Regardons comment les éléments du programme du collège transparaissent dans les exercices proposés aux élèves et comment les propriétés sont réinvesties dans les raisonnements de validation. Nous avons choisi un exercice de la classe de 5ième lorsque la formulation de raisonnement déductif commence à être introduite. Cet exercice reprend les étapes classiques de résolution de problème passant par la formulation de conjecture, et la validation ou invalidation de celle-ci par la mise en place d’un raisonnement de preuve.
Collection triangle mathématiques 5e, Hatier (2001) p.199 Tracer un rectangle MNRQ de centre O.
Placer sur la droite (QN) deux points A et E symétriques par rapport au point O.
Quelle est la nature du quadrilatère MARE ?
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Justifier la réponse.
La donnée « O centre du rectangle » se traduit par O milieu des diagonales, d’où O milieu de [MR]
La donnée « A et E symétriques par rapport au point O » se traduit par O le milieu de [AE]
Ces données nous permettent d’organiser le pas suivant :
Comme MARE est un quadrilatère, O milieu de [MR] et O milieu de [AE] d’après la propriété « Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme » on conclut que MARE est un parallélogramme.
Dans cet exercice, les élèves sont amenés à construire un dessin qui leur servira d’outil dans la mise en œuvre de leur raisonnement pour la résolution du problème. On peut remarquer que cette représentation permet une visualisation des données et de la solution. De plus elle incite à une réflexion sur un dessin générique. En effet, aucune information sur les côtés du rectangle MNRQ n’est donnée, les points A et E peuvent être placés n’importe où sur la droite (QN) à condition qu’ils soient symétriques. Cette première utilisation du dessin est le résultat d’une appréhension perceptive : on voit la solution, on reconnaît perceptivement la forme parallélogramme. Cette première perception de la solution n’est qu’une conjecture, dans un deuxième temps, les élèves doivent justifier théoriquement cette observation. C'est-à-dire que les élèves doivent réaliser un raisonnement théorique qui s’appuie sur les données du
décomposée afin d’identifier quels sous-éléments permettent de justifier l’apparition du parallélogramme. La mise en valeur des diagonales du parallélogramme est le résultat d’une appréhension opératoire et la position du point O comme milieu des diagonales de MARE est le résultat d’une appréhension discursive. Il ne reste à l’élève qu’à travailler sur les deux hypothèses qui lui sont données de les associer au dessin pour parvenir à élaborer la démonstration. Cette démonstration repose sur des traductions1 de données de l’énoncé puis sur un raisonnement déductif à un pas. Les prémisses de ce pas sont formées par les données du problème, la conclusion est connue (perceptivement, on cherche à obtenir un parallélogramme), il ne reste qu’à identifier quelle propriété permet de relier prémisses et conclusion : « Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme ».
Dans cette résolution, le dessin intervient non seulement comme outil de visualisation de la solution, mais aussi comme outil de recherche pour identifier les éléments clés de la démonstration, cela tout au long de l’appréhension opératoire du dessin au cours duquel les sous-figures, les diagonales du parallélogramme MARE et le point O sont dégagées du dessin.
Les éléments du programme sont repris dans cet exercice. L’utilisation des dessins permet d’établir une conjecture qui est ensuite validée par un raisonnement théorique s’appuyant sur les données du problème, des propriétés et le dessin. Ainsi, bien que les élèves soient amenés à raisonner avec des propriétés, la présence du registre graphique reste primordiale.
D. Synthèse
La pratique de la géométrie au collège a pour but d’initier les élèves à une géométrie qui se centre sur une validation théorique : le raisonnement déductif, comme dans les programmes à travers l’apprentissage des propriétés et théorèmes. En effet les propriétés sont les noyaux du raisonnement déductif. D’autre part, les élèves travaillent sur le raisonnement géométrique (conjecture, validation par démonstration), énoncé d’une propriété qui s’appuie sur la perception, puis sur la validation théorique, en s’appuyant sur les données de l’énoncé, les propriétés connues et une appréhension opératoire du dessin. Les tâches proposées aux élèves sont : Construire, Démontrer
La géométrie du collège peut être caractérisée comme une géométrie déductive, centrée sur la justification par l’utilisation d’énoncés validés dans le cadre de la classe. Ainsi le registre de travail est le registre discursif.
1 Nous considérons ici des traductions, on pourrait aussi les considérer comme des définitions équivalentes.
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III. Liaison primaire collège rupture ou évolution ?
A travers le document d’accompagnement sur l’articulation école-collège il semble que les pratiques de la géométrie en CM2 et en 6° soient assez proches :
« Les travaux conduits à ce niveau [sixième] doivent prendre en compte les acquis antérieurs, évalués avec précision et se fixer de nouveaux enjeux. Ils doivent viser en particulier à stabiliser les connaissances des élèves, à les structurer, et peu à peu à les hiérarchiser... avec, notamment, un objectif d’initiation à la déduction. »
(Articulation école-collège, document d’accompagnement 2002 p.5) A l’entrée en sixième, l’objectif ne semble pas être l’acquisition de nouvelles connaissances mais principalement le renforcement et la structuration des connaissances de primaire. Ce travail sur l’organisation des connaissances doit permettre une introduction à la déduction.
Cette restructuration intervient au niveau des connaissances mais aussi dans la perception des objets géométriques :
« Les élèves passent d'une lecture globale des dessins géométriques à une lecture ponctuelle : désignation des points par des lettres, identification de points comme intersection de deux droites, cercle comme figure constituée des points situés à une distance donnée d'un point donné. »
(Articulation école-collège, document d’accompagnement 2002 p.5) Cependant est ce que cela permet d’atteindre l’objectif de l’initiation à la déduction ?
Si l’on s’éloigne de la géométrie pour aller vers la résolution de problème, domaine certes plus général, mais dans lequel les activités de la géométrie ont une place :
« Les deux programmes [CM2 et Sixième] mettent l’accent sur les mêmes objectifs et proposent des compétences voisines, par exemple:
« capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver » au cycle 3 et
« capacités de raisonnement : observation, analyse, pensée déductive » en sixième ;
« faire des hypothèses et les tester » au cycle 3 et « conjecturer un résultat » en sixième ;
« argumenter2 à propos de la validité d’une solution » au cycle 3 et « bâtir une argumentation » en sixième ;
2 Nous considérons que « argumentation » est pris au sens de Boero (1999), avec les liaisons avec la démonstration mise en évidence dans les travaux de Pedemonte (2002)
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pertinence en fonction du problème étudié » en sixième. »
(Articulation école-collège, document d’accompagnement 2002 p.1) Regardons de plus près la première compétence. Lorsque l’on parle de capacité à chercher et prouver en primaire, on attend un raisonnement sur les dessins tant dans la phase de recherche que dans la phase de validation (perceptive voire instrumentée). Lorsque l’on parle de capacité de raisonnement en sixième on attend plus une réflexion sur les figures dans l’observation, l’analyse et la pensée déductive. Les autres compétences peuvent être assez proches si l’on étudie l’activité de l’élève. Ainsi une certaine liaison transparaît dans l’articulation primaire-collège, mais les activités et les attentes autour du raisonnement en géométrie ne sont pas si proches qu’elles peuvent paraître.
Certaines ruptures apparaissent, ces ruptures sont dues à deux pratiques différentes de la géométrie à l’école primaire et au collège et à des attentes différentes.