MP* 2020-2021 : DM1
Consignes pour les DM
Soigner la présentation et la rédaction.
Ne pas trop disperser le temps passé sur un problème donné : travailler son DM une demi-heure chaque soir n’est pas une bonne idée.
On peut poser des questions, demander des indications, par mail de préférence (bruno.arsac@ac-lyon.fr).
On ne recopie pas le DM de quelqu’un d’autre.
En revanche, on peut parler du DM à quelqu’un d’autre : poser des questions ou expliquer un point particulier aide à éclaircir ses idées et à affiner ses rai- sonnements.
Les DM ne sont pas notés. Le correcteur y cherche plus la qualité des rédactions que la quantité de questions abordées.
On peut rendre son DM en avance. Il n’est pas souhaitable de le rendre en re- tard (sauf si on a oublié sa copie quelque part), car cela signifie qu’on se décale par rapport à la progression du cours.
Travail à faire pour le DM 1
Problème sur les transformations d’Abel : questions 1 à 6.
Problème Mines 2018 math 1 : questions 1 à 9 (parties A et B).
Travail supplémentaire facultatif : finir le problème sur les transformations d’Abel, et/ou poursuivre l’énoncé Mines 2018.
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DM1
Problème : transformations d’Abel
1. Soit (un)n≥0une suite à termes réels ou complexes, (Sn) la suite des sommes partielles de la sérieP
un. Soit (vn)n≥0une suite à termes réels. Démon- trer :
p
X
n=0
vnun = vpSp+
p−1
X
n=0
(vn−vn+1)Sn .
2. On reprend les notations de la question précédente. Démontrer que si l’on suppose la suite (Sn) bornée et la suite (vn) à termes positifs, dé- croissante et de limite nulle, alors la sérieP
unvnconverge.
3. Déduire de ce qui précède que si la suite (vn) est à termes positifs, dé- croissante et de limite nulle, alors la sérieP
(−1)nvnconverge.
4. Si (α,θ)∈R2, on définit pour toutn≥1 wn(α,θ)=ei nθ
nα
(a) Pour quelles valeurs du couple (α,θ) la sérieP
wn(α,θ) est-elle gros- sièrement divergente ?
(b) Pour quelles valeurs du couple (α,θ) la sérieP
wn(α,θ) est-elle abso- lument convergente ?
(c) Etudier suivant les valeurs du couple (α,θ) la nature de la sérieP
wn(α,θ).
5. On se place de nouveau sous les hypothèses de la deuxième question.
On définit
Rn=
+∞X
k=n+1
ukvk
SiMest tel que∀n∈N |Sn| ≤M, montrer que, pour toutn≥0,
|Rn| ≤2M vn+1
6. Soit (an)n≥0une suite de nombres complexes. On suppose que la série X
n≥0
anconverge. On définit, sin≥0,
ρn=
+∞X
k=n+1
ak.
On désigne par (bn) une suite décroissante de réels positifs.
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DM1
(a) Montrer que, pour toutp≥1,
n+p
X
k=n+1
akbk=ρnbn+1−ρn+pbn+p+
n+p−1
X
k=n+1
ρk(bk+1−bk) .
(b) Montrer que la sérieX
anbnconverge.
(c) Soit²>0. Justifier l’existence d’un rangn0tel que
∀n≥n0 |ρn| ≤² puis établir la majoration
∀n≥n0
¯
¯
¯
¯
¯
+∞X
k=n+1
akbk
¯
¯
¯
¯
¯
≤2²bn+1
7. Dans cette question, (an)n∈Ndésigne une suite de nombres complexes.
Six∈R+, on pose
A(x)= X
n≤x
an= Xbxc n=0
an
(on notebxcla partie entière dex).
(a) Si 0≤x < y, si f est une fonction de classe C1 sur [x,y] à valeurs réelles, montrer que
X
x<n≤y
a(n)f(n)=A(y)f(y)−A(x)f(x)− Z y
x
A(t)f0(t)d t (b) En déduire sous les mêmes hypothèses :
X
x<n≤y
f(n)={x}f(x)−{y}f(y)+ Z y
x
f(t)d t+ Z y
x
{t}f0(t)d t où, pour tout réelα, {α}=α− bαcpourαréel.
Donner une écriture simplifiée de cette identité dans le cas oùxety sont entiers.
Dans les questions suivantes, on admet les deux propriétés suivantes : (P1)Sih est une fonction à valeurs réelles continue sur [µ,+∞[ où µ∈R, et si|h|est intégrable sur [µ,+∞[, alors la fonction H : z7−→
Z z
µ h(t)dta une limite réelle en+∞. 3
DM1
(P2)Sigethsont deux fonctions à valeurs réelles continues sur [µ,+∞[
oùµ∈R, si|g| ≤ |h|sur [µ,+∞[ et si |h|est intégrable sur [µ,+∞[, alors|g|est intégrable sur [µ,+∞[.
(c) On suppose à partir de maintenant quef est de classeC1sur [m,+∞[, oùm∈N, et que|f0|est intégrable sur [m,+∞[. Montrer que la série
X
n≥m
f(n) converge si et seulement si Z A
m
f(t)dt a une limite (finie) quandA→ +∞.
(d) Montrer que X
n≥1
cos (lnn)
n diverge.
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