inscrit

Universit´e Claude Bernard–Lyon I CAPES de Math´ematiques : Oral Ann´ee 2006–2007

Th´ eor` eme de l’angle inscrit, etc.

0^◦ Pr´erequis

On se place dans un plan affine orient´e P.

• angles de vecteurs, de droites ; relation de Chasles ;¹

• effet d’une sym´etrie axiale sur un angle de vecteurs, ou, ce qui est ´equivalent, le fait que les angles non principaux d’un triangle isoc`ele sont ´egaux (modulo orientation convenable) ;

• caract´erisation d’un demi-plan par une in´equation lin´eaire ;

• orientation d’une base par le signe du d´eterminant dans une base de r´ef´erence dite directe.

Remarque : la notation (−−→ AB,−−→

CD) d´esignera l’angle des vecteurs −−→

AB et−−→

CD, sauf dans 2^◦(b), o`u elle d´esignera la base.²

1^◦ Th´eor`eme de l’angle inscrit (a) Angle inscrit

Th´eor`eme Soit C un cercle de centre O, A et B deux points distincts de C, T un point distinct de A sur la tangente `a C en A. Alors :

(i) pour M ∈ C \ {A, B}, on a : 2(−−→

M A,−−→

M B) = (−→

OA,−−→

OB) mod [2π] ; (ii) (−→

OA,−−→

OB) = 2(−→

AT ,−−→

AB) mod [2π].

D´emonstration.(i) On a : (−→

OA,−−→

OB) = (−→

OA,−−→

M A) + (−−→

M A,−−→

M B) + (−−→

M B,−−→

OB) mod [2π]. Or, vu que les triangles OAM et OBM sont isoc`eles, on a : (−→

OA,−−→

M A) = −(−−→

OM ,−−→

AM ) mod [2π]

et (−−→

M B,−−→

OB) = −(−−→

BM,−−→

OM ) mod [2π]. Une nouvelle application de la relation de Chasles donne (i).

(ii) Soit I le milieu de [AB]. Comme (OI) est la bissectrice de (−→

OA,−−→

OB), on peut ´ecrire : (−→

OA,−−→

OB) = 2(−→

OA,−→

OI) = 2(−→

OA,−→

AT ) + 2(−→

AT ,−−→

AB) + 2(−−→

AB,−→

OI) mod [2π].

En remarquant que les angles (−→

OA,−→

AT ) et (−−→ AB,−→

OI) sont droits, on obtient : 2(−→

OA,−→

AT ) + 2(−−→

AB,−→

OI) = επ + ε^′π = 0 mod [2π], pour ε, ε^′ ∈ {−1, 1} convenables. On peut conclure.

Remarque (a) Etant donn´e un angle α, l’ensemble des points T 6= A tels que (−→

AT ,−−→ AB) = α mod [2π] est une droite passant par A priv´ee de A. C’est (AB) si et seulement si α = 0 mod [π]. Ainsi, la relation (ii) caract´erise la tangente `a C en A.

(b) Inversement, ´etant donn´e deux points distincts A et B et une droite T contenant A et distincte de (AB), il existe un unique cercle C passant par A et B et tangent `a T .

Unicit´e : son centre est unique, car c’est l’intersection de la perpendiculaire `a T passant par A et de la m´ediatrice de [AB].

Existence : l’hypoth`ese T 6= (AB) entraˆıne que la perpendiculaire `a T n’est pas parall`ele `a la m´ediatrice de [AB] : ces droites se coupent en un point O, et le cercle de centre O et de rayon OA convient.

Cette remarque est la cl´e de la r´eciproque (ii)⇒(i) du th´eor`eme de cocyclicit´e ci-dessous.

1On peut se passer de mesures des angles si on remplace “α∈ R” par “α un angle fix´e”, “´egalit´e modulo 2π”

par “´egalit´e d’angles de vecteurs”, etc.

2Ce n’est pas tr`es heureux, mais j’ai la flemme de rajouter des chapeaux `a tous les angles.

(b) Cocyclicit´e

Il s’agit essentiellement de d´emontrer une r´eciproque au th´eor`eme pr´ec´edent.

Th´eor`eme Soit A, B, C, D quatre points distincts. Il est ´equivalent de dire : (i) A, B, C, D sont cocycliques ou align´es ;

(ii) (−→

CA,−−→

CB) = (−−→

DA,−−→

DB) mod [π].

Remarque La formulation “cocylicique ou align´es” me semble pr´ef´erable `a mettre “non align´es” dans les hypoth`eses (voir compl´ements).

D´emonstration. (i)⇒(ii) : Si les points sont align´es, l’´egalit´e des angles est ´evidente. Sup- posons les quatre points sur un mˆeme cercle C de centre O. D’apr`es le th´eor`eme de l’angle inscrit, que l’on applique deux fois, on a :

2(−→

CA,−−→

CB) = (−→

OA,−−→

OB) = 2(−−→

DA,−−→

DB) mod [2π].

(ii)⇒(i) : Inversement, supposons (ii) satisfaite et les quatre points non align´es. On peut affirmer que A, B et C ne sont pas align´es, sinon, d’apr`es (ii), D serait sur la mˆeme droite. De mˆeme, A, B et D ne sont pas align´es.

Soit alors C₁ (resp. C₂) le cercle circonscrit au triangle ABC (resp. ABD) et O₁ (resp. O₂) son centre. On veut montrer que C₁= C₂, ce qui entraˆınera la cocyclicit´e de A, B, C, D.

Soit Ti un point de la tangente `a Ci en A, distinct de A (i = 1, 2). D’apr`es le th´eor`eme de l’angle inscrit, on a : (−−→

AT₁,−−→

AB) = (−→

CA,−−→

CB) mod [π] et (−−→

AT₂,−−→

AB) = (−−→

DA,−−→

DB) mod [π], ce qui prouve que A, T₁ et T₂ sont align´es. Les cercles C₁ et C₂ ont une tangente commune et deux points communs, donc ils sont ´egaux (remarque (b) ci-dessus).

2^◦ Arcs capables modulo π et 2π (a) Modulo π.

Proposition Soit A, B deux points distincts et α ∈ R. On note Γ =n

M ∈ P \ {A, B}, (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [π]o . (i) Si α = 0 mod [π], alors Γ = (AB) \ {A, B} ;

(ii) Si α 6= 0 mod [π], alors Γ est le cercle C passant par A et B et tangent `a (AT ) (priv´e des points A et B), o`u T est un point distinct de A tel que (−→

AT ,−−→

AB) = α mod [π].

Remarque L’existence et l’unicit´e du cercle C a ´et´e vue dans la remarque (b) de 1^◦(a).

D´emonstration. (ii) Pour M ∈ C \ {A, B}, on a par le th´eor`eme de 1^◦(a) : (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [π].

Inversement, fixons M0∈ C \{A, B}, un “point de r´ef´erence”. Pour M ∈ Γ, on a : (−−→

M A,−−→

M B) = α = (−−−→

M₀A,−−−→

M₀B) mod [π], ce qui montre que A, B, M₀ et M sont cocycliques, i.e. que M ∈ C.

(b) Interlude : demi-plans

Dans le plan euclidien orient´e P, on fixe deux points distincts A et B. La droite (AB) d´elimite deux demi-plans que l’on veut reconnaˆıtre en termes d’angles. Il semble difficile de se passer d’un peu d’alg`ebre lin´eaire si on ne veut pas pipoter.³

Lemme Soit M ∈ P \ (AB). Les conditions suivantes sont ´equivalentes, et caract´erisent l’appartenance de M `a l’un des demi-plans de fronti`ere (AB) :

(i) la base (−−→ AB,−−→

AM ) est directe ; (ii) la base (−−→

M A,−−→

M B) est directe.

3Je suis preneur d’une d´emonstration qui ne parle ni de coordonn´ees, ni de trigonom´etrie...

Remarque Rappelons qu’une orientation est le choix d’une base (−→ı , −→ ) du plan vectoriel

−

→P . Alors, une base (u, v) de −→

P est directe SSI det₍−→ı,−→)(u, v) > 0 SSI det

(−→

ı^′,−→^′)(u, v) > 0 pour toute autre base directe (−→

ı^′,−→

^′).

En termes d’angles, la base (u, v) est directe SSI la mesure principale de l’angle (u, v) est comprise entre 0 et π ; ceci est encore ´equivalent `a la positivit´e du sinus de l’angle (u, v).

Cependant, on veut se passer des mesures d’angles et de la fonction sin.

D´emonstration. Fixons un rep`ere (orthogonal) direct (A,−−→

AB, −→ ) de P. Notons  x y

 les coordonn´ees de M dans ce rep`ere. On calcule les coordonn´ees des vecteurs −−→

AB, −−→

AM , −−→

M A et

−−→M B dans ce rep`ere :

−−→ AB

 1 0



, −−→

AM

 x y



, −−→

M A

 −x

−y



, −−→

M B

 1 − x

−y

 . Ainsi :

(i) ⇐⇒ det

 1 x 0 y



> 0 ⇐⇒ y > 0 ⇐⇒ det

 −x 1 − x

−y −y



> 0 ⇐⇒ (ii).

On doit pouvoir passer le lemme suivant sous silence :

Lemme Soit A, B, M , M^′ quatre points, M /∈ (AB). Si (−−→ AB,−−→

AM ) = α mod [2π], et si (−−→

AB,−−→

AM^′) = α + π mod [2π] ou (−−→ AB,−−→

AM^′) = −α mod [2π], alors M et M^′ sont dans des demi-plans de fronti`ere (AB) diff´erents.

D´emonstration. Consid´erons l’image de la demi-droite [AM ) par la sym´etrie de centre A (resp. d’axe (AB)) : elle contient M^′ et elle est contenue dans l’autre demi-plan que M . (c) Modulo 2π.

Proposition Soit A, B deux points distincts et α ∈ R. On note Γ^′=n

M ∈ P \ {A, B}, (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [2π]o . (i) Si α = 0 mod [2π], alors Γ^′ = (AB) \ [A, B] ;

(ii) Si α = π mod [2π], alors Γ^′ = [AB] \ {A, B} ;

(iii) Soit α 6= 0 mod [π], et C le cercle passant par A et B et tangent `a (AT ), o`u T est un point distinct de A tel que (−→

AT ,−−→

AB) = α mod [2π]. Alors Γ^′ est l’intersection de C et du demi-plan ouvert de fronti`ere (AB) ne contenant pas T .

D´emonstration. (iii) Soit M ∈ Γ^′. On a : (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [π], donc M ∈ C. D’autre part, M est dans le mˆeme demi-plan que tout point T^′ tel que (−−→

AB,−−→

AT^′) = α mod [2π] (premier lemme de l’interlude), donc dans l’autre demi-plan que T (deuxi`eme lemme de l’interlude).

Inversement, supposons que M soit dans l’autre demi-plan que T et que M ∈ C. Alors, on a : (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [2π] ou (−−→

M A,−−→

M B) = α + π mod [2π].

Sachant que (−−→ AB,−→

AT ) = −α mod [2π], M est dans le mˆeme demi-plan que T^′′ tel que (−−→

AB,−−→

AT^′′) = α mod [2π] (deuxi`eme lemme de l’interlude). Donc (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [2π], ce qui montre que M ∈ Γ^′.

3^◦ Compl´ements

(a) Faisceaux de cercles

Soit A 6= B. Consid´erons la famille form´ee d’une droite et des cercles (priv´es de A et B) Γα = {M ∈ P \ {A, B}, (−−→

M A,−−→

M B) = α mod [π]}, (α ∈ [0, π[).

Cette famille est l’ensemble des lignes de niveaux de la fonction M 7→ (−−→

M A,−−→

M B) mod [π].

Elle r´ealise donc une partition de P \ {A, B}, on l’appelle faisceau de cercles `a points-bases.

Il est int´eressant de mettre famille en rapport avec l’ensemble des lignes de niveau de la fonction M 7→_{M B}^{M A} (M ∈ P \{A, B}). En effet, on sait que les lignes de niveau de cette fonction forment une famille de cercles `a laquelle il faut ajouter la m´ediatrice de [AB].

La propri´et´e remarquable est que si on prend une ligne dans chaque famille, elles se coupent en deux points o`u leurs tangentes respectives sont orthogonales (cf. ci-dessous).

A

B

−→

M (m) 7−→ M^′ m − a m − b

 (b) Birapport, homographies et inversions

On identifie le plan P au plan complexe C. Pour P ∈ P, on notera p ∈ C son affixe. Remarquons que la mesure de l’angle (−−→

M A,−−→

M B) mod [2π] est un argument du nombre complexe^m−a_m−b. Etant donn´e quatre points distincts A, B, C, D, on d´efinit leur birapport

[a, b, c, d] = c − a

c − b

/

Le th´eor`eme de cocyclicit´e s’´enonce alors ainsi : quatre points sont cocycliques ou align´es si et seulement si le birapport (de leurs affixes) est r´eel. Ceci incite `a introduire la classe des

“cercles-droites” : une partie de P est un cercle-droite si c’est un cercle ou une droite...

Consid´erons alors une homographie⁴ h : m 7→ ^αm+β_γm+δ, o`u α, β, γ, δ ∈ R sont tels que αδ −βγ 6= 0.

Or, on v´erifie facilement que le birapport est invariant par une homographie : [a, b, c, d] = [h(a), h(b), h(c), h(d)]. On en d´eduit imm´ediatement que l’image d’un cercle-droite par une homographie est un cercle-droite.

Application : par l’homographie m 7→ ^m−a_m−b, les lignes de niveau de M 7→ (−−→

M A,−−→

M B) et M 7→ _{M B}^{M A} s’envoient respectivement sur les droites passant par l’origine et les cercles centr´es en l’origine, lesquels se coupent `a angle droit. Comme elle est holomorphe (sa diff´erentielle est une similitude), l’homographie r´eciproque z 7→ <sup>zb−a</sup><sub>z−1</sub> envoie donc ces droites et ces cercles sur des cercles qui se coupent `a angle droit !

Consid´erons `a pr´esent une inversion de centre Ω et de rapport k 6= 0 : `a M on associe le point M^′ ∈ (ΩM ) tel que ΩM^′ΩM = k. On v´erifie que m^′ = ω + ^k

m−ω . Par suite : l’image d’un cercle droite par une inversion est un cercle-droite. Ca peut ˆetre utile...

4On d´efinit h : C∪ {∞} → C ∪ {∞}, en posant naturellement ^αm+β_γm+δ =∞ si m = −_γ^δ et ^α∞+β_γ∞+δ =^α_γ.

4^◦ Applications plus standards (a) Sym´etrique de l’orthocentre

Le sym´etrique de l’orthocentre d’un triangle non aplati par rapport `a un cˆot´e appartient au cercle circonscrit. La figure explique le calcul suivant :

(−−→

H^′B,−−→

H^′C) = −(−−→

HB,−−→

HC) mod [π]

= −(−−→

HB^′,−−→

HC^′) mod [π]

= −(−−→

AB^′,−−→

AC^′) mod [π]

= −(−→

AC,−−→

AB) mod [π]

= (−−→ AB,−→

AC) mod [π].2

A

B C

C^′ B^′

H

H^′ (b) Droites de Simpson et Steiner

(c) Coordonn´ees polaires (source : M´egamaths)

On fixe un rep`ere orthonorm´e (O, i, j). On cherche une formule pour exprimer les coordonn´ees polaires d’un point M , ayant pour coordonn´ees cart´esiennes (x, y). Bien sˆur, ρ =p

x²+ y² ne pose pas de probl`eme. Si x > 0, on a : θ = arctan(y/x). Mais pour x = −1 et y = 1, par exemple, cette formule donnera θ = −π/4, alors qu’on voudrait θ = 3π/4.

Rappelons qu’il n’existe pas de fonction continue (x, y) 7→ θ d´efinie sur le plan priv´e seulement de l’origine (cf. analyse complexe : pas de logarithme holomorphe sur C^∗). Ici, on donne une formule pour M hors de la demi-droite y = 0, x ≤ 0.

−ρ K

M

O i j

On a : θ = (i,−−→

OM ) = 2(i,−−→

KM ) mod [2π] par le th´eor`eme de l’angle inscrit. Comme l’abscisse de−−→

KM est x+ρ ≥ 0, la mesure principale α de (i,−−→

KM ) est comprise entre −π/2 et π/2, d’o`u : α = arctan tan α.

Par suite :

θ = 2 arctan y

x + ρ = 2 arctan y x +p

x²+ y². (d) Un exercice classique

Deux cercles se coupent en A et B, deux droites contiennent respectivement A et B, on note les autres intersections P , P^′, Q, Q^′ comme sur la figure. Alors (P Q)  (P^′Q^′).

Si, par exemple, P = Q, on remplace (P Q) par la tangente en P .

A

B P

Q P^′

Q^′

P

A

B

P^′

Q^′ D´emonstration. On veut montrer que l’angle (−−→

P Q,−−→

P^′Q^′) est plat. On a :

(−−→

P Q,−−→

P^′Q^′) = (−−→

P Q,−→

P A) + (−→

P A,−−→

P^′A)

| {z }

=0 mod [π] !

+(−−→

P^′A,−−→

P^′Q^′) mod [π] (bˆete Chasles)

= (−−→

BQ,−−→

BA) + (−−→ BA,−−→

BQ^′) mod [π] (cocyclicit´e, deux fois)

= 0 mod [π] (Chasles et alignement).2

5^◦ Configuration de Miquel

(a) On donne 4 droites du plan en position g´en´erale : deux d’entre elles ne sont jamais confon- dues, trois d’entre elles ne sont jamais concourantes. En les prenant 2 par 2, elles d´efinissent

4 2

= 6 points d’intersection. En prenant les droites 3 par 3, on d´efinit ⁴₃

= 4 triangles⁵ : les 4 cercles circonscrits `a ces triangles sont concourants.

(b) On nomme.

Proposition Soit ∆₁, ∆₂, ∆₃, ∆₄ des droites en position g´en´erale. Pour i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, distincts, on note A_ij l’intersection de ∆_i et ∆_j. Pour i, j, k ∈ {1, 2, 3, 4}, tous distincts, on note Γijk le cercle circonscrit au triangle AijAjkAik.

Alors, les quatre cercles Γ₂₃₄, Γ₁₃₄, Γ₁₂₄ et Γ₁₂₃ sont concourants.

Le point de concours de ces quatre cercles est souvent appel´e point de Miquel du quadrilat`ere complet A12A13A14A23A24A34.

AAAU

123

124

234

K

23 12 24

13 14

34

D´emonstration.On choisit deux cercles, par exemple Γ₁₂₃et Γ₁₂₄. Ils ont un point commun, A₁₂, donc ils en ont un deuxi`eme, qu’on appelle K. Par sym´etrie entre les symboles 1 et 2 dans les donn´ees, il suffit de montrer que K appartient `a Γ₂₃₄.

Id´ee Le cercle Γ234 contient les deux points A23 et A24, qui appartiennent aussi aux deux cercles s´electionn´es au d´ebut. On va montrer que (−−−→

KA23,−−−→

KA24) = −−−−→

A34A23,−−−−→

A34A24). Pour cela, il est naturel d’introduire−−−→

KA₁₂, car A₁₂ appartient aux deux cercles Γ₁₂₃ et Γ₁₂₄.

(−−−→

KA23,−−→

K24) = (−−−→

KA23,−−−→

KA12) + (−−−→

KA12,−−→

K24) (Chasles)

= (−−−−→

A₁₃A₂₃,−−−−→

A₁₃A₁₂) + (−−−→

KA₁₂,−−→

K₂₄) (A₂₃, A₁₂, K, A₁₃∈ Γ₁₂₃)

= (−−−−→

A₁₃A₂₃,−−−−→

A₁₃A₁₂) + (−−−−→

A₁₄A₁₂,−−−−→

A₁₄A₂₄) (A₁₂, A₂₄, K, A₁₄∈ Γ₁₂₄)

= (−−−−→

A₁₃A₂₃,−−−−→

A₁₄A₂₄) (A₁₂, A₁₃, A₁₄ align´es)

= (−−−−→

A₃₄A₂₃,−−−−→

A₃₄A₂₄) (A₁₃, A₂₃, A₃₄ et A₁₄, A₂₄, A₃₄ align´es) (c) Variante de cette construction : au lieu de partir de 4 droites, on part de 4 cercles qui concourent en un point. On suppose que les intersections de 2 cercles sont bien d´efinies. La conclusion est la mˆeme. C’est en fait la mˆeme construction, car une inversion ayant pour centre le point de concours des 4 cercles, les transforme en 4 droites en position g´en´erale.

5Ces triangles ne peuvent pas ˆetre aplatis : pourquoi ?