Évaluation sur données simulées

Afin d’évaluer nos méthodes, nous avons créé des données simulées des contours échocardio-graphiques. Ces données permettent d’évaluer et de comparer les deux métriques sur les mêmes jeux de paramètres autour d’une position de référence. Nous avons ensuite sur ces données simulées testé la sensibilité de nos méthodes de recalage aux conditions d’initialisation.

4.4.1.1 Génération des données simulées

Afin de créer des données simulées comparables aux contours d’échocardiographie, nous avons procédé en plusieurs étapes (cf. figure 4.23) :

1. Pour un patient, le modèle géométrique est calculé sur un nombre d’instants similaire au nombre d’instants de l’échocardiographie (80 instants ont été choisis, répartis non linéai-rement au long du cycle cardiaque afin de simuler une différence de rythme cardiaque). 2. Sur le maillage en chaque instant du modèle géométrique dynamique, un facteur d’échelle

est appliqué afin de reproduire les dimensions du myocarde (et non de l’endocarde) vi-sualisé en échocardiographie. Le facteur d’échelle choisi est de 1.2 correspondant pour un VG de diamètre 60 mm à un nouveau diamètre de 72 mm soit une épaisseur ajoutée de 6 mm (= 72−60

2 ) qui est de l’ordre de grandeur de la demi-épaisseur du myocarde (de 9 à 12 mm en diastole pour un cœur sain).

3. Un fort lissage gaussien est ensuite appliqué à l’ensemble des maillages afin de reproduire la régularité des contours extraits en échocardiographie.

4. Nous définissons ensuite un plan de coupe par son origine et sa normale et extrayons les contours résultant de l’intersection du modèle en chaque instant et du plan (le plan choisi correspond à une vue apicale quatre cavités).

Figure 4.23 – Schéma de l’obtention des données échocardiographiques simulées : à partir du modèle dynamique (avec un nombre d’instant similaire à celui de l’échocardiographie), un facteur d’échelle est appliqué puis un lissage, un plan est ensuite défini et permet d’extraire des contours similaires aux contours de l’échocardiographie.

Nous obtenons ainsi des contours de dimensions, régularités et définitions spatiales et tem-porelles similaires aux contours des données échocardiographiques (cf. figure 4.24). Ces données

(a) instant 00% (b) instant 25% (c) instant 50% (d) instant 75%

Figure 4.24 – Contours échocardiographiques simulés en différents instants du cycle cardiaque, obtenus par la méthode décrite à la figure 4.23.

sont définies par le plan de coupe, aussi celui-ci nous sert de référence :

– si notre métrique est adaptée, elle devrait être minimale pour une normale et une origine dans un voisinage de la normale et de l’origine du plan de référence,

– de même, si l’algorithme est efficace, nous devrions retrouver une position après recalage proche de la définition du plan.

Notons Pref le plan de référence.

Dans le cas de l’approche statique pour laquelle seul un instant d’échocardiographie est considéré, nous effectuons le recalage entre l’instant 00% du scanner et son équivalent dans les contours simulés. L’approche dynamique prend en compte l’évolution dans le temps des contours et des surfaces, chaque instant simulé est donc considéré pour cette méthode.

4.4.1.2 Évaluation et comparaison des métriques

Les deux métriques (cf. sections 3.4.1 et 3.4.2) sont calculées entre deux contours (statiques ou dynamiques selon la métrique considérée). Ces contours sont définis par un plan de coupe et donc par une normale et une origine. Nous avons décomposé la définition d’un plan en trois transformations élémentaires par rapport à Pref : une translation selon sa normale, une rotation orthogonale à sa normale et une rotation autour du grand axe (cf. figure 4.25). Tout plan de l’espace peut être défini par les trois paramètres respectifs des trois transformations élémentaires.

(a) Translation (b) Rotation 1 (c) Rotation 2

Figure 4.25 – Paramètres testés donnant les transformations élémentaires par rapport au plan de référence (Pref) pour l’évaluation des métriques : (a) translation selon la normale de Pref, (b) rotation orthogonale à la normale de Pref, (c) rotation autour du grand axe.

Pour ces évaluations, le diamètre maximum du VG est approximativement de 60 mm, le paramètre de translation t est donc compris entre -30 et 30 mm. La première rotation θ1

(orthogonale à la normale de Pref) peut au maximum être de 90◦(en valeur absolue). Enfin, la rotation autour du grand axe θ2est comprise entre -180 et 180◦. Relativement à ces intervalles, nous définissons des erreurs : une translation de t mm représente une erreur de ǫt= t

30(exprimée en %), respectivement ǫθ1 = θ1

90 et ǫθ2 = θ2 180.

Évolution des métriques en translation. L’évolution des métriques pour une translation suivant la normale de Pref est représentée à la figure 4.26. Nous avons appliqué une translation comprise entre -30 mm et 30 mm avec un pas de 1 mm. Dans le cas de l’approche statique, deux minima sont visibles autour de la position de translation nulle (en -2 mm et 3 mm). La position initiale n’est pas le minimum global. Ceci s’explique par le lissage effectué qui régularise le contour simulé au niveau apical alors que la surface du modèle géométrique présente un apex marqué. La métrique statique s’appliquant à la forme des contours, elle atteint une plus faible

(a) Approche statique (b) Approche dynamique

Figure 4.26 – Évolution des métriques en translation selon la normale de Pref. Le minimum global est noté par une flèche. Pour la métrique statique, il est atteint pour une translation de 3 mm. Pour la métrique dynamique, il est atteint pour une translation nulle.

valeur lorsque le plan de coupe ne passe pas par l’apex du VG. Nous observons donc une erreur en translation de ǫ_t= 10.0 %.

Dans le cas de l’approche dynamique, le minimum global de la métrique en fonction d’une translation suivant la normale de Pref est atteint pour une translation nulle. L’allure générale de la courbe est également plus lisse, ne présentant pas de minima locaux.

Évolution des métriques en rotation orthogonale à la normale du plan de référence. L’évolution des métriques pour une rotation orthogonale à la normale de Pref est représentée à la figure 4.27. Nous avons appliqué une rotation comprise entre -45◦ et 45◦ avec un pas de 1◦. Dans le cas de l’approche statique, le minimum global de la métrique est atteint en -2◦, pour

(a) Approche statique (b) Approche dynamique

Figure 4.27 – Évolution des métriques en rotation orthogonale à la normale de Pref. Le minimum global est noté par une flèche. Pour la métrique statique, il est atteint pour une rotation de -2◦. Pour la métrique dynamique, il est atteint pour une rotation nulle.

des raisons similaires à celles énoncées dans le cas de la translation. Nous observons donc une erreur suivant la première rotation de ǫθ1= 2.2 %.

Dans le cas de l’approche dynamique, le minimum global de la métrique en fonction d’une rotation orthogonale à la normale de Pref est atteint en 0◦. L’allure générale de la courbe est également plus lisse, ne présentant pas de minima locaux.

Évolution des métriques en rotation autour du grand axe. L’évolution des métriques pour une rotation autour du grand axe est représentée à la figure 4.28. Nous avons appliqué une rotation complète autour du grand axe (de -180 à 180◦) avec un pas de 1◦. Dans le cas

(a) Approche statique (b) Approche dynamique

Figure 4.28 – Évolution des métriques en rotation autour du grand axe. Le minimum global est noté par une flèche. Pour la métrique statique, il est atteint pour une rotation de -4◦. Pour la métrique dynamique, il est atteint pour une rotation de 5◦.

de l’approche statique, le minimum global de la métrique est atteint autour de la position de référence en -4◦ soit une erreur ǫθ2 = 2.2 %.

Dans le cas de l’approche dynamique, le minimum global de la métrique est atteint pour une rotation autour du grand axe de 5◦, ce qui correspond à une erreur de 2.7 %.

Les allures des deux courbes de la figure 4.28 sont similaires. En effet, même si la courbe de la métrique pour l’approche statique est plus chaotique, le minimum global est observé aux alentours d’une rotation nulle et une symétrie centrale apparaît.

Pour l’approche dynamique, deux maxima sont visibles pour des rotations d’environ 100◦en valeur absolue, c’est-à-dire pour des plans quasi-orthogonaux au plan de référence. Ces maxima correspondent aux conditions pour lesquelles les contours extraits du modèle géométrique sont les plus éloignés (au sens de la métrique) des contours d’échocardiographie simulés. Nous pou-vons les expliquer aisément :

– d’un point de vue géométrique par la quasi-symétrie axiale du VG : les contours orthogo-naux sont les plus éloignés géométriquement,

– d’un point de vue dynamique par le mouvement plus faible de la paroi septale comparé aux parois libres : les contours orthogonaux sont ceux dont les mouvements sont les plus éloignés.

Les rotations de -180◦ et 180◦ sont équivalentes, aussi un autre minimum est marqué dans la courbe de métrique pour l’approche dynamique. Pour une initialisation improbable quasi-orthogonale au plan US recherché et correspondant à une erreur ǫθ2 supérieure à 50 %, l’opti-misation de la métrique aurait des chances de conduire à un recalage inversé (la paroi septale en coïncidence avec la paroi latérale par exemple).

L’évaluation des métriques selon ces trois paramètres montre que la métrique développée pour l’approche dynamique semble plus adaptée aux données traitées : les erreurs en translation et rotation orthogonale sont nulles sur les données simulées contrairement à la métrique développée pour l’approche statique et l’erreur de rotation autour du grand axe est similaire pour les deux métriques. L’évolution selon ces paramètres montre aussi une métrique plus lisse et donc plus adaptée à des problèmes d’optimisation. En effet, le nombre important de minimum locaux dans le cadre de l’approche statique implique une initialisation de l’optimisation de recalage dans un voisinage restreint de la solution recherchée.

Résultats de l’optimisation. Le plan d’initialisation est déplacé suivant les trois paramètres définissant les transformations élémentaires. Suivant la transformation appliquée, une erreur est estimée sur l’initialisation et les erreurs ǫt, ǫθ1 et ǫθ2 sont calculées sur le résultat du recalage. Nous appliquons sur la position d’initialisation des erreurs relatives comprises entre 0 et 10% par rapport à Pref.

Nous mesurons pour chaque valeur d’initialisation les erreurs ǫt, ǫθ1 et ǫθ2. Les erreurs moyennes et écarts types, relevés sur l’intervalle [-10%, 10%] dans chaque cas et pour les deux méthodes, sont reportés dans le tableau 4.8.

ǫt ǫθ₁ ǫθ₂

moy. écart type moy. écart type moy. écart type (%/mm) (%/mm) (%/◦) (%/◦) (%/◦) (%/◦) ǫt Statique 10.7 / 3.21 9.5 / 2.9 5.3 / 4.8 2.9 / 2.6 1.7 / 3.1 1.5 / 2.7 Dynamique 3.4 / 1.0 3.3 / 1.0 1.3 / 1.2 1.1 / 1.0 0.9 / 1.6 1.0 / 1.8 ǫθ₁ Statique 12.2 / 3.7 14.6 / 4.4 6.3 / 5.7 4.0 / 3.6 0.9 / 1.6 1.0 / 1.8 Dynamique 4.4 / 1.3 4.6 / 1.4 1.2 / 1.1 1.3 / 1.2 1.1 / 2.0 0.9 / 1.6 ǫθ₂ Statique 5.7 / 1.7 9.1 / 2.7 3.4 / 3.1 3.3 / 3.0 5.0 / 9.0 3.2 / 5.8 Dynamique 5.5 / 1.7 4.9 / 1.5 2.7 / 2.4 2.1 / 1.9 4.7 / 8.5 3.2 / 5.8 Tableau 4.8 – Pour une erreur relative à la position de référence en translation (ǫt), en rotation orthogonale à la normale de Pref (ǫθ₁) et en rotation autour du grand axe (ǫθ₂) sur l’intervalle [-10%, 10%] : erreurs moyennes et écarts types relevés après application des deux méthodes de recalage sur données simulées.

Les erreurs et écarts types sont en moyenne plus faibles pour l’approche dynamique selon les trois paramètres testés.

L’allure de la métrique pour l’approche dynamique laisse à penser qu’une descente de gradient est efficace pour l’optimisation (courbes lisses, de minimum marqué). Toutefois, les résultats font apparaître une erreur résiduelle non nulle. Nous pouvons expliquer ces erreurs par le fait que l’optimisation se fait sur six paramètres indépendants (trois paramètres définissant l’origine et trois définissant la normale du plan P_{U S}) et non sur les paramètres de calcul des erreurs. Le minimum obtenu après optimisation n’est pas forcément un minimum pour les trois erreurs mesurées.

La méthode n’est pas remise en question car la métrique considérée semble adaptée mais l’étape d’optimisation peut sans doute être améliorée, par exemple en optimisant sur d’autres paramètres que les six paramètres indépendants de définition du plan PU S, en prenant les trois mêmes paramètres de calcul d’erreur (la principale difficulté est alors la mesure du gradient sur des paramètres non indépendants). Néanmoins, nous considérons pour nos résultats qu’une initialisation suffisamment proche du résultat recherché est acceptable pour l’optimisation mise en place.

Nous présentons maintenant les résultats sur données réelles.