Les activités Cabri

L’objectif de ces séances Cabri est que les élèves parviennent à réaliser les différentes manipulations et produire des formulations par eux mêmes, ainsi des aides instrumentales

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identifiables à l’aide de l’image :

Lors de l’activité Cabri, trois moments nous semblent essentiels : le déplacement (réalisation des contraintes), l’observation (identification de la conclusion) et le résumé du tableau (formulation personnelle de la propriété).

Le déplacement utilisé par les élèves pour réaliser les contraintes et un déplacement mou, c'est-à-dire qu’il ne produit pas de configuration qui résistent au déplacement. Cette utilisation particulière de l’outil déplacement permet d’organiser les éléments du dessin Cabri pour qu’ils aient des caractéristiques éphémères, puis, dès que l’on change un des éléments, ces caractéristiques disparaissent. Ce déplacement ce fait avec un contrôle, par exemple un contrôle sur deux points pour qu’ils soient confondus. Ainsi, c’est ce contrôle qui permet de considérer les unités figurales inférieures citées dans l’énoncé. Cependant cette décomposition n’est pas naturelle pour l’élève. En effet cette décomposition figurale va à l’encontre de la perception du dessin qui prend en compte l’unité figurale supérieure. En manipulant lui-même les objets, et en réalisant les déplacements, l’élève est amené à décomposer la forme pour réaliser les déplacements sur les unités figurales inférieures.

Une fois que la ou les contraintes sont réalisées à l’aide du déplacement, l’élève est amené à faire une observation. L’observation est le résultat d’une appréhension perceptive du dessin si celui-ci le permet, cependant, les élèves peuvent aussi utiliser les outils Cabri afin d’identifier ou de valider certaines caractéristiques. Cette observation s’appuie sur la perception naturelle de l’unité figurale supérieure. Nous attendons des élèves qu’ils identifient une évolution, une transformation, entre la forme construite et la forme observée et que cette transformation soit éventuellement associée au Déplacement.

Cette partie de l’exercice s’appuie principalement sur des connaissances perceptives. Elle se situe dans le contrat de l’enseignement du primaire, les élèves font des observations qu’ils peuvent éventuellement valider à l’aide d’outils. L’intérêt et la signification du Déplacement apparaissent dans la formulation du résumé.

Le résumé du tableau correspond à une formulation personnelle de la propriété illustrée. Nous attendons que les élèves y reportent leurs constructions, déplacements et observations. Si l’une de ces étapes n’apparaît pas dans le résumé, le lien de subordination entre les contraintes et la conclusion ne sera pas explicité. En effet, l’élève peut n’exprimer que :

la conclusion : « on a observé un parallélogramme » les constructions « on a construit un quadrilatère »

le déplacement « on a déplacé le point A » ou « on a déplacé le point A pour que M et N soient confondus »

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Lorsque l’élève explicite une des contraintes et l’observation, le lien, entre les contraintes et la conclusion, sera alors partiel, on peut avoir :

la construction et l’observation : « on a construit un quadrilatère qui est devenu un parallélogramme »

le déplacement et l’observation : « on a déplacé le point A et c’est devenu un parallélogramme » ou « on a déplacé le point A pour que M et N soient confondus c’est devenu un parallélogramme »

Les observations, identifiées à la conclusion, doivent être articulées avec contraintes, constructions et déplacement. La structure du tableau peut orienter le résumé des élèves.

Ainsi, comme les constructions et déplacements sont sur la même ligne, les élèves peuvent les réunir dans le résumé et séparer les manipulations du logiciel des observations. Cette structuration du tableau peut contribuer à exprimer une relation de causalité entre les constructions-déplacements et l’observation. C’est cette expression de la causalité que nous souhaitons voir apparaître dans les formulations des élèves. Dans les cours précédents, les propriétés ont été formulées en associant la construction au mot clef si et l’observation au mot clef alors cela nous laisse supposer que les élèves peuvent réutiliser ces mots dans leurs résumés.

Certains élèves peuvent considérer que le résumé du tableau concerne les consignes de l’activité et non les résultats ce qui donnerait :

Nous avons construit des choses, déplacé des points et fait des observations.

Bien évidemment une telle formulation ne permet aucune illustration du lien contraintes-conclusion, et sera discutée avec l’enseignant.

Enfin, les élèves peuvent reprendre les trois étapes de leur manipulations, la encore nous pouvons obtenir plusieurs articulations, par exemple :

On a construit un quadrilatère, déplacé un sommet pour superposer les milieux des diagonales et on a observé un parallélogramme

On a construit un quadrilatère, déplacé un sommet pour superposer les milieux des diagonales et le quadrilatère est devenu un parallélogramme

Nous ne considérons que les articulations qui expriment une relation de subordination, les élèves peuvent aussi utiliser une relation d’association. Nous considérons que l’ordre des actions, la structure du tableau et la manipulation du Déplacement contribuent à ce que les élèves expriment cette relation à l’aide d’une subordination.

Le Tableau 1 présente les différentes formulations des étapes de la manipulation dans le résumé. Les élèves peuvent formuler ou non les contraintes liées au déplacement, les contraintes liées à la construction, ce qui nous donne quatre formulations possibles. L’élève peut associer à sa formulation des contraintes la formulation de la conclusion, ce qui nous

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Tableau 1

1. On a construit un quadrilatère, déplacé un sommet pour superposer les milieux des diagonales et le quadrilatère est devenu un parallélogramme

2. On a construit un quadrilatère qui est devenu un parallélogramme

3. On a déplacé le point A pour que M et N soient confondus c’est devenu un parallélogramme

4. On a observé un parallélogramme

5. On a construit un quadrilatère et on a déplacé le point A pour que M et N soient confondus

6. On a construit un quadrilatère 7. On a déplacé le point A

Lorsque les contraintes ne sont pas explicitées dans leur totalité (omission des constructions ou déplacement, exemples 2 et 3) nous considérons que l’expression du lien contraintes-conclusion est possible, mais elle sera alors partielle.

Dans la formulation du déplacement, les élèves peuvent évoquer l’objectif du déplacement, c'est-à-dire exprimer un déplacement orienté (indiquant le but du déplacement). Ils peuvent aussi n’indiquer que l’élément déplacé.

Dans leurs formulations, les élèves peuvent s’appuyer plus ou moins sur le registre visuel, c'est-à-dire que leur résumé peut être dissocié du dessin Cabri ou, à l’opposé, le dessin Cabri

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est essentiel à la compréhension du résumé. Dans la pratique de la géométrie à l’école primaire, un registre visuel est autosuffisant au registre du discours, c'est-à-dire que les élèves peuvent se contenter du registre graphique. Au collège, le registre autosuffisant doit devenir le registre du discours. Deux types de formulations peuvent apparaître. Les formulations où les objets manipulés sont cités par leur dénomination (Formulation nominative) et les formulations plus ‘abstraites’ où le nom des objets n’apparaît pas (Formulation générale). Par exemple, lorsque les élèves déplacent un sommet d’un quadrilatère ABCD, ils peuvent rapporter leur déplacement par : « on a déplacé le sommet B » ce que nous caractérisons par la formulation nominative ou alors « on a déplacé un sommet » c'est-à-dire la formulation générale. Lorsque l’élève n’utilise pas les le nom des points mais le nom géométrique de l’unité figurale, nous faisons considérons que le l’élève se détache du registre visuel. Ainsi, plus la formulation de l’élève est générale, plus l’élève fait abstraction du dessin dans son résumé. A l’opposé, un élève qui utilise des expressions nominatives où le déplacement n’est pas orienté s’appuie fortement sur le dessin pour organiser son discours. Par exemple voici deux formulations pour la même manipulation :

1-On a construit le quadrilatère ABCD et on a déplacé le point A pour que les points M et N soient confondus, ABCD est devenu un parallélogramme.

2-On a construit un quadrilatère, lorsque les diagonales ont le même milieu alors le quadrilatère devient un parallélogramme

La formulation choisie par l’élève est à associée ou non à la prise en compte de l’acteur (on a déplacé le point A) et les manipulations de l’acteur. En effet, lorsque l’élève explicite son rôle, ses actions dans le résumé, nous considérons qu’il est encore associé à la manipulation, c'est-à-dire qu’il s’appuie sur l’environnement Cabri, le registre graphique-dynamique, un registre visuel. A l’opposé, une formulation où l’acteur disparaît, ainsi que ses actions .nous indique que l’élève a su se dégager du registre visuel. Ainsi nous associons les formulations nominatives avec l’explicitation de l’acteur. Nous supposons que l’acteur sera plus discret dans des formulations générales.

Les différentes formulations nominatives ou générales sont réunies dans le Tableau 2.

Tableau 2

[déplacement général-orienté]

Lorsqu’un élève utilise une formulation mixte dans son résumé, [construction générale]

[déplacement nominatif-orienté] [observation générale], des éléments retranscrit à l’aide d’une formulation nominative et d’autres à l’aide d’une formulation générale, on peut supposer que l’élève est en cours d’apprentissage. Les éléments explicités à l’aide d’une formulation nominative peuvent nécessiter la présence du dessin pour être compris alors que les éléments explicités à l’aide de la formulation générale peuvent se passer du dessin.

Nous avons étudié le résumé par ce que les élèves peuvent exprimer, les constructions, les observations, comment ils peuvent les exprimer par formulation générale ou nominative, il nous reste à identifier comment ils peuvent articuler ces informations. Pour cela nous reprenons les signifiants du registre discursif que nous avons mis en valeur dans le chapitre 2 et la caractérisation des propriétés à l’aide des champs conceptuels (I.C.3).Les élèves peuvent relier chaque expression en utilisant une formulation experte (avec des indicateurs conditionnels ou consécutifs) ou une formulation temporelle (avec des indicateurs temporels).

Enfin la liaison entre le contenu du tableau et le contenu du résumé nous renseigne sur la stabilité des connaissances des élèves. Si les éléments du résumé ne coïncident pas avec les éléments du tableau, cela signifie que l’élève ne s’est pas complètement approprié la manipulation.

Une mise en commun au cours de l’activité avec Cabri permet à l’enseignant d’intervenir et dé complexifier la tâche de formulation de l’élève. Ainsi l’articulation entre les manipulations et observations restent à la charge de l’élève, l’enseignant apporte simplement des éléments sur la structuration générale du résumé. Cet échange avec l’enseignant joue un rôle dans le processus de médiation sémiotique. Cependant les éléments de structuration, éventuellement donnés par l’enseignant, ne suffisent pas pour ordonner les actions dans une phrase.