. 112
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les tester. Ils sont par ailleurs tous transcris en langage Casio et en langage Texas pour que les élèves puissent essayer de les rentrer dans leur calculatrice, quitte à faire des adaptations minimes.
2. Une fiche « Programmation-Théorème de Bézout » : cette fiche suit le même principe que la fiche « arithmétique et calculatrices » si ce n’est que le programme est uniquement transcrit pour les T.I. 80.
3. Une fiche « Calcul de PGCD(a,b) par l’algorithme d’Euclide » : Cette fiche présente un programme permettant de calculer le PGCD de deux entiers en langage Texas, « facilement adaptable aux autres marques ». A la différence des deux autres fiches, celle-ci comporte la tâche suivante : « traduire par une phrase de commentaire le programme ». P1 a trouvé ici une technique didactique lui permettant de faire travailler l’ensemble des élèves de la classe sur cette fiche. En effet, sans cela, les élèves qui, par exemple, ont déjà une touche de calcul de PGCD implémentée sur leur calculatrice n’auraient pas de raison de travailler sur ce programme.
Remarquons qu’au travers des commentaires inscrits à côté des programmes proposés dans les deux premières fiches ou de ceux que les élèves doivent écrire, P1 met l’accent sur des points essentiels de la démarche algorithmique : l’initialisation des variables, le critère permettant de définir l’arrêt de la répétition et la relation à réitérer.
Ce choix d’intégrer la calculatrice dans le cours d’arithmétique est le résultat d’une réflexion plus générale de P1 sur l’enseignement des mathématiques et le rôle de la calculatrice dans cet enseignement. Au cours de son entretien, P1 parle beaucoup de la place de la calculatrice en mathématiques, pour elle, mais également pour ses collègues. Elle définit explicitement ses objectifs par rapport à l’usage de la calculatrice dans sa classe :
« [La calculatrice] ça permet une plus grande richesse au niveau des exercices mais pour moi par exemple, ça ne dispense pas de justement bien comprendre ce qu’est un algorithme bon par exemple en faisant le théorème de Bézout à la main […] c’est un peu des approches complémentaires et je crois que pour les élèves ce qui m‘intéresse le plus, c’est à la fois un peu d’initiation à la programmation mais très élémentaire, c'est-à-dire les structures de boucle ou les tests conditionnels et des choses comme ça et puis surtout qu’ils apprennent à être cohérents dans les démonstrations et à s’auto-contrôler. » (Extraits entretien P1)
Pour P1, intégrer la calculatrice dans son cours d’arithmétique est d’abord le moyen d’initier les élèves aux concepts de base de la programmation. Cet objectif d’apprentissage apparaît également dans ses réponses à notre questionnaire. Pour elle, l’arithmétique est d’abord un moyen pour travailler l’algorithmique et non l’inverse. Elle poursuit également un second objectif en introduisant la calculatrice et en proposant des programmes aux élèves. C’est pour elle un moyen didactique supplémentaire, avec les fiches d’exercices et leurs corrigés, de former les élèves à un travail autonome, en leur donnant des moyens de « s’auto-contrôler ». Cependant, elle se heurte à un certain nombre de contraintes. Elle en évoque huit dans son entretien : l’intérêt et la motivation des élèves pour la programmation, le temps, la position de chaque enseignant par rapport à la calculatrice, le manque de formation, les fonctionnalités des calculatrices, l’évaluation difficile des connaissances de programmation, l’hétérogénéité du niveau des élèves en programmation et l’existence de différents types de calculatrices dans une même classe.
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Certains élèves ne sont pas intéressés par la programmation et utilisent la calculatrice uniquement en « presse bouton », c'est-à-dire sans rentrer dans la démarche d’initiation à la programmation que P1 souhaite mettre en place.
C’est également un choix didactique qui demande un investissement en temps considérable. D’ailleurs, P1 souligne qu’elle avait passé beaucoup plus de temps la première année sur la programmation des algorithmes d’arithmétique mais qu’elle est revenue sur ce choix car « il faut corriger plusieurs trucs [prévoir différents corrigés], trouver des erreurs sur des modèles [de calculatrices] qu’on n’a pas… Et comme le programme de géométrie plane est quand même très long […] y’avait des choix stratégiques. C’est pour ça que, la calculatrice, j’ai […] continué à en parle r mais un peu moins effectivement ». Ceci l’amène à revoir à la baisse ses objectifs par rapport à la calculatrice et à proposer des programmes prêts à l’emploi pour les élèves non intéressés par la programmation et ne s’investissant pas à ce sujet.
Par ailleurs, P1 change son enseignement au fil des années et elle dit avoir une « évolution personnelle qui [la] conduit à évaluer de moins en moins avec la calculatrice ». De fait, la calculatrice occupe une place de moins en moins importante dans sa classe.
Si P1 s’est formée de façon autonome à la programmation en assistant à des stages de constructeurs de calculatrices, elle déplore le manque de formation de ses collègues. Ceux qui n’ont pas fait l’effort de se former tous seuls à la programmation sur différents types d’outils informatiques ne les utilisent pas dans leur classe et s’ils le font, ne travaillent pas sur un point essentiel : « le passage de la théorie de l’algorithme […] à la calculatrice » (Extraits entretien P1)
Souvent, les instructions disponibles dans les calculatrices ne sont pas suffisantes pour permettre aux élèves de rentrer les programmes dans leur machine113 ou alors, ils disposent de fonctionnalités qui rendent obsolète l’implémentation de tels programmes114.
De plus, se pose également la question de l’évaluation des élèves sur l’utilisation de l’outil informatique. Ce point fait l’objet d’un débat pour l’option « mathématique- informatique de Première L » comme le souligne P1.
L’analyse succincte que nous allons présenter de l’extrait de séance115 de l’enseignante P1 sur la programmation en classe des programmes « déterminer si un nombre est premier » et « décomposer un nombre en produit de facteurs premiers » montre par ailleurs le poids des contraintes liées à l’hétérogénéité du niveau des élèves en programmation et à l’existence de plusieurs modèles de calculatrices différents dans la classe, sur la réalité de l’enseignement. P1 conduit cette séance en classe malgré deux contradictions qu’elle évoque lors de son cours : savoir programmer n’est pas du niveau d’un élève de terminale (ligne 72 : ce qui serait important c’est que vous compreniez les structures, pas que vous soyez capables je dirais forcément de me faire un programme, ce n’est pas le but ici (…). Je pense que c’est un objectif trop difficile pour la classe de … de terminale) et cette compétence ne peut pas faire
113 « Les élèves qui ont des calculatrices bas de gamme, ils ont pas le for ou le while. Donc c’est vrai qu’on est aussi un peu coincé. » (Extraits entretien P1)
114
« Je veux dire que je trouve que c’est dommage que [les H.P. aient introduit le programme de Bézout]. Ca enlève toute envie de programmer. […] C’est-à-dire que le problème c’est aussi de savoir justement si on veut que ça reste un outil pédagogique. » (Extraits entretien P1)
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l’objet d’une évaluation (ligne 19 : […] sachant qu’en fait, en terminale, le fait de faire des programmes ne fera pas partie des … évaluations, […] il n’est pas question de vous donner un programmation à taper [en devoir surveillé et au bac]).
Elle estime donc devoir justifier auprès des élèves la raison qui la conduit à leur proposer des