Correspondance de McKay : variations en dimension trois

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trois

Sophie Térouanne

To cite this version:

Sophie Térouanne. Correspondance de McKay : variations en dimension trois. Mathématiques [math].

Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2004. Français. �tel-00006683v2�

Pour ommen er, je tiens à remer ierJosé Bertinpour m'avoirsuivie et en ouragée depuis lamaîtrise, puis pour avoir a epté il ya quatre ansd'en adrer mathèse. Je le remer ie pour tout le temps passé à me ra onter des mathématiques et pour m'avoir guidée dansmare her he, en respe tantmon rythmeparfoisun peu parti ulier.

ChristophSorgeretDimitriMarkushevi honta eptédejouerlerlederapporteurs surmathèse.Je lesremer ie sin èrement d'avoiree tué e travail,etjesuiségalement très honorée deles avoir omptésdans monjuryde thèse.

Laprésen edeGérardGonzalez-Sprinbergaétéàplusieursreprisesimportantepour moi. Entant qu'expertdu domaine,il m'a é lairée etaidéeà repla er montravail dans un ontexte global. Je le remer ie de l'intérêt qu'il porte à mon travail, et de tous ses en ouragements. Mer i également d'avoir a epté defaire partie de monjuryde thèse.

Dans l'équipe d'algèbre et géométrie de l'Institut Fourier, Mi hel Brion etLaurent Manivelsontdetouslesséminairesetgroupesdetravail.Leurdynamismenelesempê he pas de laisser prendre leur pla e aux débutants, et je leur en suis très re onnaissante. Je les remer ie aussi d'avoir parti ipé à mon jury de thèse, et parti ulièrement Mi hel Brion pour sale tureattentive etses remarques onstru tives.

Plusgénéralement, la ommunautémathématique suitunepolitiqued'intégration des do torants dont j'ai largement proté. En eet, j'ai béné ié à plusieurs reprises de nan ements me permettant de parti iper à desren ontres mathématiques, groupesde travail et é oles d'été. Mer i don à l'Institut Fourier, mais également au CIRM, au réseau EAGER, età l'ICTP de m'avoirpermisde onnaître etaspe t international de lavie du her heur durant mathèse.

À plusieurs reprises durant es dépla ements, j'ai ren ontré Miles Reid, qui s'est montré très en ourageant. Je le remer ie pour l'intérêt qu'il a porté à mon travail. Je remer ie également Tom Bridgeland et Alexei Bondal pour leur disponibilité et leur gentillesse fa eauxquestionsles plusnaïves.

Laviedulaboseraitbientristesanslespauses afé,leRUCondilla etlesdis ussions mathématiques (ou non) entre thésards. Je remer ie don touslesthésards del'Institut Fourierren ontrésdurant esquatreannées,etplusparti ulièrement FranketGuillaume ave qui j'ai partagé mon bureau; et Matthieu Romagny et Pierre-Emmanuel Chaput pour leursoutienmathématique etleurdynamisme ommuni atif.

Je souhaite également remer ier les membres de l'équipe administrative pour leur grandee a ité,etleurbonnehumeuràlapausetraditionnelle de10h15.Une mention spé ialeàArlette pour sagentillesse etsadéli atesse ave les thésardsstressés...

Avantlathèseetdepuisl'enfan e,j'airen ontrébeau oupd'enseignantsde mathéma-tiques. Pour leurs en ouragements, pour le modèle qu'ils ont représenté, ou la passion qu'ils ont su dé len her hez moi, je vois i i une o asion de les remer ier. Voi i une liste non exhaustive de eux à qui je pense et que j'espère ne jamais trahir dans mon métier d'enseignante : Madame Albert, Roland Ba her, Alain Dufresnoy, Jean-Claude Éon,Christine Laurent-Thiébaut, Cristián Mallol, Alain Prouté, AlvaroRittatore,Éri Térouanne,Ri hard Varro, Gérard Vinel.

J'ai aussi une pensée pour eux et elles ave qui j'ai étudié. En parti ulier Claire, Emilieetles  opinesde li en e ave qui j'aipartagé unbout de laroute.

Un motenn pour tous eux quiont été làpour me hanger lesidées, et m'apporter l'équilibreindispensable autravaildere her he.Mer ià Benoit,Lu ie, mesparents, ma famille, les hanteurs, les opains de 3I, de Trixell, de Montpellier, et tous les autres. Je souhaite remer ier plus parti ulièrement Benoit qui a supporté mes doutes et mes angoissesquotidiennement.Son almeetsesen ouragementsontétélepluspré ieuxdes soutiensdurant esannées de thèse.

Remer iements i

Table des matières iii

Introdu tion vii

1 Le G-s héma de Hilbert 1

1.1 Dénitions. . . 1

1.2 A tion deG surHilb P(n) X : . . . 3

1.2.1 A tion surunfon teur de points. . . 3

1.2.2 A tion deG surlefon teur H ilb P X . . . 4

1.2.3 S hémadespointsxes de Hilb P X .. . . 5

1.3 Démonstration du théorèmed'existen e . . . 6

1.3.1 Dénition de G Hilb P G X . . . 6 1.3.2 Démonstration du lemme1.3.1 . . . 7 1.4 Le G-s héma de Hilbert . . . 10

1.5 Constru tion dumorphisme deHilbert-Chow . . . 12

1.5.1 Linéarisation du déterminant . . . 12

1.5.2 Appli ation géométrique . . . 14

1.5.3 Le morphismede Hilbert-Chow G-équivariant . . . 17

1.6 Cas desgroupesengendré par desréexions . . . 17

1.6.1 Notations . . . 17

1.6.2 Quelquesrésultatspréliminaires . . . 18

1.6.3 Le W-s héma deHilbert deA n . . . 18

1.6.4 Appli ation au asglobal lorsque lequotient estlisse . . . 19

2 Singularités anes en dimension trois 21 2.1 La méthodede résolution de Jung . . . 22

2.1.1 Revêtement double . . . 22

2.1.2 La méthodede Jung . . . 24

2.2 Résolution par laméthodede Jung . . . 26

2.2.1 Notations . . . 26 2.2.2 Le systèmede ra inesA 1 A 1 A 1 . . . 27 2.2.3 Le systèmede ra inesA 1 A 2 . . . 29

2.2.4 Le systèmede ra ines A 1 B 2 . . . 30 2.2.5 Le systèmede ra ines A 1 G 2 . . . 33 2.2.6 Le systèmede ra ines A 3 . . . 36 2.2.7 Le systèmede ra ines B 3 . . . 40 2.3 Résolution par leW + -s hémade Hilbert . . . 43

2.3.1 Méthode de dé ompositionde l'algèbre oinvariante . . . 44

2.3.2 Le systèmede ra ines A 1 A 1 A 1 . . . 45 2.3.3 Le systèmede ra ines A 1 A 2 . . . 46 2.3.4 Le systèmede ra ines A 1 B 2 . . . 48 2.3.5 Le systèmede ra ines A 1 G 2 . . . 50 2.3.6 Le systèmede ra ines A 3 . . . 53 2.3.7 Le systèmede ra ines B 3 . . . 56 2.4 Correspondan ede M Kay. . . 62

3 Singularités non abéliennes en dimension trois 65 3.1 Le théorème deLooijenga . . . 66

3.1.1 Cas du systèmede ra inesA 3 . . . 66

3.1.2 Cas du systèmede ra inesB 3 . . . 67

3.1.3 Cas du systèmede ra inesC 3 . . . 67

3.2 Méthode de Jung . . . 68

3.2.1 Cas du systèmede ra inesA 3 . . . 68

3.2.2 Cas du systèmede ra inesC 3 . . . 69

3.2.3 Cas du systèmede ra inesB 3 . . . 69

3.3 Résolution par les héma de Hilbert . . . 74

4 Espa es modulaires de brés ve toriels 77 4.1 Dénitions. . . 78

4.1.1 Hilb N (A;X) . . . 78

4.1.2 La onstru tion spe trale . . . 79

4.2 Fibrés ve torielssur une ourbeelliptique . . . 81

4.2.1 Le théorème d'Atiyah . . . 81

4.2.2 Étude dubréV Z ;g asso ié àun point de Hilb N (A;E) . . . 81

4.2.3 Exemples . . . 84

4.3 Le revêtement spe traldansle asA n . . . 85

4.3.1 Fibré asso ié àl'unique S n+1 -grappe deA supportée en0 . . . 86

4.3.2 Fibré asso ié àune A n+1 -grappe deA supportée en0. . . 87

4.3.3 Cas de ladimension 3 . . . 87

4.4 Le revêtement spe traldansle asB n . . . 88

4.4.1 Fibré asso ié àlaW(B n )-grappe de Asupportée en0 . . . 89

4.4.2 Fibré asso ié àune W + -grappe de A . . . 89

5 La atégorie dérivée G-équivariante D G

(X) 91

5.1 La atégorie dérivée bornée G-équivariante . . . 92

5.1.1 Une équivalen e de atégories . . . 92

5.1.2 Cas d'unea tion libre . . . 95

5.1.3 Cas de l'a tiontriviale . . . 96

5.2 Théorème de Belinson G-équivariant . . . 98

5.2.1 Théorème de stru ture des(A-G)-modules libres gradués de type nisurune C- algèbr e graduée A detype ni . . . 99

5.2.2 Démonstration du théorème5.2.1 . . . .100

5.2.3 VersionBernstein-Gel'fand-Gel'fand . . . .104

5.3 Critèrede des ente . . . .105

5.3.1 Des ented'unG-fais eau lo alement libre . . . .105

5.3.2 Critère de des ente . . . .109

A Autour des groupesde Weyl 113 A.1 A 1 A 1 A 1 . . . .113 A.2 A 1 A 2 . . . .114 A.3 A 1 B 2 . . . .115 A.4 A 1 G 2 . . . .117 A.5 A 3 . . . .119 A.6 B 3 . . . .120 A.6.1 Identi ation deW + (B 3 ) etS 4 .. . . .120

A.6.2 Représentations irrédu tibles deW + =S 4 . . . .121

A.6.3 Diagramme deM Kay . . . .122

A.7 C 3 . . . .122

B Le as de la dimension deux 123 B.1 Terminologie . . . .123

B.2 Résolution par laméthodede Jung . . . .123

B.3 Résolution par les héma deHilbert . . . .125

C Surles singularités 127 C.1 Dénitions . . . .127

C.1.1 Singularités . . . .127

C.1.2 Résolutions . . . .128

C.2 Résolutionsen dimension deuxettrois . . . .129

À la n des années 1970, John M Kay observe qu'il existe un lien ombinatoire entrelathéoriedesreprésentationsdessous-groupesnisGdeSL

2

(C) etlessingularités anoniques de surfa e delagéométrie algébrique.

SoitG unsous-groupeni nontrivial deSL(2;C). Cegroupe appartient à l'une des familles dénombrables desgroupes y liques ou diédraux binaires, ou est l'un des trois sous-groupes ex eptionnels préservant un solide platoni ien. Il agit naturellement sur V = C

2

admettant pour seul point xe l'origine, et en dehors de e point, son a tion est libre. Le quotient C

2

=G est une variété algébrique admettant une singularité iso-lée, qui est un point double rationnel. Toutes les singularités de surfa e de type point doublerationnelsontainsiobtenues,etl'onlesnommeselonlepointdevue:singularités de points doubles rationnels, A-D-E, anoniques, de Du Val, de Klein, ou de Dynkin. D'aprèsdesrésultatsgénérauxsurlarésolution dessingularités desurfa es,ilexisteune unique (à isomorphisme près) résolution minimale, 'est à dire un morphisme de s hé-mas Y

q

-C 2

=G tel que Y est lisse, q est un isomorphisme en dehors de l'origine et toutautreY 0 q 0 -C 2

=Gayant espropriétéssefa toriseparY (voirannexe C).Notons E la bre de q au-dessus du point singulier. C'est le lieu ex eptionnel de la résolution. La singularité C

2

=Gest rationnelle, de sorte que la résolution minimale est bonne :les omposantesirrédu tiblesde Esont lissesettransverses. Onpeutluiasso ierungraphe en prenant pourensembledes sommetsIrr(E) l'ensembledes omposantes irrédu tibles deE,unearêteentredeuxsommetsreprésentantl'interse tiondes omposantes irrédu -tibles orrespondantes.

Par ailleurs,soit Irr 

(G)l'ensembledesreprésentationsirrédu tibles nontrivialesde G. On peut dénir un graphe dont les sommets sont indexés par Irr

 (G) etle nombre d'arêtesentreV i etV j

estégalàlamultipli itédeV i

dansC 2

V j

.Ondémontreque ette dénitionestsymétriqueenV

i etV

j

etonappelle egraphelediagramme deM Kaydu groupe G.

Lerésultat deM Kay([M K81 ℄)estqu'ilexisteune bije tionentre ediagramme et le grapheasso ié au diviseurex eptionnel de larésolution minimale duquotient C

2 =G. Cette bije tion est dénie à automorphisme de diagrammes près. De plus, le graphe obtenu est elui d'unsystème de ra ines A-D-E etla forme interse tion sur l'ensemble Irr(E) a pour matri e lamatri e deCartan dusystèmede ra ines omplété.

C'estGérardGonzalez-SprinbergetJean-LouisVerdierquidonnentà ejolilien om-binatoirelenomde orrespondan edeM Kay([GSV83 ℄).Ilsendonnentune onstru tion

géométrique en termes de K-théorie de larésolution minimale :à toute représentation 2Irr



(G),ilsasso ientunbréve torielF 

surlarésolutionminimaleY,desortequela première lassedeChern

1 (F



)estunélémentdelabasedePi (Y)enbije tionave les omposantes irrédu tibles du diviseurex eptionnel. Au passage, ils onstruisent un iso-morphismedegroupesentrelaK-théoriedelarésolution etlaK-théorieG-équivariante deC

2

.Cette onstru tion mèneàunereformulation des onje turesgéométriquesliéesà la orrespondan edeM KayqueMilesReidexprimetelleunslogan ommesuit([Rei02 ℄).

SoitX une variété algébrique, Gun groupe d'automorphismes de X et X=G le quotient de X par G. Soit Y une résolution des singularités de X=G. Alors la réponse à toute questionbienposée ausujet delagéométriedeY selitdansla géométrieG-équivariante deX.

Ainsi,lagénéralisationnaturelledela orrespondan edeM Kayestderempla er C 2 parune variétéX quasiproje tive omplexe lisse etGpar ungroupe d'automorphismes deX.L'uni itédelarésolution minimaleestparti ulièreàladimensiondeux.En dimen-sionsupérieure,ons'intéresseàl'existen ederésolutions répantes(voirl'annexeC).En dimension trois, les singularités quotients de Gorenstein admettent une résolution ré-pante, mais elle- i n'est pas for ément unique. En dimension supérieure à quatre, il n'existepastoujoursde résolution répante(on trouve unexemple endimension quatre dans[BS95 ℄).

Au milieu desannées 1990, les héma de HilbertG-équivariant G-Hilb(X) s'impose omme étant le andidat naturel pour résoudre les singularités du quotient X=G. Ce s héma paramètre les G-grappes de X, 'est à dire les sous-s hémas Z de dimension zéro de X qui sont G-invariants et dont l'espa e des se tions globales H

0 (Z ;O

Z ) est isomorphe à la représentation régulière C[G ℄ de G (dénition 1.4.1). Il existe un mor-phisme birationnel entre G- Hilb(X) et X=G, dit morphisme de Hilbert-Chow, qui est une résolution des singularités dans le as où le s héma de Hilbert G-équivariant est lisse.

Lorsque X est de dimension 2, le G-s héma de Hilbertde points est lisse ([Fog68℄). ItoetNakamura démontrent qu'ils'agit de larésolution minimale duquotient C

2 =G et identient labije tionentrel'ensemble Irr(E)des omposantes irrédu tibles dudiviseur ex eptionnelet elui Irr



(G) desreprésentations irrédu tibles nontrivialesde G([IN96, IN99℄). Une des dire tions de re her he dans la orrespondan e de M Kay est alors devenuelagénéralisation de e résultat en dimension supérieure.

Endimension3,Nakamura,Ito etNakajimadémontrent queleG-s hémadeHilbert estlisseetidentientla orrespondan edeM KaydanslestermesdeGonzalez-Sprinberg etVerdier dansle asoùG estun groupeabélien ([Nak01 ,IN00℄).

Finalement, 'est par une méthode homologique que Bridgeland, King et Reid dé-montrent en 1999 que dans le as de la dimension 3, le s héma G- Hilb(X) est lisse, et qu'ils'agit d'une résolution répante du quotient. Deplus, ils démontrent l'équivalen e de atégories dérivéessuivante([BKR01℄).

D(G- Hilb(X))  =D

G (X):

Cettethèses'ins ritdansle adredela orrespondan edeM Kayendimensiontrois. Onyétudieunefamilled'exemplesdequotientspardesgroupesd'automorphismes non-abéliens. Ces quotients admettent deux résolutions répantes naturelles. L'une est le G-s héma de Hilbert(qui résout les singularités d'aprèsle théorème sus ité), et l'autre est le résultat d'un pro essus de désingularisation inspiré de la méthode de Jung pour ladésingularisationdespointsdoubles rationnelsendimension deux.Cequiamotivé e travail estle désir de omprendre lelien etlesdiéren esentre esdeuxrésolutions.

Lesrésultatsobtenus permettent de on lurequelarésolution par les hémade Hil-bertG-équivariant estplusnaturelle.Eneet,elle mèneàunénon éde orrespondan e de M Kay ombinatoire (théorème2.4.2).

Audelàdel'équivalen ede atégoriesdérivéesdonnéeparlethéorèmedeBridgeland, King etReid, nousavonsdon her hé unlien dire tentreleG-s hémade Hilbertetla géométrie équivariante delavariété.Cette uriositénousamenéversunetentative d'in-terprétation de e s hémaen tant qu'espa emodulaire d'unefamille de brésve toriels ( hapitre 4).

Enn, et toujours motivée par la ompréhension du théorème de Bridgeland, King et Reid, la dernière partie de ette thèse est onsa rée à l'étude de la atégorie dérivée G-équivariante d'une variété, ave a tion d'ungroupeni.

Voi i un résumé desproblèmes qui sont traitées dans ette thèse, et les prin ipaux résultats. Certainssont nouveaux etd'autresprésentés ave une nouvelle preuve.

Chapitre 1 Lepremier hapitre est onsa réaus hémadeHilbertG-équivariant d'un s héma quasi-proje tif lisse ave a tion de G. Dans un premier temps, on y rappelle les dénitionsd'a tiond'ungroupesuruns héma, G-fais eauet ara téristique d'Euler G-équivariante.

On dénit etdémontre alors l'existen e d'uns héma de Hilbert équivariant asso ié à unpolynme dereprésentations quel onque. C'estlethéorème 1.1.6 :

Soit P G

un polynme à oe ients dans l'anneau des représentations de G. Il existe un s héma G- Hilb

P G

(n) X

paramétrant les sous-s hémas G-stables de X, admettant le polynmeP

G

pour ara téristique d'Euler G-équivariante.

Le s hémadeHilbertG-équivariantG-Hilb(X)estalors déni ommele asparti ulier de ette onstru tion où P

G

est lepolynme onstant égal à lareprésentation régulière de G. Dans le paragraphe 1.4, on énon e et on démontre des propriétés du s héma de HilbertG-équivariant.

Dansleparagraphe1.5,onproposeune onstru tion dumorphismedeHilbert-Chow Hilb n (X) -S n (X)=X n =S n

Il existe un morphisme :Hilb n (X) -S n

(X) proje tif birationnel, qui à un pointh deHilb

n

(X) orrespondantausous-s hémaZ deXasso iesonsupportave multipli ité

Z 7! X x2jZj prof(Z x )x:

Larestri tion de e morphismeauG-s hémadeHilbert onduit àladénitiondu mor-phismedeHilbert-ChowG-équivariant G- Hilb(X)



-X=G ;quiàuneG-grappeasso ie sonsupport.Dans le asoù G- Hilb(X)est lisse,est unerésolution dessingularités.

Enn,ontraitedansleparagraphe1.6le asoùlequotientX=Gestlisse.D'aprèsun théorèmedeChevalley, ela orrespondau asoùGagitlo alement ommeungroupede réexions.Ondémontrelo alement,puisglobalementquelemorphismedeHilbert-Chow estalors unisomorphisme. Ce sont lesthéorèmes 1.6.7 et1.6.9 :

Soit X une variété et G un groupe ni agissant sur X de telle sorte que le quotient X=G est lisse. AlorsG-Hilb(X) est isomorphe à X=G.

Chapitre2 Ce hapitre on ernel'étudelo aledessingularitésnon-abéliennesquinous intéressent:soitEune ourbeelliptiquemuniedesastru turedegroupe.Notonsp

0 2E l'origine.SoitRunsystèmedera ines,Q(R)leréseauengendréparRetA:=Q(R)E. Le groupe de Weyl W = W(R) agit naturellement sur A et d'après un théorème de Looijenga ([Loo76 ℄), le quotient A=W est un espa e proje tif ave poids.Par exemple, siR=A n ,alors W =S n+1 ,etA=W =EQ(R )=S n+1 =P n . Soit W + (R) = W(R)\SL n

le sous-groupe de W(R) formé des produits pairs de réexions. Si au une onfusion n'est possible, nousle noterons W

+

. Par exemple, dans le as A n , on a W + = A n+1

.On onsidère le quotient de A par W +

. Notons X R

ette variété. Elle estsingulière, et 'estun revêtement double deA=W.

Dansle asdeladimensiontrois,BertinetMarkushevi hontdémontréquel'onpeut résoudrelessingularitésdeX

R

parunevariétédeCalabi-Yaugrâ eàlaméthodedeJung ([BM94℄).Par ailleurs, d'aprèsle théorèmede Bridgeland, King etReid, le W

+

-s héma de Hilbert de A résout également es singularités de façon répante. Dans e hapitre, on dé rit les bres au-dessus de tout point par ha une de es résolutions. Soit R un système de ra ines réel de dimension trois. On s'intéresse i i à la singularité lo ale de C

3 =W

+

à l'origine. On verra dans le hapitre suivant que tous les points singuliers de A=W

+

sont de ette forme.

Le premier paragraphe est un rappel de résultats sur les revêtements doubles et la méthode de résolution deJung.

Dans le deuxième paragraphe, on résout expli itement la singularité C 3

=W +

par la méthode de Jung pour tout système de ra ines de dimension trois. En parti ulier, on démontreque laméthode de Jung s'appliquepourrésoudre ha une de essingularités, eton exhibe labreex eptionnelleau-dessus del'origine.

Dans le troisième paragraphe, on onsidère la résolution de la singularité C 3

par le W +

-s héma de Hilbert eton al ule pour tout système de ra ines de dimension trois labrede ette résolution au-dessus de lasingularité à l'origine. Pour e faire,on développe une te hnique de dé omposition de l'algèbre oinvariante C[x;y;z℄= I

W+ , où I

W +

est l'idéal engendré par les monmes W +

-invariants de degré stri tement positif. Cette méthode est expli itéeen 2.3.1.

Enn, en omparant les résultatsobtenus etles diagrammes de M Kaydes groupes de Weyl asso iés à haque systèmede ra ines, onobtient danslequatrième paragraphe une orrespondan e ombinatoire deM Kay.C'est lethéorème2.4.2 :

Soit (X;0) un germe de singularité analytiquement équivalent au quotient (C 3

;0) par un sous-groupe ni delaformeW

+

=W\SL 3

(C), oùW est legroupe deWeyl asso ié à unsystèmedera inesendimension trois.Lorsdelarésolution par leW

+

-s héma de Hilbert, le graphe dual de la bre ex eptionnelle est en bije tion ave lediagramme de M Kay du groupe W

+

privé deses bou les.

Deplus, e résultat n'est pas vérié par le s héma obtenu lors de la résolution par la méthode de Jung. Cela démontre que le s héma de Hilbert fournit une résolution plus naturelle, aumoinsdu point de vuede la orrespondan e deM Kay.

Chapitre 3 Ce troisième hapitre est le pendant global du hapitre pré édent. Soit E une ourbe elliptique, R = A

3 , B 3 ou C 3 un système de ra ines, et X R le quotient (EQ(R))=W + .

Dans un premier paragraphe, on rappelle le théorème de Looijenga,et le démontre dansles asétudiés.

Dans le deuxième paragraphe sont rappelés les résultats de Bertin et Markushe-vi h sur la résolution de X

R

par la méthode de Jung ([BM94℄). Le as B 3

est traité en détail : on dé rit la strati ation du lieu de bran hement du revêtement double A=W + (B 3 ) -P 3

et on explique omment la méthode de Jung permet de résoudre ette variétésingulière.

D'aprèslethéorèmedeBridgeland,KingetReid,leW +

(R)-s hémadeHilbertrésout également lasingularité X

R

de façon répante. Dans letroisième paragraphe,on étudie ette résolution. Grâ e aux propriétés lo ales du s héma de Hilbert démontrées au pa-ragraphe 1.4, on démontre que ette résolution oïn ide ave larésolution obtenue par la méthode de Jung en dehors d'unnombre ni de points. De plus, X

R

vérie en tout point les hypothèses du théorème 2.4.2, artout point a2A a pour stabilisateur sous l'a tion de W(R)un groupe de Weyl asso ié à unsous-système de ra ines de R.Ainsi, lesrésultatsdu hapitrepré édentpermettent d'obtenirlesbresdelarésolution deX

R par W

+

(R)- Hilb(A)en toutpoint.

Chapitre4 LethéorèmedeLoojiengaauneinterprétationentermedebrésve toriels surla ourbe elliptiqueE ([FMW97℄).C'est ladire tion empruntée dans e hapitre.

Comme dans les hapitres pré édents, E est une ourbe elliptique, R un système de ra inesetA=EQ(R).D'après Friedman, Morganet Witten,le quotient A=W = P(a

1

(voirlethéorème4.0.4).Dansles asdessystèmesdera inesR=A n

ouB n

,lequotient A=W estlisse,desorte qued'aprèslethéorème1.6.9,A=W



=W-Hilb(A).Deplus,dans es as, la famille universelle de M est expli ite, et il existe une méthode permettant d'asso ierà haqueW-grappelebré quiluiestasso ié: 'estla onstru tion spe trale.

L'idéemotivant e hapitreestd'appliquerla onstru tionspe traleauW +

-s hémade Hilbert,pouridentierlafamilledesbrésparamétréeparlesW

+

-grappesdeA,dansles asA

n etB

n

.Par omposition du morphismede Hilbert-Chow W +

-Hilb(A)

-A=W + ave le quotient A=W

+

-A=W,il existe un morphisme naturel de W +

-Hilb(A) dans W-Hilb(A)

 =

M. Le premier obje tif est don de savoir si la famille paramétrée par le W

+

-s héma de Hilbert est le tiré en arrière de la famille universelle de M ou si elle omporte des informationssupplémentaires. L'espoir était alors que es éventuelles informationss'expriment en oreen termes d'une orrespondan ede M Kay.

Danslepremierparagraphe,ondénitetdémontrel'existen edanslethéorème4.1.1 d'uns héma omme i-dessous.

Soient X et A deux s héma proje tifs lisses et N un entier. Il existe un sous-s héma ouvert Hilb

N

(A;X) de Hilb N

(AX) paramétrant les ouples (Z ;g), où Z est une N-grappe de A et g est un morphisme de Z vers X.

On dénit alors une onstru tion spe trale générale qui permet d'asso ier un bré sur X àun point (Z ;g) deHilb(A;X) lorsque X est une ourbe.

On suppose par la suite que E est une ourbe elliptique. Soit (Z ;g) un point de Hilb

N

(A;E).Onasso ieunepartition(Z ;g) =(k 1

;::: ;k r

)deN au ouple(Z ;g)(voir le paragraphe 4.2.2). On démontre alors le théorème 4.2.2 donnant la forme du bré asso ié à(Z ;g) par la onstru tion spe trale :

Soit (Z ;g) un point de Hilb N

(A;E) tel que Z est une grappe supporté en un point a2A. Soit (Z ;g) = (k

1 ;:::;k

r

) la partition asso iée à (Z ;g). Alors le bré asso ié sur E est V Z ;g =I k1 I k2 :::I kr ; oùI k

est la k-ième extensionnon-triviale du bré trivial sur E.

Enn, en utilisant les résultats du hapitre 2, on applique e théorème aux W +

-grappes de A dans les as de la dimension trois, A

3 et B

3

. On démontre ainsi par le al ul que le W

+

-s héma de Hilbert paramètre une famille de brés sur E plus ri he que elle paramétrée par W-Hilb(A). En revan he, la orrespondan e entre une grappe et le bré asso ié ne permet pas de séparer les omposantes irrédu tibles du diviseur ex eptionnel de W

+

-Hilb(A), don ontrairement à nos attentes, au un phénomène de orrespondan ede M Kayn'apparaît i i.

Chapitre 5 Le dernier hapitre est laversionlongue d'une notepubliée aux omptes rendus de l'a adémie des s ien es ([Tér03℄). Il est onsa ré à l'étude de la atégorie dérivée G-équivariante d'unevariété.

plexes bornés de G-fais eaux, ainsi que elledes omplexes bornés supérieurement. On en donne alors une des riptiondanslethéorème 5.1.2:

La atégorie dérivée G-équivariante D ;G

(X) est équivalente à la sous- atégorie pleine des omplexes formésde G-fais eaux ohérentslo alement libres sur X.

On traite alors les exemples simples où l'a tion de G est libre ou triviale sur X. En parti ulier, lorsqueG agit trivialement sur X,on démontre quela atégorie dérivée G-équivariante D

G

(X) admet une dé omposition orthogonale indexée par les représen-tations irrédu tibles de G. Onappelle omposante triviale de D

G

(X) la sous- atégorie indexée par lareprésentation triviale dans ettedé omposition.

Dans le deuxième paragraphe, on propose une version G-équivariante du théorème de Belinson(théorème 5.2.1):

Soit P n

= P(V) et A l'algèbre symétrique ou extérieure sur V. La atégorie dérivée G-équivariante deP

n

est équivalente à la atégorie des omplexes à homotopie près de (A-G)-modulesgradués,libresetdetypenidontlesgénérateurssontdedegrés ompris entre 0 etn.

Enn,l'obje tifdudernierparagrapheestd'évaluerladistan equiséparela atégorie dérivéeG-équivarianted'unevariétéXdela atégoriedérivéeduquotientX=G.Eneet, le quotient  :X

-X=G induit desfon teursentre les atégories dérivées D G

(X) et D(X=G). On dé rit exa tement l'obstru tion à la des ente au quotient d'un objet de D

G

(X). C'estlethéorème 5.3.8 :

Un omplexe E de G-fais eaux sur X se des end en un omplexe de fais eaux sur le quotient si etseulement sipourtout sous-groupe H de G,la restri tionde E au sous-s héma adhéren e des points de stabilisateur H est dans la omposante triviale de la atégorie dérivée des H-fais eaux sur e sous-s héma.

On démontre alors que lefon teur L 

:D(X=G)

-D G

(X) est pleinement dèle, de sorte qu'ilinduit uneéquivalen e de atégories entreD(X=G)etlasous atégorie pleine de D

G

(X) formée desobjetssans obstru tion àlades ente.

Enn, on luonssurl'élargissement éventueldu ontexte,etlespossibilités d'appli a-tions desrésultats de ette thèse.

Dans e travail, nous nous limitons à des résolutions de singularités en dimension trois.Dans e adre,il est onnu qu'ilexistedesrésolutions répantes, etpourlafamille traitée, nous démontrons que la résolution par le s héma de Hilbert équivariant est la résolution la plus naturelle au sens de M Kay. La question du devenir de e résultat en dimension supérieure s'impose. D'après lethéorème de Bridgeland, King etReid, le s hémadeHilbertéquivariantG-Hilb(X)résoutlessingularitésdeX=Gsileproduitbré G- Hilb(X)

X=G

G-Hilb(X) estdedimension inférieure àdim(X)+1 ([BKR01℄). Cette ondition n'est pasvériée endimension quatredèsquele morphismede Hilbert-Chow

tiondel'algèbre oinvariante, letravailfaitendimension troisdansle ontextelo alest envisageable en dimension quatre, maisil risque d'êtrefastidieux. Par exemple, dansle asdu système de ra ines A

4

, l'algèbre oinvariante estde dimension 119, etle groupe W

+ =A

5

admet 5 représentations irrédu tibles. Exhiber la dé omposition en représen-tationsirrédu tibles de ettealgèbreestdon unproblèmedethéoriedereprésentations des groupes nis. Une fois e travail a ompli, le même type de rédu tion que dans le asde la dimension trois pourrait permettre de majorer la dimension desbres. Il fau-draitmajorer ettedimensionpardeux,pourpouvoirappliquerlethéorème[BKR01 ℄,et on lurequeleW

+

-s hémadeHilbertestlisseetrésoutlasingularitédefaçon répante. Ce résultat n'est absolument pas garanti, puisque l'on sait qu'il existe des singularités endimension quatrequi n'admettent pas derésolution répante.

Pour e qui est de la résolution par le pro essus de Jung, la méthode onsiste à se ramener à la résolution de singularités en dimensions inférieures. Pour appliquer e pro essusen dimension quatre, il sut de savoir résoudre les singularités de la variété dis riminant du revêtement double; etla qualité de résolution de la variété de dimen-sion quatre dépend de la qualité de la résolution de la variété dis riminant, qui est de dimensiontrois.Silessingularitésde elle- isontobtenuesparquotient,(respe tivement par revêtement double), le s héma de Hilbert (respe tivement le pro essus de Jung en dimensiontrois)les résout,etl'onpeutappliquer lepro essus.Cependant,larésolution obtenue n'estgénéralement pas répante(voir laproposition 2.1.9).

Les atégoriesdérivéeso upentdepuisquelquesannéesune pla eimportanteen géo-métrie algébrique, que e soit dans le domaine de la résolution des singularités, de la géométrie birationnelle oude lasymétrie miroir.

Dans [BO01℄, Bondal et Orlov démontrent que l'on peut re onstruire une variété proje tive lisse dont le fais eau anonique (ou anti anonique) est ample à partir de sa atégorie dérivée. En parti ulier, si une variété lisse X a une atégorie dérivée équiva-lente à elle de P

n

, alors X est isomorphe à P n

. Ce résultat suggère l'existen e d'une démonstrationhomologique duthéorème deLoojenga, aumoins dansles asoù le quo-tient EQ(R)=W(R) est lisse. L'idée onsiste à exhiberune famille ex eptionnelle de D

W(R)

(E Q(R)) formée de omplexes sans obstru tion à la des ente et démontrer qu'elleengendrela atégoriedérivéedu quotient,vue omme sous- atégorie pleinede la atégoriedérivée W(R)-équivariante.

Le G-s héma de Hilbert

Soit G un groupe ni et X un s héma quasi-proje tif lisse sur C, dans lequel G agit dèlement. Dans toute la thèse, on appelle s héma un s héma sur C, noethérien. Le G-s héma de Hilbert de X est l'espa e de module des G-grappes de X, à savoir les sous-s hémas Z de dimensionzéro deX qui sont G-stablesetdontl'espa e desse tions globales du fais eau stru tural H

0 (Z ;O

Z

) est isomorphe à la représentation régulière C[G ℄. Ces hémaestunbon andidatàlarésolution dessingularitésduquotient X=Get joueunrleimportantdansla orrespondan edeM Kay; ommel'ontmis envaleurles travauxdeItoetNakamura ([IN99℄),ouBridgeland,KingetReid([BKR01℄).Eneet,il existeunmorphismebirationnelG- Hilb(X)

-X=G ,quiestunisomorphismeau-dessus de l'ouvert régulier de X=G (image du lieu de X sur lequel G agit librement). C'est le morphisme de Hilbert-Chow. Lorsque le G-s héma de Hilbert est lisse, e morphisme résout les singularités de X=G.

Dansles premiers paragraphesde e hapitre,on démontre l'existen edu G-s héma deHilbert,etplusgénéralementdus hémaHilb

P G

(X)paramétrisantlessous-s hémas G-stablesdeX,etadmettantlepolynmeP

G

pour ara téristique d'EulerG-équivariante. Dans le inquième paragraphe, on onstruit lemorphisme de Hilbert-Chow par une méthode delinéarisation dudéterminant.

Dans le sixième paragraphe, on traite l'exemple où G agit lo alement omme un groupederéexions surX.D'aprèsunthéorèmedeChevalleyetShephardetTodd, ela orrespondau asoùlequotientX=Gestlisse([Bou81 ℄).Ondémontrequelemorphisme de Hilbert-Chow estalors un isomorphisme.

1.1 Dénitions.

SoitX un s héma quasi-proje tif lissesur C etGun groupeni.

Dénition 1.1.1 Supposons que G agisse sur l'espa e topologique sous-ja ent à X et pour tout g 2 G, notons g le morphisme de X dans lui même induit par l'a tion de g. On ditqu'un fais eau sur X est G-linéarisé siil existe une olle tion de morphismes de

fais eaux f' g g g2G , g  F 'g -F telleque ' 1 =Idet ' fg =' f Æf  ' g :

Unmorphisme defais eaux G-linéarisésest unmorphisme defais eaux qui ommute à l'a tionde G.

Dénition 1.1.2 On dira que le groupe G agit sur le s héma X (ou que X est un G-s héma)sipourtoutg2G, ilexiste un isomorphismede s hémasg:X

-X detelle sorte que les morphismes g

# :O X -g  O X

fournissent une G-linéarisation de O X : f(g # 1 )g g2G .

Dénition 1.1.3 On dira qu'un fais eau G-linéarisé F sur le G-s héma X est un G-fais eau siil est munid'une G-linéarisation telle que le morphisme O

X F

-F est unmorphisme de G-fais eaux (pour l'a tiondiagonale sur O

X F).

Onditqu'unsouss hémaferméY deXestG-stablesiilestdéniparunG-fais eau d'idéaux, equi équivaut à direquele quotient O

Y =O X =I Y est unG-fais eau. Soit O(1) un fais eau très ample relativement à X. Comme on le démontre lors de la preuve de la proposition 1.2.4, on peut hoisir le plongement de X dans un espa e proje tif de telle sorte que O(1) soit G-linéarisé. Ainsi, pour tout sous-s héma fermé G-stableY deX,les groupesd'homologie H

i (Y;O

Y

(n))sont desreprésentationsde G. Side plus Y est propre, e sontdes représentationsde dimension nie.

Dénition 1.1.4 Soit X un G-s héma quasi-proje tif. Soit Y un sous-s héma fermé propre etG-stable deX.On dénit la ara téristique d'Euler G-équivariante deY dela façon suivante:  G (Y;O Y (n))= X ( 1) i [H i (Y;O Y (n))℄;

où[V℄ désigne la lasse dereprésentation de V. Ainsi,  G

(Y;O Y

(n))est un élément de l'anneau des représentations de G.

Dénition 1.1.5 Soit P G

unpolynme à oe ients dans l'anneau des représentations deG. Ondénit le fon teur G H ilb

P G (n) X de la façon suivante. G H ilb P G (n) X : S h ! Set

Z ! fY ,!ZX sous-s héma fermé propre et plat sur Z tel que 8s2Z ; Y s est G-stable et  G (Y;O Y (n))=P G (n):g

OnremarquequesiP =dimÆP G

,oùP G

estunpolynmeà oe ientsdansR (G), alorsG H ilb

P G

(n) X

est unsous-fon teurdu fon teur deHilbertusuel H ilb P X . Fixons désormais P

G

un polynme à oe ients dans l'anneau des représentations deGetP =dimÆP

G

1.2. ACTION DE GSUR HILB X

: 3

Théorème 1.1.6 Le fon teur G H ilb P

G (n) X

est représentable. Son représentant est la somme de ertaines omposantes onnexes de (Hilb

P X )

G

, lesous-s héma des points xes de Hilb P X .On lenotera G-Hilb P G (n) X .

Notons R (G) la représentation régulière de G. On dénit le G-s héma de Hilbert d'un G-s héma quasi-proje tif X par G- Hilb(X) =Hilb

R(G) X

,où R (G) est le polynme onstant égal à la représentation régulière. Dans le paragraphe 1.4, on donne quelques propriétés de e s héma.

Dansleparagraphe 1.5, on onstruitle morphismede Hilbert-Chow

:Hilb n X -S n (X):

Onverraquesarestri tion auG-s hémade HilbertG-Hilb(X) fa torisepar le quotient X=G.

Enn, dans le paragraphe 1.6, on traite l'exemple du W-s héma de Hilbert de A n

, pour W ungroupe de réexions.

1.2 A tion de G sur Hilb P(n) X

:

1.2.1 A tion sur un fon teur de points.

Ondémontredans eparagraphequ'ilestéquivalentde onnaîtrel'a tiond'ungroupe surun s héma ousursonfon teur de points.

Si l'a tion de G sur X est onnue, alors pour tout s héma V sur C, G agit sur Hom

S h

(V;X) de la façon suivante : 8g 2 G;f 2 Hom S h

(V;X);f
g = gÆf. Cette a tion est fon torielle arsiV

'

!W estun morphismede s hémas, alors lefon teur de pointsappliquéà 'donne Hom

S h (W;X) '  !Hom S h (V;X), quiàf asso iefÆ',eton a '  (g
f)=(gÆf)Æ'=gÆ(f Æ')=g'  (f).

Ré iproquement,sion onnaît unea tion fon toriellede Gsurle fon teurde points de X,alors enparti ulier on aune a tionde Gsur legroupeHom

S h

(X;X),d'oùpour tout g 2 G un morphisme de s héma : '

g

= g
Id :X ! X. Pour vérier qu'il s'agit d'une a tion de G sur le s héma X,il faut vérier quef'

# 1

g est une Glinéarisation de O

X

.Soient don f;g2G. onveutdémontrerque ' # 1 hg =' # 1 h Æh  ' # 1 g .Or hg
Id X = h
(g
Id X

) a tionsur Hom S h (X;X) = h
(Id X Æg
Id X ) = h
Id X Æg
Id X

arl'a tion estfon torielle, don si :X!X; alors (g
Id X )Æ=g
 = ' h Æ' g :

Cette identité au niveau des morphismes de s hémas donne bien l'identité de G-linéarisation dufais eaustru tural O .

1.2.2 A tion de G sur le fon teur H ilb P X .

Le groupe Gagit naturellement surle s héma produit ZX pour tout s héma Z, para tion diagonale, ave l'a tion donnée surX et l'a tion triviale surZ.

Ainsi, pour tout s héma Z, on obtient une a tion de G sur H ilb P X

(Z), l'ensemble dessous-s hémas fermés Y ,!ZX plats etpropres sur Z tels que8s2Z ; Y

s est G-stableet  G (Y;O Y (n)) =P G (n). En eet, si Y 2H ilb P X

(Z) a pour fais eaux d'idéaux I

Y

,alors l'image g
Y estle souss héma fermé deZ X ayant pour fais eaud'idéaux (' # g ) 1 (' g I Y ). O ZX ' # g -' g O ZX  ' g I Y Alors' gjY

estunisomorphismedes hémasentreY etg
Y,desortequ'enappliquant le ritèrevaluatif, ondémontrequeg
Y est propre:

Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9! 7        *   ' g    T P P P P P q g
Y . . . . . . . . . . . . . . 9! 3 U ? -V A A A U ?

Par ailleurs, pour tout s2 Z, (g
Y) s

a le même polynme de Hilbert que Y '

1 g

(s) , desorte queg
Y 2H ilb

P X

(Z).

Onabiendéniunea tiondegroupe, arsihetgsontdansGalors(hg)
Y estdéni par l'idéal (' # hg ) 1 (h  g  I Y )=(' # h ) 1 h  (' # g ) 1 (h  g  I Y ) et l'idéal dénissant h
(g
Y) est(' # h ) 1 ((h  I g
Y )=(' # h ) 1 h  (' # g ) 1 (h  g  I Y ),d'où(hg)
Y =h
(g
Y). Démontrons maintenant que ette a tion est fon torielle. Soit  :Z

1 !Z

2

un mor-phisme de s hémas sur C. Montrons que pour tout g 2 G le diagramme suivant est ommutatif H ilb P X (Z 2 ) ' g -H ilb P X (Z 2 ) H ilb P X (Z 1 )   ? ' g -H ilb P X (Z 1 )   ? Soitdon Y 1 2H ilb P X (Z 1 )etsoitg2G.Lemorphisme  envoitY 1 sur(Id X ) 1 (Y 1 ). Par dénition ' g =Id Z 1 g (respe tivement :' g =Id Z 2

g ), de sorte quela ommu-tativitédudiagramme équivaut àl'identité

(Id X ) 1 Æ(Id Z 2 g)(Y 1 )=(Id Z 1 g)Æ(Id X ) 1 (Y 1 )

quiest laire par dénitiondu produitbréZX.

On a ainsidéni une a tion de G sur lefon teur de points de Hilb P X

1.2. ACTION DE GSUR HILB X

: 5

1.2.3 S héma des points xes de Hilb P X .

Dénition 1.2.1 Soit X un G-s héma. Ondénit lesous-s héma des pointsxes X G

, lorsqu'il existe, par les héma représentant le fon teur

V 7!(Hom S h

(V;X)) G

:

Ainsi,le sous s héma des pointsxes deX est les héma par lequel sefa torise tous les morphismes de s hémas G-invariants.

Lemme 1.2.2 Si X est ane, alors X G

existe, et 'est unsous s héma ferméde X.

Preuve : Ondémontreque siX=Spe (A), alors lesous-s héma fermé

X G

=Spe (A=<ga a>

g2G; a2A )

onvient.SoitV uns héma.AlorsHom S h (V;X)  = (Hom Ann (A; (V;O V )),desorteque Hom S h (V;X) G  = (Hom Ann (A; (V;O V )) G .Or '2(Hom Ann (A; (V;O V )) G

() 'est onstant surles orbites de l'a tionde Gsur A

() 'fa torise par lequotient A=<ga a>

g2G;a2A :



Dénition 1.2.3 On dit qu'un G-s héma X est G-admissible si on peut le re ouvrir d'ouverts anes stables par G.

Proposition 1.2.4 SoitX unG-s hémaquasi-proje tif.AlorsilestG-admissibleetX G existe.

Preuve : Il existeunfais eauLtrès ample.Apriori,L n'estpasunG-fais eau. Posons don M =

g2G g



L. Alors M est ample et il est G-linéarisé par dénition. Or tout fais eau ample a une puissan e très ample,d'où l'existen ed'un G-fais eautrès ample. Notons leen ore M.Soit V unsous-espa eve toriel de dimension niede (X;M)tel qu'il existe une immersion X



-P(V 

). Quitte à rempla er V par P

g2G

V, on a ainsi onstruit une immersion G-équivariante de X dans un G-s héma proje tif P(V

 ). Il sut don de voir que pour toute représentation V de G, P(V) est G-admissible. Supposons que V est de dimension n ave pour système de oordonnées x

1 ;


x

n . Il alors sut de démontrer que pour tout x 2 V, il existe un polynme G-invariant f 2 k[x 1 ;


;x n ℄ G

quine s'annulepasen x.(Ainsi,x appartient à l'ouvert G-stableD(f)). Soitx2V etsoitP unpolynmenes'annulant pasenx.Étantdonnéquek[x

1 ;


;x

n ℄ estdetypenisurk[x

1 ;


;x

n ℄

G

([Bou81,théorème2.6.2℄),ladé ompositiondeP selon une basede k[x 1 ;


;x n ℄surk[x 1 ;


;x n ℄ G

fournit aumoins unpolynmeG-invariant ne s'annulant pas en x. Ainsi, on peutdénir X

G

1.3 Démonstration du théorème d'existen e

1.3.1 Dénition de G Hilb P

G X

Ladénitiondus hémaG Hilb P

G X

s'appuiesurlaversionéquivariantesuivanted'un lemmede Mumford([Mum74 , p.50℄).

Lemme 1.3.1 Soit  : X ! S un morphisme propre et plat de s hémas. Soit G un groupe ni d'automorphismes de X sur S et F un G-fais eau lo alement libre de rang ni sur X. Alors siS est onnexe, 

G (X

s ;F

s

) est onstante dans R (G).

Supposons elemmea quis.Onval'appliqueraus héma(Hilb P X )

G

,sous-s hémades pointsxes du s hémade Hilbertasso iéau polynme P.

Notons F la famille universelle de sous-s hémas de X de polynme de Hilbert P. On a don F est un sous-s héma fermé de Hilb

P X

X, propre et plat sur Hilb P X

. La restri tion au sous s héma des points xes (Hilb

P X )

G

orrespond à un hangement de base,de tellesorte quei



(F) est propreetplat sur(Hilb P X ) G . i  (F)  -(Hilb P X ) G X -Hilb P X X   F    R (Hilb P X ) G ?  i -Hilb P X ?

Soit I le fais eau d'idéaux de i  (F) dans (Hilb P X ) G

X. Pour pouvoir appliquer le lemme, il sut de démontrer que I est G-stable. C'est équivalent à démontrer que i



(F) estG-stable,et ommel'a tiondeGsur(Hilb P X )

G

esttriviale, elarevienten ore àdémontrer quepourtout s2(Hilb

P X ) G ,i  (F) s

,!X est G-stable. Orla donnéed'un point d'uns héma orrespond à la donnée d'unmorphisme d'un orps vers e s héma, d'imagelepoint.Soitdon kun orps.Alorssestl'imaged'unmorphismeappartenantà Hom S h (Spe (k);(Hilb P X ) G ) = Hom S h (Spe (k);Hilb P X ) G

, par dénition du s héma des pointsxes.Orunpoint dus hémadeHilbert orrespond,vialafamilleuniverselle F à unsous-s hémadeX.EtunpointG-invariant ommes(danslesensoùilestdonnépar unmorphismeG-invariant)donneunsous-s hémaF

s

deXquiestG-stable.Maintenant, i  (F) s =F i 1 (s) =F s

ar iest une immersion,de sorte que le raisonnement i-dessus nousdonnebien :i

 (F)

s

,!X est G-stable.

Onpeutalorsappliquer lelemme,qui ditqu'au-dessus d'une omposante onnexe S de(Hilb P X ) G , leG-polynmede Hilbert  G (O Fs

(n)) de labrede lafamille universelle est onstant. Notons alors G-Hilb

P G X

la réunion des omposantes onnexes de (Hilb P X )

G au-dessusdesquelleslepolynmedeHilbertG-équivariantestP

G ,etnotonsZ leproduit bréF (Hilb P X ) G G- Hilb P G X

.Nousallonsdémontrerquele ouple(G- Hilb P

G X

;Z)estune solutionau problèmeuniverseldu G-s héma deHilbertposédanslethéorème 1.1.6.

Soit don Z un s héma etY un sous s héma fermé de Z X,propre et plat surZ telque8s2Z,Y estG-stable etadmetP pour polynmede HilbertG-équivariant.

D'après la propriété universelle du s héma de Hilbert Hilb P X

, il existe un unique morphisme des héma f tel queY =f

 (F). f  (F)=Y  -ZX -Hilb P X X   F    R Z ?  f -Hilb P X ?

Il s'agit de démontrer que f est à but dans G- Hilb P G X . Or 8s 2 Z, Y s est G-stable, don f(s) 2 (Hilb P X ) G

, et son polynme de Hilbert G-équivariant est P G ,don f(s) 2 G- Hilb P G X

.Onadon ununiquemorphismef :Z !G- Hilb P G X tellequeY =f  (Z):On a biendémontré queG H ilb

P G

estreprésentable; sonreprésentant estG-Hilb P

G X

etla

famille universelle estZ. 

1.3.2 Démonstration du lemme 1.3.1

Lethéorèmesuivantestlaversionéquivarianted'unthéorèmedeMumford([Mum74 , p.46℄).

Théorème 1.3.2 Soit:X !S=Spe (A) unmorphisme propre des hémas,ave X proje tif dedimension n etA noethérien. Soit Gun groupe nid'automorphismes deX sur S. SoitF un G-fais eau ohérent surX, plat sur S. Alors il existe un omplexe ni

K
=0 -K 0 -K 1


-K n -0

de (A-G)-modules proje tifs de type ni tels que les deux fon teurs de la atégorie des A-algèbres dans la atégorie des représentations de Gsuivants

B -H p (X S Spe (B);F A B) B -H p (K
A B) sont isomorphes.

Preuve : Soit U un re ouvrement d'ouverts anes G-stables de X et C

le omplexe de ƒe h de F asso ié à e re ouvrement. Le G-fais eau F étant supposé plat sur S, le omplexe deƒe h C

estforméde (A-G)-modules A-plats.Pour touteA-algèbre B (sur laquelleGagittrivialement),lere ouvrementaneU

S Spe (B)=fU i  S Spe (B)gde X S

Spe (B)estG-stableetF A

B estunG-fais eauquasi- ohérentsurX S Spe (B), de sorte queC
A

B estun omplexe de ƒe h adapté pour al uler la ohomologie de F

A B.

Ondémontre qu'il existe un omplexe niK

de modules plats de types nissur A quasi-isomorphe à C

. Comme A est noethérien, es modules plats sont proje tifs. On onstruit K

par ré urren e des endante.

Hypothèse de ré urren eau rangm :Ilexiste un diagramme

K m  m K -K m+1  m+1 K -K m+2 -m  m C -m+1 m+1 ?  m+1 C -m+2 m+2 ?

-oùlesmodulesK i

sont onstruitspourtouti>metvérient8im+1;  i :K i -C i estunmorphisme de(G-A)-modules telque

1.  i C Æ i = i+1 Æ i K , 2.  i+1 K Æ i K =0, 3. les  i

induisent des isomorphismes en ohomologie pour tout p  m+2 et une surje tion ker m+1 K -(H m+1 C
), 4. les K i

sontA-libres detype nipourtout im+1.

Pour initialiserlaré urren e, onposeK p

=0pourtoutp>n.Alorsaurangm=n, leshypothèses i-dessussont vériées, puisqueH

m

(F)=0pour toutm>n=dim(X). Supposons maintenant que les hypothèses sont vériées au rang m et onstruisons (K m ; m ; m K ).D'aprèslepoint3, m+1

induitunesurje tiondeker m+1 K surH m+1 (C
). Notons B m+1

le noyau de ette surje tion. Alors B m+1

est un sous-(A-G)-module de K

m+1

et il est noethérien ar de type ni sur A noethérien. Comme l'a tion de G sur Aest triviale,on peut prolongerl'a tion de GsurB

m+1

en une a tion de Gsur L m

,le modulelibre engendrépar lesgénérateursdeB

m+1

.Onaainsiune surje tionde (A-G)-modules L m  -B m+1 . Par ailleurs, H m (C

) est également un A-module de type ni arF est ohérentsurXquiestpropresurA.Onpeutdon onstruireL

0 m -H m (C
) unesurje tion d'un(A-G)-modulelibre de Asur H

m (C
). Puis, H m (C

) étant un (A-G)-module quotient de (A-G)-morphismes, on peut re-monterlasurje tionenun(A-G)-morphisme 

0 :L 0 m -C m .PosonsK m =L m L 0 m , puis  m K : ( K m -K m+1 (x;x 0 ) -(x) et m : ( K m -C m (x;x 0 ) -(x)+ 0 (x 0 ) oùest déni ommesuit.

L m  -B m+1 K m+1  m+1 K -


-C m  ?  m C -C m+1  m+1 ?  m+1 C

-Pour tout x dans L m , (x) 2 ker ( m+1 jker( m+1 K ) ), don  m+1 Æ(L m )   m C (C m ), de

sortequ'il existe :L m -C m tel que m C Æ= m+1 Æ. Le morphisme m

est ainsi bien déni et on a  m C Æ m = m+1 Æ m C et lairement  m+1 K Æ m K =0.Par onstru tion,H m+1 (K
) -H m+1 (C
)estunisomorphisme, et m induitune surje tion

  0 deL 0 m =ker( m K ) surH m (C
). Deplus, L m etL 0 m étantlibres detype ni,K m l'estaussi. Au rang 0, les modules K

i

sont onstruits pour 0  i  n. Changeons K 0 en K 0 =(ker ( 0 K \ker ( 0

)))de sorte qu'en posant K 1 =0 onait H 0 (K
)=ker( 0 )=(ker( 0 )\ker ( 0 ))  = H 0 (C
):

AlorsK 0

estde type ni,maisil n'est plusné essairement libre. Démontrons que K 0 est plat. Notons C 0
le omplexe (C[1℄;  C ).Soit P
le ne de  :P p =K p C p 1 , p P = ( p K ; p  p C ). Alorslasuite 0 -C 0
-P
-K
-0

estexa teetdanslasuite longueinduiteen ohomologie,lemorphismede onnexionest égal au morphisme induit par  en ohomologie. On a démontré qu'il s'agit d'isomor-phismes.Ainsi, pour toutp,H

p (P

)=0, 'estàdire P

estun omplexe exa t.Orpour tout i1, P

i

est plat par onstru tion. L'exa titude de P
implique que P 0 =K 0 est plat. Comme A estsupposénoethérien, etqueK

0

estde typeni, ilest don proje tif. Onaainsi onstruitun omplexeK

de(A-G)-modulesproje tifsquasi-isomorphe à C

.Pour touteA-algèbre B,on adon ([Mum74 ℄)

H p (K
A B)  = H p (C
A B):  Findeladémonstrationdulemme: Pourtouty2S,onnoteX

y =X S Spe (k(y)) etF y

=Fk(y).Ils'agitdedémontrerque P ( 1) i [H i (X y ;F y

)℄estlo alement onstante dansl'anneau R (G). En appliquant le théorèmepré édent àF,on obtient un omplexe K
telque [H i (X y ;F y )℄=[ker( p K
k(y))℄ [im( p 1 K

k(y))℄.Puis, omme

0 -ker( p k(y))℄ -[K p k(y)℄ -[im( p k(y))℄ -0;

on a par additivité [ker ( p

k(y))℄ =[K p

k(y)℄ [im( p

k(y))℄,d'où en sommant surZ X ( 1) p [H p (X y ;F y )℄= X ( 1) p [K p k(y)℄:

On estdon ramené à démontrer que P

( 1) p

[K p

k(y)℄ estlo alement onstant pour y 2 S. Comme les on lusions sont lo ales, on peut supposer que S = Spe (A) est ane. ChaqueK

p

est une représentation linéaire de G quel'on peutdé omposer selon les représentations irrédu tibles K

p = 2Irr(G) V  A K p  , où K p  = Hom A (V  ;K p ) est proje tif( ar fa teur dire td'unlibre). Onobtient

 G (X y ;F y )= X ( 1) i dim(K i  k(y))[V  ℄;

de sorte quelelemme 1.3.1 dé oule dulemme suivant. 

Lemme 1.3.3 Un module proje tif K sur A est de ranglo alement onstant.

Preuve :SoitpunidéalpremierdeA.AlorsK p

estlibresurA p .Soite 1 ;:::e r unebase. On vadémontrer qu'au voisinage de p, lerang de K est r.Le module K étant de type ni, il a lui même un système générateur !

1 ;:::!

s

. Pour tout j 2 f1;::: ;sg, il existe g j 62 p tel que g j ! j = P  j;i e i . Posons f =  s j=1 g j et dénissons ' : A r f -K f par '(a i ) = P a i e i f

. Alors ' est surje tif, et par hypothèse, ker(') p

= 0. Don d'après le lemme de Nakayama, ker(')=0 auvoisinage de p,desorte que' estunisomorphisme

1.4 Le G-s héma de Hilbert

Dénition 1.4.1 LeG-s héma deHilbertdeX estles hémaG- Hilb(X) pré édemment noté G- Hilb

R(G) X

, oùR (G) est lepolynme onstant égal à la représentation régulière de G.

Un point du G-s héma de Hilbert est un sous-s héma Z de X de dimension 0, et de fais eau stru tural O Z tel que H 0 (Z ;O Z

) est isomorphe à R (G). On appelle un tel sous-s héma deX une G-grappe.

Lemme 1.4.2 Soit Z une G-grappe de X. Alors le support de Z est une orbite de X sous G.

Preuve : Pour Z 2G Hilb(X), omme Z estinvariant sousl'a tionde G,sonsupport onsiste en une union de G-orbites. Par ailleurs G agit trivialement sur le sous espa e ve toriel de H

0 (Z ;O

Z

) formé des fon tions onstantes sur haque orbite. Or en tant queG-module, H

0 (Z ;O

Z

) est la représentation régulière. Elle ne ontient don qu'une seule opiede la représentation triviale, e quiimplique que lesupportd'une G-grappe Z 2G Hilb(X) estréduit à uneunique orbite de X sous l'a tion deG.  Proposition 1.4.3 Soit U  X un ouvert G-stable. Alors le G-s héma de Hilbert G-Hilb(U) est un ouvert de G- Hilb(X).

Preuve : Onsait queles hémadeHilbertdenpointsd'unfermédeX estunfermé du s hémadeHilbertHilb

n

(X)([Ser86 ℄).Ainsi,G- Hilb(XnU)estunferméde G-Hilb(X). Orpar G-stabilité deU,

G- Hilb(X)=G- Hilb(XnU)tG- Hilb(U):

 Proposition 1.4.4 Si X est un produit X =X

1 X

2

, tel que G agit trivialement sur X

2

, alors G- Hilb(X)'G- Hilb(X 1

)X 2

.

Preuve : On va démontrer que les fon teurs de points sont isomorphes. Soit S un s héma, etZ un S-pointde G-Hilb(X

1 )X

2

.AlorsZ 2Hom(S;G- Hilb(X 1

)X 2

)qui pardénition estG H ilb

X 1

(S)Hom (S;X 2

), desorte que Z est un ouple

Z =  Z  i -SX 1 ; S f -X 2  : Considéronsl'appli ation Z  i 0 -SX 1 X 2

qui àz2Z asso ie(i(z);fÆp 1

(i(z))). Il s'agitd'unS-point de G Hilb(X).En eet,pour touts2S,labreZ

0 s

=Z s

ff(s)g estuneG-grappedeX.Onadon déniuneappli ationdeG H ilb

X 1 (S)Hom(S;X 2 ) dansG H ilb X (S): Ré iproquement,si Z  i

-SX estun S-point deG Hilb(X), alors on onsidère

Z  i -SX 1 X 2 p 2 -SX 2      q R q2 ?

Soits2Set(x 1 ;x 2 )2Supp(Z s )alorsla oordonnéex 2

estindépendantedupointdu support hoisi, arSupp(Z

s

) estuneorbite deGdansX etX 2

estinvariant sousG. On veutdénirunmorphismetelquel'appli ation sous-ja enteenvoiessurx

2

.Raisonnons lo alement. Soit Spe (R )  S un ouvert ane. Alors q

1

(Spe (R )) = Spe (B), où B est uneR -algèbre nie. Soit
l'image s hématique de p

2

ÆietA laR algèbre telleque q

1 2

(Spe (R ))\
= Spe (A). Étant donné que G agit trivialement sur X 2

,A est une R -algèbre ave a tion triviale de G. Ainsi, le morphisme (p

2 Æi) # A -B est à but dans B G

.Or, pour toutidéal premier p de R , B p

=m p

est la représentation régulière de G surC. Ainsi, la omposante isotypique de B relative àla représentation régulière est de dimension 1.En parti ulier, B

G

=R .Ona don lediagramme suivant.

B R  (p 2 Æi) #  A I      R q # 2 [ 6 Onendéduit queq 2

estunisomorphisme lo alentrel'image s hématique de Z etS.En parti ulier ilexisteun morphismede s hémasS

f -X 2 tel que(I S

;f) estunese tion de larestri tion de q

2

à l'image s hématique de p 2

Æi. De plus, dans le arré artésien suivant,l'isomorphismep 2 Æi(Z)  =S impliqueque p 1

Æi estune immersionfermée.

SX 1 q 1 -S p1Æi  Z  i -SX 1 X 2 p 1 6 p2 -SX 2 q 2 6 L'appli ation G H ilb X (S) -G H ilb X1 (S)Hom(S;X 2 ) déniepar  Z  i -SX 1 X 2  7 !  Z  iÆp1 -SX 1 ;S f -X 2 

est laré iproquede lapré édente,d'où l'isomorphismedesfon teursde points.  Remarque : Le lemme1.4.4 estutile pourobtenir desrésolutionslo alement produit: supposons queX =X

1 X

2

,où Gagit trivialement sur la omposante X 1

,et qu'ilest onnu queleG-s héma deHilbertrésout les singularités deX

2

.AlorsG- Hilb(X 1

)X 2 est unerésolution lo alement produitde X (voir[Joy00 ℄).

Dénition 1.4.5 Soit G un groupe ni et H un sous-groupe de G agissant sur un s héma Y. Considérons le s héma produit P = GY. Alors H agit naturellement sur P par h(g;y)=(gh

1

;hy). On peut dénir leG-s héma induit par Y omme étant le quotientde P par H. Ind

H G

(Y)=(GY)=H.

Proposition 1.4.6 Supposons que H est un sous-groupe de G agissant sur un sous-s héma Y deX detelle sorteque X =Ind

H

Preuve : I ien ore,onvadémontrerl'isomorphismedesfon teursdepoints.SoitS un s héma et Z un S-point de H-Hilb(Y). Posons Z

0 =Ind

H G

(Z). Alors pour tout s2 S, Z 0 s =Ind H G (Z s ),et ommelesupportdeZ s

estuneH-orbite, eluideZ 0 s

estuneG-orbite. Puis, O Z 0 s =O Ind H G (Zs) = g2G=H g  O Z s

de sorte que la représentation H 0 (Z 0 ;O Z 0 s

) de G est la représentation induite de la représentationH

0 (Z ;O

Zs

)=R (H)de H.Onobtientbienlareprésentation régulièrede Getona ainsidéniune appli ation de H H ilb

Y

vers G H ilb X

. Ré iproquement,soitZ unS-pointdeG-Hilb(X).OndénitZ

0

=Z\(SY).Soit s2S. Comme Y est stable par H, H

0 (Z 0 ;Z 0 s

) est une représentation de H,et omme X = Ind H G (Y), la représentation H 0 (Z s ;O Zs

) est la représentation induite de H à G de H 0 (Z 0 ;Z 0 s

). Ainsi, pour tout s 2 S, Z 0 s

est une H-grappe, de sorte que Z 0

est un S-pointdeH-Hilb(Y)etonadéniuneappli ation ré iproqueàlapré édente,don les fon teursdepointsde G- Hilb(X) etH-Hilb(Y) sont isomorphes. 

1.5 Constru tion du morphisme de Hilbert-Chow

Dans e paragraphe, on utilise la méthode de linéarisation du déterminant pour onstruire le morphisme de Hilbert-Chow  : Hilb

N (X) -S n (X) . Le résultat de li-néarisationdudéterminant estlargement inspiréde Iversen ([Ive70 ℄). L'appli ationà la onstru tion dumorphisme deHilbert-Chow semble en revan he inédite.

1.5.1 Linéarisation du déterminant

Proposition 1.5.1 Soit A un anneau ommutatif et n un entier. Il existe un unique morphisme d'anneaux ldet:(M n (A) n ) S n -A

telque ldet(a:::a)=det(a).

Preuve : On note e r;s

la matri e élémentaire nulle partout saufen ligne r et olonne s. Comme M n (A) =  1r;sn e r;s A, le produit tensoriel M n (A) n

est engendré par les e r 1 ;s 1 :::e rn;sn ,pour 1r i ;s i n. Soient f et g des éléments de T

n

(ensemble des appli ations de N dans lui même). NotonsE f;g =e f(1);g(1) :::e f(n);g(n) .AlorsM n (A) n = (f;g)2T 2 n E f;g A.Legroupe sy-métriqueS n

agitnaturellementsurM n

(A) n

viasona tionsurT 2 n :
E f;g =E 
(f;g) = E f 1 ;g 1.

Lemme 1.5.2 L'algèbre des invariants est donnée par

(M n (A) n ) Sn = (f;g)2T 2 n =S n E f;g A; oùE f;g = P (f 0 ;g 0 )(f;g)mod S n E f 0 ;g 0.

Pour toute appli ation f 2T n

ondénit "(f) ommeétant égaleà lasignaturede f sif 2S etnullesinon.

Lemme 1.5.3 Posons ldet(E f;g

) ="(f)"(g). Cette formule dénit ldet omme mor-phisme d'anneaux de(M n (A) n ) Sn dans A. Preuve : Il sut dedémontrer

ldet(E f;g E h;k )="(f)"(g)"(h)"(k) =ldet(E f;g )ldet(E h;k ): Soient f;g;h;k 2 T n . Remarquons que E f;g E h;k = Æ g;h E f;k , où Æ g;h =  n i=1 g(i)h(i). Ainsi, E f;g E h;k = X (f 0 ;g 0 )2Sn(f;g) X (h 0 ;k 0 )2Sn(h;k) Æ g 0 ;h 0E f 0 ;k 0 :

Cette somme étant dans (M n (A) n ) S n

, 'est lairement une ombinaison linéaire de E

f;k

,pour  2S n

, de sorte quele déterminant linéarisé de E f;g

E h;k

estnul dès que f ouk n'est pasbije tive.Dans e as, on abien l'identité her hée.

Supposons maintenant que f et k sont bije tives. Alors l'orbite de (f;g) est libre, ainsique ellede(h;k). Ona don

E f;g E h;k = X 2Sn;2Sn Æ g 1 ;h 1E f 1 ;k 1: Or Æ g 1 ;h 1 =Æ g;h 1  ,don en posant  0 = 1 ,on a E f;g E h;k = X 2S n X  0 2S n Æ g;h 0 1E f 1 ;k 0 1  1 = X 2S n Æ g;h 1E f;k 1:

Commelasignatureestmultipli ative,E f;k 1 ="(f)"(k)"(),etilresteà démon-trer que P 2Snjg=h

"()="(g)"(h). Sigeth nesont pasdanslamême orbitemodulo S

n

,alorsgouhn'estpasinversible,etl'égalitéestvériée.Siilexiste 0

telqueg 0

=h, alors on her he la somme S =

P g

0 =g

"(). Si g est inversible, h également et ette sommeestréduiteàunélément :onaS ="(

0

)="(g)"(h).Sinon,xonsietj ayant la mêmeimageparg.Alorslapermutation(ij)é hangelespermutationspairesetimpaires vériant g =h. Lasomme S est don nulle etl'égalitéest en orevériée. 

Reste à voir que pour tout a 2 M n

(A), on a ldet(a:::a) = det(a). Soit a = P

a i;j

e i;j

ladé ompositionde adanslabase anoniquedeM n (A).Alorsaa:::a= P a i1;j1 :::a in;jn e i1;j1 :::e in;jn . Notons a f;g =  n i=1 a f(i);g(i) . Pour tout  2 S n , a 
(f;g) = a f;g

, de sorte que l'on a aa:::a = P (f;g)2T 2 n =Sn a f;g E f;g , et ldet(a a:::a)= P (f;g)2T 2 n =Sn a f;g

"(f)"(g).Lesfa teurstelsquef etgnesontpasinversibles étant nuls, onobtient

ldet(aa:::a)= X g2Sn a 1;g "(g)= X g2Sn "(g) n i=1 a i;g(i) =det(a):

Enn, l'uni ité provient de lamultilinéaritédu produittensoriel.Soientldet etldet 0

vé-riantlespropriétésrequises.Notons =ldet ldet

0 .Soita=a 1 :::a n 2M n (A) (n) A . Alorsendéveloppant ( P n i=1 a i t i ::: P n i=1 a i t i

)=0,onobtientunpolynme homo-gène dedegré nen t

1 ;:::;t

n

dont le oe ient dumonme  n i=1

t i

Remarque : :on démontre fa ilement que siA est de ara téristique nulle, laformule suivante dénit ledéterminant linéarisé :

ldet(a 1 a 2 :::a n ) = 1=n! P 2Sn det(a 1 (1);:::a n (n)) = 1=n! P 2Sn "()det (a 1 ( 1 );:::a n ( n )); oùa j

(i) est lai-ième olonnede a j

.

1.5.2 Appli ation géométrique

Soit A un anneau ommutatif et B une A-algèbre libre de dimension n. L'identi- ation anonique End

A

(B) ' M n

(A) induit un morphisme d'anneaux End A (B) (n) = (End A (B) n ) S n ldet

-A: Si l'on ompose ave le morphisme induit par le morphisme naturel b!h

b

de B dansEnd A

(B),on obtient le orollaire suivant.

Proposition 1.5.4 Ilexisteunmorphismed'anneauxB (n) A

lNm

-Aditnormelinéarisée, telque pour tout b2B, lNm(b:::b)=det(h

b ).

La dénition de lanorme linéarisée estindépendante de la base hoisie pour B.En eet, soit ' un hangement de bases. Pour tout f 2 End

A (B) (n) , on a ldet('f' 1 ) = ldet(f),par uni ité delalinéarisation dudéterminant.  Lemme 1.5.5 Si B est un produit d'algèbres B = B

1 B 2 ave dim(B 1 ) = n 1 et dim(B 2 ) = n 2 , alors B (n) A =  p+q=n B (p) 1 B (q) 2

et lNm fa torise par la proje tion sur B (n 1 ) 1 B (n 2 ) 2 : B (n) A lNm -A    R B (n 1 ) 1 B (n 2 ) 2 lNm1lNm2 6 Preuve : SiB =B 1 B 2 ,alors B n = p+q=n B p 1 B q 2

etilest lairque lorsqu'on prendlesinvariants sousl'a tion de S

n ,onobtient B (n) = p+q=n B (p) 1 B (q) 2 . Pour démontrerquelemorphismelNm:B

(n)

-k fa toriseparleproduitlNm 1 lNm 2 :B (n 1 ) 1 B (n 2 ) 2

-k,utilisonslaformuledu déterminant linéarisé. Soitb=b 1 :::b p b 0 1 :::b 0 q 2B (p) 1 B (q) 2 .Soit(e 1 ;:::e n 1 )unebasedeB 1 et (e n1+1 ;:::;e n ) unebase de B 2 .Alors ((e 1 ;1);:::(e n1 ;1);(1;e n1+1 );:::;(1;e n )) estune k-basede B.Notons h b i

lamatri e représentant l'appli ation multipli ation par b i

dans ettebase. Alors

lNm(b)= 1 n! X 2Sn "()det 0  olonne (1) deh b 1 ;:::; olonne (p) deh b p ; olonne (p+1) deh b 0 1 ;:::; olonne (n) deh b 0 q 1 A Orsib i 2B 1 ,lamatri eh b i

estunematri eparblo delaforme   0 0 0  ,etsib 0 j 2B 2 , alorsh b 0 j =  0 0  ,de sorte quesip6=n 1 etq6=n 2

est nul. Par ailleurs, sip=n 1

etq=n 2

,alors lanorme linéarisée deb est

lNm(b)= 1 n! X 12Sn 1 ;22Sn 2 "()det 0  olonne  1 (1) deh b 1 ;:::; olonne  1 (n 1 ) deh bn 1 ; olonne  2 (1) deh b 0 1 ;:::; olonne  2 (n 2 ) deh b 0 n 2 1 A = 1 n! X  1 2S n 1 ; 2 2S n 2 "( 1 )det 0  olonne  1 (1) deh b 1 ;:::; olonne  1 (n 1 ) deh bn 1 1 A  "( 2 )det 0  olonne  2 (1) deh b 0 1 ;:::; olonne  2 (n 2 ) deh b 0 n 2 1 A Finalement, on obtient lNm(b)= n 1 !n 2 ! n! lNm(b 1 :::b n 1 ) lNm(b 0 1 :::b 0 n2 ):  SoitZ

-H un morphisme nide rang n. La onstru tion lo ale i-avant étant fon torielle,onpeutre ollerlesmorphismesdénissurdesouvertsanesetonobtientun morphisme H -(Z  H ::: H Z)=S n

,se tion du morphismenaturel de S n H (Z) = (Z H ::: H Z)=S n

dansH.Ave H=Hilb n

(X)etZ lafamilleuniverselle,onobtient le résultatsuivant.

Théorème 1.5.6 Il existe un morphisme  : Hilb n

(X)

-S n

(X) proje tif, dit mor-phisme de Hilbert-Chow qui à un point h 2Hilb

N

(X) orrespondant au sous-s héma Z de X asso ieson support ave multipli ité

Z 7! X x2jZj prof(Z x )x:

De plus,le morphisme deHilbert-Chow est un isomorphisme au dessus del'ouvert om-plémentaire à la grosse diagonale de S

n (X). Preuve :Ave la onstru tion i-avant, ommeZ

 -XHilb n (X),onobtientpar omposition :Hilb n (X) -S n Hilb n (X) (Z)  -S n (X)Hilb n (X) -S n (X)

Remarquons queest la omposé d'unmorphismenietde lapremière proje tion de S n (X)Hilb n (X)sur S n

(X). Les héma deHilbertétant proje tif, esmorphismes le sontégalement don estproje tif.

Soit h 2Hilb n

(X). Pour montrer que (h) est le y ledéni par le supportde Z h ave multipli ité, onva faireune ré urren e surle ardinalde e support.

Supposons queSupp(Z h

)estréduit àunpointx2X.Pardénitionfa torise par S

n n

S n Hilb n (X) (Z) p -Hilb n (X) .CommeZ h

estdesupportréduità unpoint x,labredep au-dessusde h estl'image du n-uplet(x;:::;x)lors du quotient

Z h  Hilb n (X) ::: Hilb n (X) Z h -S n Hilb n (X) (Z h ): Ainsi, (h)=nx= X x2jZ h j prof(Z hx )x:

Supposons maintenant que le résultat est démontré pour tout h tel que Supp(Z h

) a un support de ardinal inférieur à k, et soit h 2 Hilb

n

(X) un point orrespondant à une grappe de support de ardinal k. Notons Z

h = Z = Z 1 tZ 2 , où Z 1 et Z 2 sont disjoints. Au voisinage de h, le support de Z

h

est de ardinal k, et il existe un ouvert aneU =Spe (A)de Hilb

n (X) telque Zj U =Spe (B 1 B 2 ); oùB 1 etB 2

sontdesA-algèbresdetypesnis.D'aprèslelemme1.5.5,Larestri tionàU dumorphismefa torise parS

n (Spe (B 1 ))[S n (Spe (B 2 )).Enappliquantl'hypothèse deré urren e à  1 et 2

,onobtient lerésultat voulu. SoitU l'ouvertdeHilb

n

(X)ré iproquedeS n

(X)r
,où
estladiagonaleépaissie. Soith2U.AlorslesupportdeZ

h

estde ardinaln:Supp(Z h )=fx 1 ;:::x n g;etlabre du morphismeZ  Hilb n (X) ::: Hilb n (X) Z -Hilb n

(X) au-dessus de h est l'orbite de (x 1 ;:::x n ) sousl'a tionde S n

.Enparti ulier, elleestde ardinaln.SoitU h

=Spe (A) un voisinage ouvert ane de h et p  A l'idéal premier orrespondant au point h. Soit B l'algèbre nie sur A telle que Zj

U h

= Spe (B). Alors il existe un morphisme

surje tifA m

-B.Soit C sonnoyau.D'après l'hypothèse, lalo alisationen p donne B p =m p =(A p =m p ) n ,de sorte quem=netC p=m P

=0.D'après lelemme deNakayama, ilexiste unouvert aneA

(f) telque B (f) =A n (f) . Supposons maintenant que U

h

est hoisi assez petit pour que B = A n

. D'après le lemme1.5.5,la normelinéarisée fa torise parle produittensorielA

n =A: (A:::A) (n) lNm -A    R A:::A lNm1:::lNm2 6 OrsiB =A,lanorme linéariséeA lNm

-Aestl'identité,de sorteque B (n) A lNm -A est l'identité.

Onadémontréqueestunisomorphismeauvoisinagede haquepointdel'ouvertU omplémentaire à lagrossediagonale. Commeilest bije tifsur etouvert,larestri tion  est unisomorphisme entre U etS

n

1.5.3 Le morphisme de Hilbert-Chow G-équivariant

SoitZ G-Hilb(X)X lafamille universelle duG-s héma deHilbert.Considérons le quotient Z

-Z=GG- Hilb(X)X=G . Chaque G-grappe Z est envoyée sur un pointdelongueurundansX=G, arl'algèbredesinvariantsdelareprésentationrégulière est dedimension un.On dénitainsiun morphisme

G- Hilb(X) 

-X=G :

Dénition 1.5.7  est lemorphisme deHilbert-Chow G-équivariant.

Proposition 1.5.8 Le morphisme de Hilbert-Chow G-équivariant est en ensembliste-ment la restri tiondu morphisme de Hilbert-Chow au s héma G-Hilb(X).

Preuve : Pour Z 2 G- Hilb(X), on a vu que le support de Z est une orbite de X sous l'a tion de G (lemme 1.4.2). Ainsi, la restri tion du morphisme de Hilbert-Chow à G-Hilb(X) envoit une grappe Z dont le support ontient x sur

P y2Gx #(G x )[y℄ = P g2G [gx℄2S n (X) G .Orl'imagedumorphismeX  -S n (X)envoyantxsur P g2G [gx℄ estune omposanteirrédu tibledus hémadespointsxesS

n (X) G delavariétédeChow S n

(X) quiest enbije tion ave X=G. 

Au-dessus de l'ouvert densede X=G image par  de l'ensemble despointsde stabi-lisateur trivial, et ontenu dansl'ouvert des pointsréguliers de X=G, le morphisme de Hilbert-Chow estun isomorphisme. Ainsi, si G- Hilb(X) est lisse, onnexe etde dimen-sion égale à ellede X,alors :G-Hilb(X)

-X=G estune résolution dessingularités de X.

1.6 Cas des groupes engendré par des réexions. Variations autour du théorème de Chevalley

1.6.1 Notations

Dénition 1.6.1 Soit V un espa e ve toriel omplexe de dimension nie. On appelle réexion deV toutautomorphisme linéaire gd'ordre nitel que 1 g soit derang1.Un groupe deréexions deV est un groupe ni engendré par des réexionsde V.

Parexemple,siRestunsystèmedera inesréeletQleréseauengendrépar R,legroupe deWeylW(R)estungroupederéexionssurQC.NotonsS =C[x

1 ;:::;x

n

℄l'algèbre symétrique sur V. Le groupe W agit alors naturellement sur S et sur le s héma ane A

n

=Spe (S). Notons R =S W

l'algèbre des polynmes invariants sous l'a tion de W. AlorsA

n

=W =Spe (R ).

Dénition 1.6.2 Pour toutgroupe Gagissant sur S,on notera I G

l'idéal engendré par les polynmes invariantssous G s'annulant en0 etS

G =S=I

G

lequotient par et idéal. Cette algèbre S est appelée algèbre oinvariante deS pourl'a tion de G.