/U sers/joseph/Documents/LaT eX/beamer/base/beamerbaseoptions.sty, v47431932db0d2013/03/1009 :

(1)

Header :

/U sers/joseph/Documents/LaT eX/beamer/base/beamerbasedecode.sty, vef a082c6111d2010/05/0111 : 27 : 03rivanvx

Header :

/U sers/joseph/Documents/LaT eX/beamer/base/beamerbaseoptions.sty, v47431932db0d2013/03/1009 :

24 : 31joseph

(2)

Au cœur de l’isochronie

Alicia Simon-Petit, Jérôme Perez, Guillaume Duval

9 Aout 2018

(3)

Réference

2018, Communication in Mathematical Physics,

(4)

Systèmes autogravitants L’isochronie en 3D La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler Dynamique autogravitante

Sommaire

Systèmes autogravitants

L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone

La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

(5)

Sommaire

Systèmes autogravitants

L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

(6)

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r −∇ψ ·

∂ f

∂ v = 0

• Fonction de distribution f (r,v,t) .

• Potentiel gravitationnel :

ψ = −G ·





 G ^∗

Z f d v

| {z }

densité, ρ







⇔ ∆ψ = 4πG Z

f d v

• Sans collisions car généralement T _dyn T _col

(7)

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r

− ∇ψ ·

∂ f

∂ v = 0

• Fonction de distribution f (r,v,t) .

• Potentiel gravitationnel :

ψ = −G ·





 G ^∗

Z f d v

| {z }

densité, ρ







⇔ ∆ψ = 4πG Z

f d v

• Sans collisions car généralement T dyn T col

(8)

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r

− ∇ ψ ·

∂ f

∂ v = 0

• Fonction de distribution f (r,v,t) .

• Potentiel gravitationnel :

ψ = −G ·





 G ^∗

Z f d v

| {z }

densité, ρ







⇔ ∆ψ = 4πG Z

f d v

• Sans collisions car généralement T dyn T col

(9)

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r

− ∇ ψ ·

∂ f

∂ v = 0

• Fonction de distribution f (r,v,t) .

• Potentiel gravitationnel :

ψ = −G ·





 G ^∗

Z f d v







⇔ ∆ψ = 4πG Z

f d v

(10)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ?

(11)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

(12)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ?

1. A partir des observations : en supposant une relation

masse-luminosité ν ∝ ρ et en résolvant l’équation de Poisson

∆ψ = ρ .

2. A partir de considérations théoriques...

(13)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ?

1. A partir des observations : en supposant une relation

(14)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ? ∆ψ = ρ avec

• ρ = cst = ⇒ ψ ha (r) = 1 2 ω ² r ² ,

• ρ = “δ(r ₀ )”M = ⇒ ψ _ke (r) = − GM

r ^,

(15)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ? ∆ψ = ρ avec 1

• ρ = “δ(r ₀ )”M = ⇒ ψ _ke (r) = − GM

r ^,

(16)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ? ∆ψ = ρ avec

• ρ = cst = ⇒ ψ _ha (r) = 1 2 ω ² r ² ,

• ρ = “δ(r ₀ )”M = ⇒ ψ _ke (r) = − GM

r ^,

(17)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ? ∆ψ = ρ avec

1 2π

F

(18)

Amas globulaires

NGC362 — Source : Hubble

Comment déterminer ψ ? ∆ψ = ρ avec

• ρ = cst = ⇒ ψ _ha (r) = 1

2 ω ² r ² , T = 2π ω

F

• ρ = “δ(r 0 )”M = ⇒ ψ ke (r) = − GM

r ^, T ² ∝ a ³ ∝ |E| ⁻³ : 3 ^eme loi de K.

F

(19)

Sommaire

Systèmes autogravitants L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

(20)

Potentiels isochrones

L’énergie :

E = mξ = 1 2 m

"

d r d t

2 + Λ ² 2r ²

# + mψ

fournit l’équation du mouvement radial dans le plan orbital fixé par Λ : 1

2 d r

d t 2

+ Λ ²

2r ² − (ξ − ψ) = 0 (M)

• Pour un potentiel donné, ψ , l’ensemble des orbites périodiques est donné par

Θ _ψ =

(ξ, Λ) ∈ R ² , t.q. r(·) soit périodique et solution de (M) .

• Si (ξ,Λ) ∈ Θ ψ , alors la période τ r (ξ,Λ) = 2

Z r

_max

r

_min

d r q

2 (ξ − ψ(r)) − ^Λ

²

r

²

< ∞.

(21)

Potentiels isochrones

l’équation du mouvement radial dans le plan orbital fixé par Λ : 1

2 d r

d t 2

+ Λ ²

2r ² − (ξ − ψ) = 0 (M)

• Pour un potentiel donné, ψ , l’ensemble des orbites périodiques est donné par

Θ _ψ =

(ξ, Λ) ∈ R ² , t.q. r(·) soit périodique et solution de (M) .

• Si (ξ,Λ) ∈ Θ _ψ , alors la période

τ r (ξ,Λ) = 2 Z r

_max

r

_min

d r q

2 (ξ − ψ(r)) − ^Λ _r

₂²

< ∞.

(22)

Potentiels isochrones

l’équation du mouvement radial dans le plan orbital fixé par Λ : 1

2 d r

d t 2

+ Λ ²

2r ² − (ξ − ψ) = 0 (M)

• Pour un potentiel donné, ψ , l’ensemble des orbites périodiques est donné par

Θ _ψ =

(ξ, Λ) ∈ R ² , t.q. r(·) soit périodique et solution de (M) .

• Si (ξ,Λ) ∈ Θ _ψ , alors la période

τ r (ξ,Λ) = 2 Z r

_max

r

_min

d r q

2 (ξ − ψ(r)) − ^Λ _r

₂²

< ∞.

(23)

Potentiels isochrones

l’équation du mouvement radial dans le plan orbital fixé par Λ : 1

2 d r

d t 2

+ Λ ²

2r ² − (ξ − ψ) = 0 (M)

• Pour un potentiel donné, ψ , l’ensemble des orbites périodiques est donné par

Θ _ψ =

(ξ, Λ) ∈ R ² , t.q. r(·) soit périodique et solution de (M) .

• Si (ξ,Λ) ∈ Θ _ψ , alors la période

r d r

(24)

Potentiels isochrones

l’équation du mouvement radial dans le plan orbital fixé par Λ : 1

2 d r

d t 2

+ Λ ²

2r ² − (ξ − ψ) = 0 (M)

• Pour un potentiel donné, ψ , l’ensemble des orbites périodiques est donné par

Θ _ψ =

(ξ, Λ) ∈ R ² , t.q. r(·) soit périodique et solution de (M) .

• Si (ξ,Λ) ∈ Θ _ψ , alors la période

τ r (ξ,Λ) = 2 Z r

max

r

_min

d r q

2 (ξ − ψ(r)) − ^Λ

²

r

²

< ∞.

Chercher un potentiel isochrone :

Trouver tous les ψ(r) , t.q. Θ ψ 6= 0 / et ∀ (ξ,Λ) ∈ Θ ψ ,τ r (ξ, Λ) ≡ τ r (ξ) .

(25)

La propriété géométrique de l’isochronie

Idée : r

ψ

→

x = 2r ² Y(x) = x ψ(x)

,

1 2

dr dt

2 = ξ − Λ ²

2r ² − ψ (r) . (M)

ξ x − Λ ² 1

ξ x − Λ ² 0

(26)

La propriété géométrique de l’isochronie

Idée : r

ψ

→

x = 2r ² Y(x) = x ψ(x)

,

1 16

dx dt

2 = ξ x − Λ ² − Y (x) . (M)

ξ x − Λ ² 1

ξ x − Λ ² 0

(27)

La propriété géométrique de l’isochronie

Idée : r

ψ

→

x = 2r ² Y(x) = x ψ(x)

,

1 16

dx dt

2 = ξ x − Λ ² − Y (x) . (M)

ξ x − Λ ² 1

ξ x − Λ ² 0

(28)

Les paraboles isochrones

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) . (M)

(29)

Les paraboles isochrones

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) . (M)

(30)

Les paraboles isochrones

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) . (M)

(31)

Les paraboles isochrones

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) . (M)

(32)

Les paraboles isochrones

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) . (M)

(33)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = x ψ(x)

Modifier l’énergie : ξ → ξ + α peut être absorbé par ψ → ψ − α

i.e. appliquer une transvection à la parabole

(34)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = x ψ(x)

Modifier l’énergie : ξ → ξ + α peut être absorbé par ψ → ψ − α

i.e. appliquer une transvection à la parabole

x ⁰ y ⁰

=

1 0 α 1

x y

(35)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = x ψ(x)

Modifier l’énergie : ξ → ξ + α peut être absorbé par ψ → ψ − α

i.e. appliquer une transvection à la parabole

(36)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = x ψ(x)

Modifier l’énergie : ξ → ξ + α peut être absorbé par ψ → ψ − α

i.e. appliquer une transvection à la parabole

x ⁰ y ⁰

=

1 0 α 1

x y

(37)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = xψ(x)

Modifier le moment cinétique : Λ ² → Λ ² + β

peut être absorbé par Y → Y − β

(38)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = xψ(x)

Modifier le moment cinétique : Λ ² → Λ ² + β

peut être absorbé par Y → Y − β

i.e. appliquer une translation à la parabole

(39)

Changer ξ ou Λ

1 16

dx dt

2 = ξx − Λ ² − Y (x) .

Y(x) = xψ(x)

Modifier le moment cinétique : Λ ² → Λ ² + β

peut être absorbé par Y → Y − β

(40)

Classification des isochrones

(41)

Classification des isochrones

(42)

Classification des isochrones

(43)

Classification des isochrones

(44)

Classification des isochrones

Théorème

Il existe 4 familles de potentiels isochrones ψ _ke , ψ _ha , ψ _he et ψ _bo .

Tout potentiel isochrone est dans l’orbite de l’un de ces potentiels sous

l’action du groupe A = {α − transvections ,β − translations } .

(45)

Classification des isochrones

Théorème

Il existe 4 familles de potentiels isochrones ψ _ke , ψ _ha , ψ _he et ψ _bo . Tout potentiel isochrone est dans l’orbite de l’un de ces potentiels sous l’action du groupe A = {α − transvections ,β − translations } .

Ãbo

0 r

¹ 2b

¹ b

b

¹ (1+ 2 )bd¡

¡ Ã

0

1

½ha

½bo

½ke log(½=½0)

½0= 3¹ 16¼Gb³ 1

2

¡

(46)

Sommaire

Systèmes autogravitants L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

(47)

De l’harmonique au Keplerien...

(48)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

H ha = 1 2

p ² _q + p ² _θ

q ²

+ 1 2 ω ² q ²

| {z }

ψ

ha

(q)=

¹₂

ω

²

q

²

(49)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

H ha = 1 2

p ² _q + p ² _θ

q ²

+ 1 2 ω ² q ²

| {z }

ψ

ha

(q)=

¹₂

ω

²

q

²

Transformation canonique :

(q,θ,p q , p _θ ) → (x, θ, p x ,p _θ )

∂x ∂x

(50)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

H ha = 1 2

p ² _q + p ² _θ

q ²

+ 1 2 ω ² q ²

| {z }

ψ

ha

(q)=

¹₂

ω

²

q

²

Transformation canonique :

(q,θ,p q , p _θ ) → (x, θ, p x ,p _θ )

avec

∂x

∂q

∂x

∂p _q

∂p _x

∂q

∂p _x

∂p q

= 1, si x = q ²

` ^alors p _x = ` · p q

2q ^ainsi

H ha = 4x

` 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

+ ω ² ` ²

8 .

(51)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

ψ _ha (q) = 1 2 ω ² q ² Transformation canonique :

H ha = 4x

` 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

+ ω ² ` ²

8 Kepler

ψ _ke (r) = − µ r

H ke = 1

2 p ² _r + p ² _ϕ r ²

!

− µ

r

(52)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

ψ _ha (q) = 1 2 ω ² q ² Transformation canonique :

H ha = 4x

` 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

+ ω ² ` ²

8 Kepler

ψ _ke (r) = − µ r

H ke = 1

2 p ² _r + p ² _ϕ r ²

!

− µ r

que l’on récrit sous la forme

− ω ² ` ² 8 = 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

!

− ` H ha

4x et en posant H ^ke ⁼ ⁻ ^ω

2 ` ²

8 p ϕ = p θ

2 µ = ` H ha

4

(53)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

ψ _ha (q) = 1 2 ω ² q ²

H ha = 4x

` 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

+ ω ² ` ²

8 Kepler

ψ ke (r) = − µ r

H ke = 1

2 p ² _r + p ² _ϕ r ²

!

− µ r

F Kepler

Orbit

Mha

Mke

'= 2 '

(54)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

ψ _ha (q) = 1 2 ω ² q ²

H ha = 4x

` 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

+ ω ² ` ²

8 Kepler

ψ ke (r) = − µ r

H ke = 1

2 p ² _r + p ² _ϕ r ²

!

− µ r

F

Harmonic Orbit Kepler

Orbit

Mha

Mke

'= 2

'

alias Goursat, Darboux, Levi-Civita, Transformation de Bohlin ( z 7→ 1

2 z ² ),

etc.

(55)

De l’harmonique au Keplerien...

Harmonique

ψ _ha (q) = 1 2 ω ² q ²

H ha = 4x

` 1

2 p ² _x + p ² _θ 4x ²

+ ω ² ` ²

8 Kepler

ψ ke (r) = − µ r

H ke = 1

2 p ² _r + p ² _ϕ r ²

!

− µ r

F Kepler

Orbit

Mha

Mke

'= 2 '

alias Goursat, Darboux, Levi-Civita, Transformation de Bohlin ( z 7→ 1

2 z ² ),

etc.

(56)

Les Bolsts

Echange partiel ξx ↔ Y(x) qui préserve l’isochronie ?

(57)

Les Bolsts

Echange partiel ξx ↔ Y(x) qui préserve l’isochronie ? 1

16 dx

dt 2

+ Λ ² = ξx − Y (x), 1 16

dx ⁰ dt ⁰

2 + Λ ⁰ 2

= ξ ⁰ x ⁰ − Y ⁰ x ⁰ .

Echange linéaire entre ξx et y :

ξx − y = ξ ⁰ x ⁰ − y ⁰ ,

(58)

Les Bolsts

Echange partiel ξx ↔ Y(x) qui préserve l’isochronie ? 1

16 dx

dt 2

+ Λ ² = ξx − Y (x), 1 16

dx ⁰ dt ⁰

2 + Λ ⁰ 2

= ξ ⁰ x ⁰ − Y ⁰ x ⁰ .

Echange linéaire entre ξx et y : ξ ⁰ x ⁰

y ⁰

= · ·

· ·

ξx y

(59)

Les Bolsts

Echange partiel ξx ↔ Y(x) qui préserve l’isochronie ? 1

16 dx

dt 2

+ Λ ² = ξx − Y (x), 1 16

dx ⁰ dt ⁰

2 + Λ ⁰ 2

= ξ ⁰ x ⁰ − Y ⁰ x ⁰ .

Echange linéaire entre ξx et y : ξ ⁰ x ⁰

y ⁰

=

0 −1

−1 0

ξx y

(60)

Les Bolsts

Echange partiel ξx ↔ Y(x) qui préserve l’isochronie ? 1

16 dx

dt 2

+ Λ ² = ξx − Y (x), 1 16

dx ⁰ dt ⁰

2 + Λ ⁰ 2

= ξ ⁰ x ⁰ − Y ⁰ x ⁰ .

Echange linéaire entre ξx et y : ξ ⁰ x ⁰

y ⁰

=

α β α − 1 β + 1

| {z }

B

_α,β

ξx y

(61)

Les Bolsts

Théorème

Quand αβξ ⁰ 6= 0 , l’image d’une PRO keplerienne par B _α,β est une orbite isochrone telle que

χ = pα |ξ|

µβ

r ⁰ 2

= αξr ² − µβr ξ ⁰ , ϕ ⁰ (ϕ) = ϕ

2 + √ ^χ

(1+χ)

²

−e

²

arctan q

1+χ−e 1+χ+e tan

ϕ 2

.

r⁰

(62)

Les i Bolsts

Echange partiel entre ξx ↔ Y (x) qui préserve l’isochronie ? 1

16 dx

dt 2

+ Λ ² = ξx − Y (x) , 1 16

dx ⁰ dt ⁰

2 + Λ ⁰ 2

= ξ ⁰ x ⁰ −Y ⁰ x ⁰

Echange symétrique entre ξx et y : ξ ⁰ x ⁰

y ⁰

= 1 2

γ + 1 γ − 1 γ − 1 γ + 1

| {z }

B

_γ

ξx y

,

où B _γ est inversible ⇔ γ = α + β 6= 0 .

(63)

Le groupe des i Bolst kepleriens

Proposition

Tout potentiel isochrone est dans l’orbite du potentiel keplerien sous l’action du groupe des iBolst B =

B _γ ,γ ∈ R ^∗ .

(64)

i Bolsts

La représentation additive de B ^{s’écrit :}

B _χ = e ^χ

cosh (χ) sinh (χ) sinh (χ) cosh (χ)

quand γ > 0,

avec γ = e ^2χ .

(65)

L’action des i Bolsts

±

± i

j

±

u v

b

±

=

¹

2

· ° + 1

° ¡ 1

¸

=

¹

2

· ° ¡ 1

° + 1

¸

¡

R R

¡ 1 < ° < 0 j

i u v

j

i v

j

i u

v

° > 1

0 < ° < 1 l

k

O O

O

(66)

L’action des i Bolsts

y

O i ^{j j} ^{» x}

j

(67)

L’action des i Bolsts

y

O i ^{j j} ^{» x}

P

j

(68)

L’action des i Bolsts

¢ y

i ^{j j} ^{» x}

P

j

1

¢

°

O

(69)

L’action des i Bolsts

±

± y

⁰

y

i u

j j » x j j » x

⁰

P

00

j v

0

¢

°

O

tan δ =

γ + 1

γ − 1

(70)

L’action des i Bolsts

±

¢ y

⁰

y

i u

j j » x j j » x

⁰

P

⁰⁰

j v

0

1

¢

°

O

(71)

L’action des i Bolsts

±

± y

⁰

y

i u

j j » x j j » x

⁰

P

⁰⁰

j v

0

¢

°

¢

O

(72)

L’action des i Bolsts

±

¢ y

⁰

y

i u

j j » x j j » x

⁰

P

⁰⁰

j v

0

1

¢

°

¢

O

(73)

L’action des i Bolsts

±

± y

⁰

y

i u

j j » x j j » x

⁰

P

⁰⁰

j v

0

¢

°

¢

⁰

O

Λ ⁰ = p

|γ|Λ

(74)

L’action des i Bolsts

±

¢ y

⁰

y

i u

j j » x j j » x

⁰

P

⁰⁰

j v

0

1

¢

°

¢

⁰

O

(75)

Référentiels propres

Définition

Le référentiel propre d’une parabole P êst ^(O,t,n) ôù T Ô ⁽ P ^{) =} R t est

la tangente à P en l’origine O et S ⁽ P ^{) =} ^Rn son axe de symétrie.

(76)

Etre ou ne pas être isochrone...

Théorème

Une orbite est isochrone ⇔ Elle est l’image par un iBolst d’une orbite keplerienne.

y0

K

H O y

j j»

±

P

¢

¢ x

K0

K_l⁰ K_l

00 0

P A P

A

0 0

y0

y

TO(P) T^O(P⁰) ( ⁰)

OP T

TO(P)

i u

O j j» x

j j» x⁰ P P⁰⁰

j k v

l

S(P) S(P⁰)

0

j j» x⁰ ⁰

(77)

i Bolsts . . .

Considérons k = 1

√

2 (i − j) et l = 1

√

2 (i+ j) les deux vecteurs propres de l’ iBolst B _γ tels que

B _γ (k) = k et B _γ (l) = γ l.

Dans le système de coordonnées affine (w ₁ = ξx,w ₂ = y) et en posant w ⁰ = B _γ (w) , on a

ξ ⁰ x ⁰ − y ⁰ = ξx − y

ξ ⁰ x ⁰ + y ⁰ = γ (ξx + y) = ⇒ ξ ⁰ x ⁰ 2

− y ⁰² = γ h

(ξx) ² − y ² i

.

(78)

Relativité isochrone vs Relativité restreinte

• Principe de relativité restreinte d’Einstein : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens ;

• La longueur de l’intervalle d’espacetemps c ² dt ² − x ² est

conservée dans un changement de référentiel galiléen.

(79)

Relativité isochrone vs Relativité restreinte

• Principe de relativité isochrone : les équations du mouvement sont les mêmes dans tous les référentiels propres ;

• La longueur de l’"intervalle isochrone", ξx − y , est conservée

dans tout changement de référentiel.

(80)

Relativité isochrone vs Relativité restreinte

Principe de relativité isochrone

Dans le référentiel canonique R O , avec le temps propre dτ = ξdt , une orbite keplerienne (ξ,Λ ² ) décrite par les coordonnées affines (ξx,y) vérifie

1 16

d dτ (w|i)

2 = (w|i− j) + (w _Λ |j) avec w _Λ = −Λ ² j .

Dans le référentiel bolsté R O ⁰ avec les coordonnées affines (ξ ⁰ x ⁰ ,y ⁰ ) et le temps propre dτ ⁰ = ξ ⁰ dt ⁰ , l’orbite bolstée vérifie

1 16

d

dτ ⁰ w ⁰ |u 2

= w ⁰ |u − v

+ w ⁰ _Λ |v

avec w ⁰ _Λ = −Λ ² v .

(81)

Sommaire

Systèmes autogravitants L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

(82)

La 3 ^eme loi de Kepler

J. Kepler, Harmonices Mundi, 1619

(83)

La 3 ^eme loi de Kepler

J. Kepler, Harmonices Mundi, 1619

(84)

La 3 ^eme loi de Kepler

(85)

Demi grand axe isochrone

Pour ψ _ke (r) = − µ

r , le demi-grand axe est a = r _a + r _p 2 ^. Pour ψ he (r) = − µ

b + √

b ² + r ² ^{, on pose} a =

p b ² + r _a ² + q b ² + r _p ²

2 ^.

Pour ψ bo (r) = µ b + √

b ² − r ² , on définit a =

p b ² − r ² _a + q b ² − r ² _p

2 ^.

Pour ψ ^R _ha , une boule homogène de rayon R , on pose a = 1

2 2/3

R .

(86)

La 3 ^eme loi de Kepler des isochrones

Théorème

Pour toute orbite périodique dans un potentiel isochrone , le carré de la période radiale est proportionnel au cube du demi grand axe isochrone :

τ ² _r = 4π ² µ a ³

où µ est le paramètre de masse dans ψ _ke , ψ _he , ψ _bo ou µ = ω ² R ³ dans

ψ ^R _ha .

(87)

Sommaire

Systèmes autogravitants L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

(88)

Analyse de la densité de masse

10^-1 10⁰ 10¹

10^-2 10^-1 10⁰

-4

H i K k

H K

i k

½

r=R50

=

½

⁰

H : Sphère de Hénon (t=100Td), i : Modèle isochrone théorique (b=0.36), K : Modèle de King numérique, k : Modèle de King théorique (W₀=9).

(89)

Analyse de la densité de masse

10^-1 10⁰

-4

H i K k

½

₌

½

0

H : Sphère de Hénon (t=100Td), i : Modèle isochrone théorique (b=0.36), K : Modèle de King numérique,

(90)

Analyse isochrone d’une sphère de Hénon effondrée

-1 0 1

0 1 2 3

x = log (a) y = log (¿ )

y = 1:50x +1 :66

(91)

Analyse isochrone d’une sphère de Hénon effondrée

1 2 3

x = log (a) y = log (¿ )

y = 1:50x +1:66

Isochrone !

τ ² ∝ a ³

(92)

Analyse isochrone d’un modèle de King

7 6 5 4 3

-1 0 1 2

x = log ( a ) y = 1:13x +4:36

y = log (¿ )

(93)

Analyse isochrone d’un modèle de King

7 6 5 4

3 y = 1:13x +4:36 = log ( ) y = log (¿ )

Non isochrone !

(94)

Conclusion

• Caractérisation géométrique de l’ensemble des potentiels isochrones ;

• Generalisation de la transformation de Bohlin : (ξ _iso , ψ _iso ) ↔ ^B

^γ

(ξ _ke ,ψ _ke )

• Relativité isochrone : Tout isochrone est keplerien dans son référentiel propre.

• Conséquences :

• generalisation de la 3 ^eme loi de Kepler ;

• compréhension fine du théorème de Bertrand.

• Le résultat de la relaxation violente est isochrone.

(95)

References

Alicia Simon-Petit, Jérôme Perez, Guillaume Duval. Isochrony in 3D radial potentials. In : Communication in Mathematical Physics.

(Accepted, preprint : https ://arxiv.org/abs/1804.11282).

Alicia Simon-Petit, Jérôme Perez, Guillaume Plum. A global

paradigm for the evolution of self-gravitating systems. Submitted.

(96)

Merci pour votre attention !

r

F

r

Kepler Primary Orbit

Isochrone Bolsted Orbit '

'

0

/U sers/joseph/Documents/LaT eX/beamer/base/beamerbaseoptions.sty, v47431932db0d2013/03/1009 :

Header :

/U sers/joseph/Documents/LaT eX/beamer/base/beamerbasedecode.sty, vef a082c6111d2010/05/0111 : 27 : 03rivanvx

Header :

/U sers/joseph/Documents/LaT eX/beamer/base/beamerbaseoptions.sty, v47431932db0d2013/03/1009 :

24 : 31joseph

Au cœur de l’isochronie

Alicia Simon-Petit, Jérôme Perez, Guillaume Duval

9 Aout 2018

Réference

2018, Communication in Mathematical Physics,

Sommaire

Systèmes autogravitants

L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone

La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

Sommaire

Systèmes autogravitants

L’isochronie en 3D

La théorie de la relativité isochrone La loi de Kepler

Dynamique autogravitante

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r −∇ψ ·

∂ f

∂ v = 0

• Fonction de distribution f (r,v,t) .

• Potentiel gravitationnel :

ψ = −G ·







 G ∗

Z f d v

| {z }

densité, ρ









⇔ ∆ψ = 4πG Z

f d v

• Sans collisions car généralement T dyn T col

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r

− ∇ψ ·

∂ f

∂ v = 0

• Fonction de distribution f (r,v,t) .

• Potentiel gravitationnel :

ψ = −G ·







 G ∗

Z f d v

| {z }

densité, ρ









⇔ ∆ψ = 4πG Z

f d v

• Sans collisions car généralement T dyn T col

Dynamique Gravitationelle

Equation de Boltzmann sans collision :

∂ f

∂ t + v ·

∂ f

∂ r

− ∇ ψ ·

 G ^∗

• Sans collisions car généralement T _dyn T _col

 G ^∗

 G ^∗

 G ^∗

• ρ = cst = ⇒ ψ ha (r) = 1 2 ω ² r ² ,

• ρ = “δ(r ₀ )”M = ⇒ ψ _ke (r) = − GM

r ^,

• ρ = “δ(r ₀ )”M = ⇒ ψ _ke (r) = − GM

r ^,