PSI DM 3 : dé cémbré 2020

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PSI DM 3 : dé cémbré 2020

I. Rotor anti-couple d’hélicoptère Présentation

La rotation du rotor de queue d’un hélicoptère est obtenue à partir de la rotation du rotor principal par l’intermédiaire d’un système de transmission. Les arbres n’étant pas parallèles, on utilise un engrenage conique pour assurer cette transmission. Le rotor est donc constitué d’une roue conique standard montée sur un arbre épaulé.

L’encastrement des deux pièces n’est pas toujours optimal car l’axe de l’arbre et l’axe de la roue peuvent être décalés de quelques centièmes de millimètres. Les opérations de maintenance préventive par contrôle non destructif (CND) correspondant à une analyse vibratoire permettent de détecter ces défauts.

Cahier des charges :

Un extrait du diagramme des exigences est donné figure suivante.

Figure 2: Diagramme des exigences pour l’analyse d’un défaut.

Objectif :

L’objectif de l’exercice est de déterminer la relation entre les efforts engendrant des vibrations et le défaut d’alignement des axes. Le diagramme des exigences de la figure précédente définit les critères à respecter.

Modéliser le système :

Figure 3 : Modélisation du rotor avec roue conique.

Figure 1 : rotor anti-couple de type fenestron

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Données :

On associe un repère 𝑅₀(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦 _{0 0}, 𝑧⃗⃗⃗ ) au bâti de l’hélicoptère 0. ₀

On associe un repère 𝑅₁(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦 _{1 0}, 𝑧⃗⃗⃗ ) à l’arbre en rotation. On note 𝜃 = (𝑥₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑥₀ ⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑧₁ ⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) ₁ l’angle de rotation autour de l’axe (𝑂; 𝑦⃗⃗⃗⃗ ) de l’ensemble 1 par rapport au bâti de l’hélicoptère ₀ 0.La vitesse angulaire est notée 𝜔 = 𝜃̇.

Le solide 1 est constitué de 2 parties : un arbre de forme cylindrique de centre de gravité 𝑂, de diamètre 𝑑 = 40 𝑚𝑚 et de longueur 2 ∙ 𝐿 = 400 𝑚𝑚 et d’une roue conique en forme de tronc de cône plein de largeur ℎ = 50 𝑚𝑚 (la

hauteur du cône correspondant est notée 𝐻), de diamètre de base 2 ∙ 𝑟₁= 280 𝑚𝑚 et de diamètre de tête 2 ∙ 𝑟₂= 200 𝑚𝑚. Les matériaux des deux pièces sont identiques. Le centre de gravité de la roue conique 𝐺_𝑟 est tel que 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎_{𝑟 𝑟}∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑏_{1 𝑟}∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ 􀀀 avec ₀ 𝑎_𝑟 défaut admissible et 𝑏_𝑟 = 425 𝑚𝑚. La masse du tronc de cône est notée 𝑚_𝑟= 20 𝐾𝑔 et celle de l’arbre 𝑚_𝑎 = 4 𝐾𝑔 (on note 𝑚 = 𝑚_𝑟+ 𝑚_𝑎 la masse totale de la pièce 1).

Travail à faire :

Q1. Déterminer le centre de gravité de la pièce 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝑥₁ ⃗⃗⃗⃗ + 𝑏 ∙ 𝑦₁ ⃗⃗⃗⃗ en exprimant 𝑎 et 𝑏 en ₀ fonction de 𝑚, 𝑚_𝑟, 𝑎_𝑟 et 𝑏_𝑟.

Déterminer les actions de liaisons

On prend dans un premier temps une matrice d’inertie quelconque de l’ensemble 1 au point 𝑂 dans la base de 𝑅₁ :

[𝐼_𝑂,1] = 𝑂

[

𝐴 −𝐹 −𝐸

−𝐹 𝐵 −𝐷

−𝐸 −𝐷 𝐶

]

(𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦1 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧0 ⃗⃗⃗ )1

L’action mécanique extérieure exercée par la denture sur la roue conique est notée : {𝑇_{𝑒𝑥𝑡⟶1}} =

𝑂{𝑋_𝑒∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑌_{1 𝑒}∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝑍_{0 𝑒}∙ 𝑧⃗⃗⃗ ₁ 𝐿𝑒∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐶1 𝑒∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝑁0 𝑒∙ 𝑧⃗⃗⃗ 1}

L’action mécanique exercée dans la liaison pivot parfaite par le bâti 0 est notée : {𝑇_0⟶1} =

𝑂{𝑋0∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑌1 0∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝑍0 0∙ 𝑧⃗⃗⃗ 1

𝐿₀∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑁_{1 0}∙ 𝑧⃗⃗⃗ ₁ }

Q2. Compte tenu de la géométrie de la pièce 1, donner la forme simplifiée de la matrice d’inertie [𝐼_𝑂,1].

Q3. Calculer l’accélération 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et le moment dynamique 𝛿_𝐺1𝜖1/0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑂,1/𝑅0.

Q4. Déduire de l’application du PFD les actions mécaniques dans la liaison pivot.

Pour éviter les vibrations, il faut que les actions mécaniques dans la liaison pivot ne dépendent pas de 𝜔̇ = 𝜃̈ et de 𝜔 = 𝜃̇.

Figure 4 : géométrie de la pièce 1 : arbre +tronc de cone

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Vérification du cahier des charges

On cherche à déterminer si le défaut admissible défini dans le cahier des charges convient ou non en termes d’efforts vibratoires. On se place donc en régime permanent (𝜔̇ = 0) à la fréquence angulaire de 800 𝑡𝑟 ∙ 𝑚𝑖𝑛⁻¹.

On considère uniquement une action extérieure présentant une résultante selon 𝑥⃗⃗⃗⃗ de 𝑋_{1 𝑒} = 5000 𝑁 et un moment 𝑁_𝑒 selon 𝑧⃗⃗⃗ égal à 2000 𝑁 ∙ 𝑚. ₁

Q6. Afin de vérifier la contrainte imposée par le cahier des charges à propos de l’amplitude des efforts, calculer à partir de 𝑋₀, la composante de la force dans la liaison pivot la valeur maximale de 𝑎 en déduire la valeur l’excentration (défaut de coaxialité) 𝑎_𝑟. Vérifier si la valeur calculée permet de vérifier le cahier des charges en termes de défaut admissible.

On donne : 𝐹 = 𝑚_𝑟∙ 𝑎_𝑟∙ (𝐿 + 𝐻)

Q7. Afin de vérifier la contrainte imposée par le cahier des charges à propos de l’amplitude des efforts, calculer à partir de 𝑁₀, la composante du moment en 𝑂 dans la liaison pivot, la valeur maximale de 𝑎_𝑟. Vérifier si la valeur calculée permet de vérifier le cahier des charges en termes de défaut admissible.

Q8. Pourrait-on équilibrer parfaitement le solide 1 avec un petit perçage de masse négative 𝑚_𝑝 situé en 𝑃 tel que : 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎_𝑝∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑏_{1 𝑝}∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ ? ₀

II Micromanipulateur compact pour la chirurgie endoscopique (MC2E) Présentation

Le robot MC2E est utilisé par des chirurgiens en tant que troisième main lors de l’ablation de la vésicule biliaire.

La cinématique du robot permet de garantir que le point d’insertion des outils chirurgicaux soit fixe dans le référentiel du patient.

Le robot est constitué de 3 axes de rotations permettant de mettre en position une pince. La pince est animée d’un mouvement de translation permettant de tirer la vésicule pendant que le chirurgien la détache du foie.

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Pour cela un moto réducteur entraîne via 3 systèmes poulies-courroie 3 galets qui entraînent la pince. 3 autres galets permettent de guider la pince. Au total 6 galets permettent d’entraîner et guider la pince par adhérence. Le premier étage de poulie-courroie permet de réduire la vitesse du moteur. Les deux autres étages ont un rapport de réduction unitaire.

Objectif :

Modéliser l’équation de mouvement et la caractériser en fonction des actions mécaniques extérieures, du couple moteur et des grandeurs cinétiques appropriées.

Équation de mouvement

Hypothèses :

• La compensation de la pesanteur est parfaitement réalisée (système non étudié dans le cadre de cet exercice). On ne tiendra pas compte des actions mécaniques dues à la pesanteur par la suite.

• Les axes de rotation du MC2E sont asservis en position. En conséquence, les repères liés aux solides (1), (2) et (3) seront supposés fixes par rapport au repère lié au bâti (0) dont le repère associé est supposé galiléen.

• L’instrument chirurgical est vertical.

G1

G2

G3

G4

G5

G6

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• Toutes les courroies sont inextensibles et il n’y a pas de glissement entre les galets et les courroies.

• Tous les galets 𝐺_𝑖 ont même rayon noté 𝑅_𝑔 et roulent sans glisser sur la pince (4) au niveau des points 𝐼1 à 𝐼6.

• La poulie réceptrice est liée à un pignon. Ce pignon entraîne un deuxième pignon de même rayon primitif pour assurer la transmission de puissance. Il n’y a pas de glissement en leur point de contact.

Remarque : Dans la suite, toutes les vitesses sont définies par rapport au bâti (0).

Modélisation simplifiée du problème

• La vitesse de rotation du rotor moteur 𝑀4 par rapport à son stator fixe (lié au bâti (0)) est notée 𝜔_𝑚(𝑡) ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ où ₀ 𝜔_𝑚(𝑡) =^{𝑑𝜃𝑚(𝑡)}

𝑑𝑡 (vitesse de rotation avant réduction de rapport 𝑟).

• La poulie motrice a un rayon 𝑅_𝑖 et tourne à la vitesse 𝜔_𝑖(𝑡) (vitesse de rotation après réduction de rapport 𝑟).

• La poulie réceptrice a un rayon 𝑅𝑒et tourne à la vitesse 𝜔𝑒(𝑡).

• Les deux pignons en contact ont même rayon primitif, supposé égal à 𝑅_𝑒.

• Le couple du stator sur le rotor moteur 𝑀4 est noté 𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝑚 _𝑚 ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ . 0

• L’action mécanique qu’exerce le ressort sur la pince (4) est modélisable par un glisseur noté {𝑇_{𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡→4}} =

𝑂₄{𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑘 ∙ 𝑧(𝑡) ∙ 𝑧𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡→4 ⃗⃗⃗ ₀

0⃗ }

où 𝑂₄ est le point de contact entre la pince (4) et le ressort, 𝑘 la raideur du ressort et 𝑧(𝑡) la variation de position de l’extrémité de (4) autour de la position d’équilibre.

• On note 𝑉⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣(𝑡) ∙ 𝑧_𝑂4∈4/0 ⃗⃗⃗ =₀ ^{𝑑𝑧(𝑡)}

𝑑𝑡 ∙ 𝑧⃗⃗⃗ ₀

• Les masses des courroies sont négligées.

Données :

• 𝐼_𝑚, moment d’inertie de l’arbre moteur (rotor + pignon moteur) par rapport à son axe de rotation.

• 𝐼_𝑟, moment d’inertie du réducteur par rapport à son axe de rotation de sortie.

• 𝐼𝑖, moment d’inertie de la poulie, de rayon 𝑅𝑖, par rapport à son axe de rotation.

• 𝐼_𝑒, moment d’inertie de la poulie, de rayon 𝑅_𝑒 , par rapport à son axe de rotation.

• 𝐼𝑝, moment d’inertie de chaque pignon, de rayon 𝑅𝑒, par rapport à son axe de rotation.

• 𝐼_𝑔, moment d’inertie de chaque galet 𝐺_𝑖, de rayon 𝑅_𝑔, par rapport à son axe de rotation.

• 𝑚₄, masse de la pince (4).

• 𝑟 = ^𝜔𝑖

𝜔_𝑚, rapport de réduction constant du motoréducteur.

L’équation de mouvement est définie par l’équation différentielle suivante : 𝐽 ∙𝑑²𝜃_𝑚(𝑡)

𝑑𝑡² = 𝐶_𝑚(𝑡) − 𝐶_𝑒(𝑡) avec :

• 𝐽, inertie équivalente à l’ensemble en mouvement, ramenée sur l’arbre moteur ;

• 𝐶𝑒(𝑡), couple regroupant l’ensemble des couples extérieurs ramenés à l’arbre moteur, notamment fonction de la raideur du ressort.

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Travail demandé

Q1. Déterminer la relation entre 𝑣(𝑡) et 𝜔_𝑚(𝑡).

Sous hypothèse de conditions initiales nulles, en déduire la relation entre 𝑧(𝑡) et 𝜃_𝑚(𝑡).

Q2. Réaliser le graphe de structure (schéma d’analyse) relatif à la translation de la pince.

Q3. Donner l’expression de l’énergie cinétique 𝑇_Σ/𝑅0 de l’ensemble en mouvement par rapport à (0).

Q4. Définir l’inertie équivalente 𝐽 ramenée sur l’axe du moteur 𝑀4 telle que : 𝑇_Σ/𝑅0 =1

2∙ 𝐽 ∙ 𝜔_𝑚²

En fonction, notamment, des moments d’inertie, de 𝑚₄ et des données géométriques.

Q5. Effectuer un bilan des puissances extérieures et intérieures à ce même ensemble. Préciser l’expression analytique de chaque puissance.

Q6. Par l’application du théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble en mouvement par rapport à (0), déterminer l’expression du terme 𝐶_𝑒(𝑡) en fonction des données du problème et de 𝜃_𝑚(𝑡).