Chapitre I Généralités sur les milieux granulaires
I. B 2.b.v Analyse dimensionnelle
Figure 16. Test classique de cisaillement : un mélange matériau granulaire/fluide est disposé entre deux plaques parallèles, l’une fixe, l’autre mobile à une vitesse constante
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V entrainant les grains en son contact. Le taux de cisaillement est défini comme le
rapport entre la vitesse de la plaque mobile et la distance entre les plaques :
h V0
Afin d’examiner s’il existe des lois d’échelle, il est intéressant de regarder si certains comportements du milieu granulaire dépendent d’une variable adimensionnelle. En mécanique des fluides par exemple, le nombre de Reynolds permet de définir trois régimes caractéristiques : régime de Stokes, régime laminaire et régime turbulent.
De la même manière, nous noterons trois nombres adimensionnels ; le nombre de Stokes St, le nombre de Bagnold Ba et le nombre d’inertie I ; permettant de caractériser le « régime granulaire » dans lequel nous nous trouvons. L’évaluation de ces nombres pour un milieu granulaire donné se base sur un test de cisaillement classique (Figure 16). Deux nombres adimensionnés prennent en compte le rôle du fluide interstitiel, le nombre de Stokes ([44], [45]) et le nombre de Bagnold ([46],[47],[48]). Le nombre d’inertie I, est exclusivement destiné à caractériser le comportement des milieux granulaires secs, c'est- à-dire sans fluide interstitiel, ou dans les cas où l’influence du fluide interstitiel est négligeable [47].
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Le nombre de Stokes est défini de la manière suivante ([44], [45]):
k V St g g (I-51)
Où est masse volumique des grains, g Vgle volume des particules, le taux de cisaillement moyen, la viscosité du fluide interstitiel et k un coefficient dépendant de l’orientation, de la taille et de la forme des particules (pour une sphère, k 3r). Le nombre de Stokes peut être vu comme le rapport entre l’énergie cinétique de la particule et l’énergie qui serait dissipée par frottement visqueux pour provoquer son arrêt.
Quand St1, l’effet du fluide interstitiel peut être négligé.
Quand St1, le fluide interstitiel a une influence significative sur le mouvement des particules.
Quand St1, le système présente des comportements intermédiaires.
Le nombre de Bagnold Ba est le rapport entre les contraintes inertielles dues aux
particules et les contraintes visqueuses du fluide :
2 1/2 2 / 3 2 2 2 g g g gd d Ba (I-52)
où dgest le diamètre des particules et la densité 1D (linéaire) définie comme le rapport
entre le diamètre des grains dg par la distance moyenne D entre les centres des particules.
Bagnold établit qu’il existe un régime d’écoulement macroscopique visqueux pour 40
Ba , un régime dominé par l’inertie granulaire pourBa 450, et un régime de transition entre les deux ([44],[45],[46]).
Enfin, le nombre inertiel I est défini comme le rapport entre deux temps
caractéristiques, celui du déplacement d’un grain soumis à la pression P (
P d
Tp g où
est la densité volumique de masse du milieu granulaire) et celui caractéristique du cisaillement à la paroi que l’on notera
1 T . D’où [47] : h V0
39 / P d I (I-53)
On observe alors 3 régimes d’écoulement différents :
Pour I 103, l’effet du confinement domine. On est dans un régime quasi-
statique avec des déformations très lentes. Le milieu granulaire se comporte alors plutôt comme un solide soumis à une déformation plastique.
Pour 103 I 101, le confinement est important mais l’effet du cisaillement
est non négligeable, le milieu granulaire se comporte alors plutôt comme un liquide.
Pour I 101, le cisaillement a un rôle prépondérant. Le régime collisionnel
domine. L’interaction entre les particules s’effectue essentiellement par chocs entre deux particules, le milieu granulaire se comporte alors plutôt comme un gaz.
Malgré l’existence de ces différents régimes, remarquons que des nombres sans dimension et des lois d’échelle restent difficiles à établir dans la plupart des situations. En effet, rappelons que ces caractérisations sont basées sur un test de cisaillement classique. Mais prenons par exemple des milieux granulaires vibrés horizontalement [48]. Outre que l’analogie avec le cisaillement est difficile à établir (on pourrait éventuellement évaluer des cisaillements locaux et instantanés), il reste un problème fondamental : le milieu granulaire est dans ce cas le siège de comportements et de régimes différents. En effet, le milieu peut être gazéifié en surface, liquide dans la partie centrale et bloqué au fond. Aucune loi simple (comme comparer le comportement du milieu granulaire à celui d’un fluide par exemple) ne semble pouvoir être établie. L’utilisation d’équations locales pour déterminer le comportement du milieu granulaire est donc hautement non triviale dans le cas des milieux granulaires vibrés.
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Conclusion du Chapitre I
Nous avons présenté un ensemble d’éléments permettant de définir et caractériser l’état d’un milieu granulaire.
Nous possédons des éléments de caractérisation morphologique des grains (sphéricité, arrondi, taille, masse volumique …), de la configuration géométrique du milieu granulaire (densité, phénomènes de ségrégations possibles…).
Les propriétés mécaniques ont également été examinées en régime statique (modèles de Janssen, de Mohr) ou dynamique (contraintes, dissipation d’énergie, nombre de Bagnold, nombre d’inertie…).
Néanmoins, comme nous l’avons vu dans la section précédente « Analyse Dimensionnelle », prévoir de manière théorique le comportement d’un milieu granulaire vibré en fonction de quelques variables caractéristiques reste très délicat. Seuls des outils partiels d’analyse sont à notre disposition. Pour remédier à ce problème, nous avons décidé d’utiliser des outils de simulations numériques : grâce à la puissance de calcul des ordinateurs, le comportement du milieu granulaire est décrit depuis l’échelle du contact et des chocs entre les différentes particules, jusqu’aux mouvements d’ensemble. Le problème revient alors à résoudre des problèmes de mécanique classique.
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