2 ( ) 4 (
, les tractions p(2) et p(4) sont calculées, ainsi que d (2)dt(4)dt. Pour le modèle complet 4 couches, une solution itérative est nécessaire (intégration de Newton).
(e) dδ est identifié à dΔδe ou dΔδp, selon le régime, respectivement élastique si ) ( ) 3 ( T p eq , ou plastique si (3) ( ) T p eq .
(f) dh(3)h(3)dt et dG Gdt sont calculés à partir des équations (20) et (3). La vitesse de déformation de croissance effective dans l’alumine est calculée à partir de G et (en utilisant (23) ou (24) ).
(g) Le temps est incrémenté et toutes les quantités sont mises à jour (sauf p(2) et p(4)), et le processus recommence à (a).
Un organigramme récapitule et schématise l’enchainement de ces opérations, consultable dans l’Annexe 9.
5.3 - Étude des différentes composantes du modèle et de leur impact
5.3.1 - Comparaison des configurations et des méthodologies
L’introduction de diverses modifications par rapport au modèle original de Balint & Hutchinson (2005) a fait apparaître de nouvelles possibilités que nous avons définies et étudiées, et qui sont décrites ci-dessous, suivant les différentes versions du modèle :
COSORI : c’est le modèle original qui traite :
- une ondulation 2D, de forme simple cosinus, impliquant la théorie des plaques de Von Karman en 2D,
- des contraintes de croissance équi-biaxiales dans le plan dans la couche d’alumine (avec l’hypothèse que l’augmentation relative de la longueur développée est identique, dans les directions x1 et x3). Ce terme donné par l’équation (7) nous est apparu surévalué d’un facteur 2, étant donné l’expression du rapport entre la longueur développée et la longueur rectiligne [Dorvaux 2010],
- des contraintes équi-biaxiales dans toutes les autre couches, en utilisant la fonction
a(n) déterminée analytiquement par Balint & Hutchinson (2003),
- Le b(n) provenant d’une détermination numérique explicitée dans le même papier.
COSMOD : c’est un modèle sensiblement modifié par rapport au modèle original, dans lequel on considère :
- toujours une géométrie d’ondulation 2D, de forme simple cosinus, impliquant la théorie des plaques de Von Karman en 2D,
- des contraintes de croissance équi-biaxiales dans la couche d’alumine (avec l’hypothèse que l’augmentation de la longueur développée est identique, dans les directions x1 et x3). Mais le terme adopté ici est défini ici par l’équation (23), ce qui réduit sa valeur d’un facteur 2, par rapport à celle considérée dans la version originale du modèle
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 118 -
- des contraintes équi-biaxiales dans toutes les autre couches, en utilisant la fonction
a(n) déterminée analytiquement par Balint & Hutchinson (2003),
- la fonction b(n) déterminée numériquement dans nos travaux (dans le cas d’une ondulation 2D), légèrement différente de celle de Balint & Hutchinson (2003).
COSMOD1 : c’est le modèle 2D le plus abouti proposé à la suite de nos travaux, dont les spécificités, par rapport à la version précédente, sont les suivantes :
- les contraintes de croissance de l’oxyde sont supposées non équi-biaxiales, en relation avec les accroissements des longueurs développées qui diffèrent dans les directions x1 et x3, d’après les équations (27) et (28),
- les contraintes dans le plan dans les autres couches (sous-couche et barrière thermique) ne sont également plus nécessairement équi-biaxiales,
- nous utilisons toujours pour a(n) la solution analytique de Balint & Hutchinson (2003),
- la fonction b(n) déterminée numériquement dans nos travaux (dans le cas d’une ondulation 2D), légèrement différente de celle de Balint & Hutchinson (2003).
COSCOS : c’est le modèle 3D qui intègre en partie les modifications introduites précédemment dans le modèle 2D, traitant :
- une géométrie d’ondulation 3D (même longueur d’onde dans les directions x1 et x3), impliquant la théorie des plaques de Von Karman en 3D,
- des contraintes de croissance équi-biaxiales dans la couche d’alumine, données par les équations (24) et (26), liées à une augmentation de la longueur développée identique dans les directions x1 et x3 (à cause du fait que L3=L1),
- des contraintes dans le plan qui ne sont plus nécessairement équi-biaxiales dans les autres couches, calculées en utilisant le paramètre a(n,r) obtenu par lissage de
l’expression (33), issue de calculs numérique pour une ondulation en 3D,
- la fonction b(n) déterminée également numériquement dans nos travaux, dans le cas d’une ondulation 3D.
Comme mentionné précédemment, les descriptions 2D et 3D sont complémentaires et peuvent toutes deux être réalistes, selon la configuration expérimentale. Dans le cas 3D il n’y qu’une seule alternative de modélisation (COSCOS), mais dans le cas 2D, la description la plus proche de conditions expérimentales (nécessairement non équi-biaxiales au regard de la géométrie) est le COSMOD1.
Dans toutes les simulations dont les résultats sont présentés ci-dessous, le substrat est toujours considéré comme infiniment épais, imposant ses déformations totales aux autres couches. Sur la Figure 5.6 nous avons déjà observé les différences entre ces quatre configurations géométriques sur la prévision du rumpling pour des configurations géométriques proches de celles utilisées par Balint & Hutchinson (2005), avec h(3)0 = 0,5 µm et δ0 = 0,05 µm. Pour une géométrie 2D, la réduction d’un facteur 2 appliquée sur l’accroissement de la longueur développée de la couche d’alumine, entre les solutions COSORI et COSMOD, a un impact plutôt faible.
5.3.2 - Impact d’autres modifications introduites dans le modèle
Dans ce paragraphe nous allons examiner les diverses modifications que nous avons introduites, autres que celles portant sur la géométrie d’interface ou le caractère équi-biaxial ou non des contraintes dans le plan, l’objectif étant de pouvoir prendre en compte des cycles
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 119 - thermo-mécaniques quelconques. Ces modifications portent essentiellement sur l’intégration des lois de comportement (passage d’une forme hypoélastique à une forme hyperélastique) et la dépendance à la température de la cinétique d’oxydation et du seuil de plasticité de l’alumine.
La configuration étudiée dans cette section porte sur le système barrière thermique complet (4 couches) et considère une description 3D de l’interface (double cosinus). Le chargement est supposé tel que des déformations totales équi-biaxiales s’appliquent sur le substrat. Nous avons repris globalement les lois de comportement et les paramètres de ces lois pour la sous-couche et la barrière thermique utilisés dans Balint & Hutchinson (2005). Les seuls changements introduits portent sur le module d’Young de la barrière thermique, dépendant linéairement de la température [Gadaud 2000] (voir paragraphe 6.1), et sur les paramètres de fluage de la sous-couche, correspondant à un état vieilli de celle-ci. Ceci car il est connu que la sous-couche se transforme progressivement au cours du vieillissement du système, ce qui altère son comportement en fluage [Pan 2003]. A priori il serait judicieux de faire évoluer le comportement de cette couche en fonction du vieillissement thermique, mais cela nécessiterait de caractériser celui-ci in situ, à différents stades, ce qui n’a pas été fait systématiquement dans le cadre d’études connexes. Par conséquent, deux états seulement ont été étudiés – l’état brut et un état vieilli particulier (après 100 cycles de 1 heure à 1100°C) – ce qui nous a conduit à considérer deux jeux de paramètres (cf. Tableau 5.3) :
- les paramètres de la loi de fluage utilisés dans Balint & Hutchinson (2005), obtenus à partir d’essais de micro-traction menées par Pan et al. (2003) sur une sous-couche en Ni(Pt)Al dans son état brut de dépôt (sur un substrat en René N5),
- la loi de fluage d’une sous-couche Ni(Pt)Al vieillie par 100 cycles d’une heure à 1100°C, déterminée à l’Onera à partir d’essais de micro-indentation instrumentée à chaud, réalisés à 700, 750 et 800°C. Après vieillissement, la sous-couche présente une résistance au fluage nettement plus élevée que dans son état initial (résultats de micro-indentation comparés entre eux), comme cela a également été mis en évidence par Pan
et al. par des essais de fluage sur micro-éprouvettes.
L’objectif à ce stade est essentiellement de caractériser l’influence du fluage de la sous-couche sur le rumpling.
L’évolution de l’épaisseur d’oxyde est donnée par l’équation (20), avec les coefficients matériaux indiqués dans le Tableau 5.3. Le paramètre d, pour la déformation de croissance latérale (équation (3) ), est pris égal à 50 µm. La géométrie de l’ondulation 3D est telle que
h(3)0 = 0,5 µm, δ0 = 0,05 µm et L = 20 µm.
Sous-couche 7YPSZ Alumine
T h er mo -éla stic it é E (GPa) 115 [Pan 2003] 63-0,034.T (K) [Gadaud 2000] 350 [Balint 2005] 0,27 0,10 0,20
(K-1) 1,6e-5 1,0e-5 8,5e-6
L o is d e fluag e n 4 2.7 4 a = 0,313 TR (K) 15000 37887.9 15000 Tox = 46157,1 K R (MPa) 25 28.42 50 k = 1,803e-6 R (s-1) 0,2 1,0e8 5 d = 50 µm
Sous-couche brute Sous-couche vieillie Loi d’oxydation
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 120 -
Par la suite, les résultats de calculs pour quatre cycles de températures maximales différentes sont présentés sur chaque figure, correspondant respectivement à Tmax = 1000, 1050, 1100 et 1150°C. Ces cycles de température comportent une montée en température de 12 min, un plateau de 60 min à la température maximale et un refroidissement de 4 minutes (voir Figure 5.7). Dans tous les cas, la température minimale Tmin est de 100 °C environ.
Figure 5.7 : Cycles de température imposés au système multicouche dans le modèle
Le premier jeu de simulations (Figure 5.8), a été effectué en utilisant la méthodologie initiale de Balint & Hutchinson (2005). L’oxydation et la déformation de croissance latérale correspondante interviennent uniquement à la température de palier (en utilisant les paramètres décrits dans le Tableau 5.3). De même, la plastification éventuelle de l’alumine n’est possible qu’à la température maximale, avec une limite d’élasticité de 300 MPa, indépendante de la température de palier. La température à laquelle les contraintes sont supposées nulles est prise à Tmax. Enfin, dans ce premier calcul, le module d’Young de la barrière thermique est pris indépendant de la température, et égal à 48 GPa.
Figure 5.8 : Évolution du rumpling pour quatre températures de cyclage, avec une ondulation 3D. Méthodologie initiale de Balint & Hutchinson (2005) et module d’Young constant dans la barrière
thermique (48 GPa) 1150°C
1100°C
1050°C 1000°C
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 121 - La Figure 5.8 montre les prévisions du rumpling (évolution de l’amplitude ) pour les quatre cycles de température. Nous observons que pour des températures de palier inférieures (ou égales) à 1050°C, le rumpling est quasiment nul. Lors d’un cyclage à 1100°C, le rumpling augmente en présentant une évolution convexe (du moins sur les 100 premiers cycles), alors que pendant le cyclage à 1150°C, l’augmentation de l’amplitude d’ondulation est bien plus marquée, avec une évolution convexe puis concave (point d’inflexion vers 55 cycles).
Il ne nous est pas apparu admissible de supposer que la plasticité de l’alumine n’est possible qu’à la température de palier, et dans ce cas, on constate que si la température maximale n’est atteinte que progressivement (telle que cela dans le cas de sollicitations réelles), de flagrantes discontinuités des contraintes dans l’alumine sont observées, comme cela est illustré sur la Figure 5.9, pour une température de palier de 1150°C.
Pendant la montée en température, le phénomène d’oxydation est d’autant plus prononcé que l’on s’approche de la température maximale de 1150°C, ce qui induit une augmentation significative (en valeur absolue) de la contrainte de croissance G
, et corrélativement une augmentation (en valeur absolue) de la contrainte dans l’oxyde. Mais ce n’est que lorsque la température de palier est atteinte que la plastification devient possible. Alors, la contrainte dans l’alumine, si elle est supérieure au seuil de plasticité, passe brusquement, compte tenu de l’hypothèse de plasticité parfaite pour cette couche, d’une valeur élevée (en valeur absolue) à la valeur limite fixée à 300 MPa. Une telle situation de discontinuité de contraintes, qui s’estompe après quelques cycles, est clairement irréaliste.
Figure 5.9 : Contraintes dans l’alumine au cours des deux premiers cycles, avec une température maximale de 1150°C. Calcul effectué avec l’oxydation opérant à tout instant, mais une plastification
possible uniquement à Tmax
Nous avons en effet pu vérifier que lorsque l’oxydation et la plastification de l’alumine sont possibles à toute température pendant le cycle (équations (3) et (20) ), l’évolution des contraintes ne présente plus ces discontinuités inacceptables. C’est cette situation que nous adopterons dans toute la suite de nos travaux, en effectuant les calculs selon une procédure que nous appellerons « procédure VKDC ».
Mais pour ce faire, nous devons pouvoir spécifier correctement la limite d’élasticité de l’alumine en fonction de la température. Un premier essai conservant une limite constante de 300 MPa pour des températures comprises entre 900 et 1150°C, et considérant une valeur très
33 T G Réaugmentation des contraintes de compression Atteinte de la température de palier
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 122 -
élevée (environ 10 GPa) pour des températures plus faibles, a conduit à des résultats absurdes, notamment un rumpling négatif pour des cycles présentant une température de palier supérieure à 1050°C. Les deux choix particuliers de variation de p(T) présentés et discutés
ci-dessous révèlent une grande sensibilité des résultats vis-à-vis de cette dépendance.
La Figure 5.10 montre le rumpling, pour les quatre cycles de température, calculé en utilisant l’expression suivante de p(T) (T s’expirmant en kelvins):
T
T
p( )0,004415exp15531/
(34)
Ainsi p vaut respectivement 877, 553, 360 et 242 MPa, aux quatre températures de palier considérées, à savoir 1000, 1050, 1100 et 1150°C.
Figure 5.10 : Évolution du rumpling pour les quatre températures de cyclage, avec une ondulation 3D. Calculs avec la procédure VKDC (oxydation à tout instant et seuil de plasticité de l’alumine dépendant de
la température donné par l’équation (34) )
En comparant les Figures 5.8 et 5.10, nous observons une réduction significative du rumpling prévu pour des cycles à 1150 °C alors même que l’oxydation est plus rapide (car active à toute température). Ceci est dû à la plastification rendue possible pendant la montée en température, notamment à la fin de la phase de chauffage. L’alumine plastifie alors plus tôt, pour des niveaux de contraintes plus faibles en valeur absolue (seuil de compression modifié par exemple à 1150°C de 300 MPa à 242 MPa). Les contraintes hors-plan p(2) et p(4) sont ainsi réduites, ce qui limite les déformations de fluage dans la sous-couche et dans la barrière thermique. Notons que ce fluage survient de manière significative sur la fin de la phase de chauffage, surtout lorsque la transformation martensitique opère (engendrant de fortes contraintes à froid, et donc provoquant une plastification de la sous-couche plus tôt lors de la remontée en température). Cet effet est clairement expliqué dans Balint & Hutchinson (2005). Aux autres températures de cyclage (1100, 1050 et 1000°C), l’effet inverse (rumpling plus important) est observé entre les Figures 5.8 et 5.10, car la limite d’élasticité est alors nettement plus élevée (en valeur absolue) que dans la précédente simulation, dont les résultats sont donnés sur la Figure 5.8 (valant par exemple à 1000°C 877 MPa contre 300 MPa, valeur fixée auparavant pour toutes températures).
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 123 - Afin de souligner la grande sensibilité des prévisions du rumpling vis-à-vis du choix de la limite d’élasticité de l’alumine et de sa dépendance en température, la Figure 5.11 montre, pour les mêmes conditions de calculs exactement et des paramètres matériaux inchangés, les évolutions du rumpling obtenues en utilisant une expression autre de p(T), issue des courbes
de Balint et al. (2011) (T étant exprimé en kelvins) :
T
T
p( )8,107exp 28110/
(35)
Figure 5.11 : Évolution du rumpling pour les quatre températures de cyclage, avec une ondulation 3D. Calculs avec la procédure VKDC (oxydation à tout instant et seuil de plasticité de l’alumine dépendant de
la température donné par l’équation (35) )
Traduisant l’utilisation d’une limite d’élasticité plus élevée à toutes les températures (donnée par l’équation (35) qui dérive des travaux de [Balint 2011]), la Figure 5.11 présente de nettes différences avec la Figure 5.10, obtenue elle en utilisant pour une limite d’élasticité plus faible en valeur absolue (donnée par l’équation (34) ). En particulier, le début des courbes de prévision du rumpling, pour de faibles amplitudes, montre une dépendance inverse à la température, qui ne semble pas réaliste. Nous retrouvons les tendances dans un ordre logique lorsque l’amplitude augmente. Cela souligne le rôle important joué par la limite d’élasticité de l’alumine dans les prévisions du modèle, qui doit donc être déterminée avec grand soin.
Les deux évolutions différentes de p(T) que nous avons considérées sont tracées sur la Figure
5.12, ainsi que les variations correspondantes de contraintes élastiques dans l’oxyde, pour les différents cycles de vieillissement thermique étudiés, en négligeant les contraintes de croissance et la plasticité dans cette couche.
1150°C
1050°C 1000°C
Chapitre 5 : Modélisation du comportement interfacial et du rumpling
- 124 -
Figure 5.12 : Évolution de la limite d’élasticité de la couche d’alumine σp(T), donnée par les équations (34) et (35) et variation des contraintes élastiques correspondantes dans cette même couche
Au final, n’ayant aucune donnée expérimentale sur la dépendance à la température de la limite d’élasticité de l’alumine, ces deux évolutions peuvent être considérées dans notre modèle. Or nous avons montré que l’utilisation de l’équation (35) menait à un résultat non attendu expérimentalement pour le rumpling, nous modéliserons par conséquent la plastification de l’alumine par l’équation (34).