PCSI : DM N°2 - novembre 2020

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PCSI : DM N°2 - novembre 2020

Exercice n°1 : Etude du Scoot-élec I Mise en situation :

Le Scoot-élec de Peugeot a les mêmes performances qu'un scooter thermique de moins de 50 cm³. En usage urbain, il offre de nombreux avantages et peu d'inconvénients. Il s'intègre facilement dans le trafic. La puissance progressive de son moteur permet une conduite souple, fluide et sans à-coups. Son entretien est réduit et sa consommation très économique. L'engin, silencieux et propre, est nerveux, véloce et maniable. Les figures ci-dessous montrent les différents éléments du scooter.

Cahier des charges partiel :

Le cahier des charges partiel ci-dessous spécifie les principales performances annoncées par le constructeur.

L'objectif de l’exercice est de justifier le choix de la motorisation vis à vis du cahier des charges en utilisant un modèle de connaissance.

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II. Modélisation du scooter : II.1. Chaine d’énergie :

L’énergie nécessaire au déplacement est stockée dans une batterie.

La poignée est constituée d’un potentiomètre qui est relié à une carte électronique de commande et de puissance. La carte électronique distribue une énergie électrique au moteur.

Le système de transmission de puissance disposé à la sortie du moteur est constitué d’un double réducteur, un premier réalisé par un système poulies courroie crantées, un second réalisé par un engrenage constitué de deux roues dentées.

Enfin ce dernier réducteur est en prise directe avec la roue motrice du scooter.

Q1. À partir des informations données ci-dessus et des images précédentes, compléter sur le document réponse la chaine d’énergie.

III. Modélisation des constituants :

Pour prévoir le comportement du scooter électrique, il est nécessaire d'élaborer un modèle de connaissance basé sur ce schéma fonctionnel.

III.1. Modèle du potentiomètre + électronique de commande et de puissance :

L'ensemble délivre au moteur une tension maximale um maxi = 18 V pour un angle de consigne αmaxi = 90°. Une butée physique empêche la poignée de tourner au-delà de 90°.

Q2. En supposant que um(t)=K1.α(t), calculer la valeur numérique du gain K1.

III.2. Modèle du réducteur :

Le double réducteur constitué d'un ensemble poulies courroie et d'un engrenage cylindrique, possède les caractéristiques suivantes :

 Les poulies possèdent respectivement Zp1=67 dents et Zm=34 dents.

 Une roue dentée de Zp2=13 dents est solidaire de la poulie intermédiaire de 67 dents.

Cette roue dentée de 13 dents engrène avec une roue dentée de Zr=47 dents solidaire de la roue arrière du scooter.

On note ωm (t) la vitesse angulaire du moteur, ωr (t) la vitesse angulaire de la roue et ωp (t) la vitesse de la poulie intermédiaire.

Q3. Déterminer la constante kp telle que ωp (t)=kp.ωm(t) en fonction de Zp1, Zm, puis déterminer la constante k^r telle que ωr (t)=kr.ωp(t) Z^p2 et Z^r. On pose k= k^p.k^r, vérifier que : k  0 ,14.

III.3. Modélisation de la roue :

Q4. Le rayon r de la roue en contact avec le sol est de 21 cm. Déterminer une relation entre v(t) la vitesse de translation du scooter et ωr (t) en précisant l'hypothèse utilisée.

III.4. Modélisation dynamique.

Les quatre équations qui caractérisent un moteur à courant continu correspondent de manière générale à :

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 Équation électrique : 𝑢_𝑚(𝑡) = 𝑒(𝑡) + 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) + 𝑒(𝑡) + 𝐿 ∙^{𝑑𝑖(𝑡)}

𝑑𝑡

 Équation mécanique: 𝐽_𝑒𝑞∙^{𝑑𝜔𝑚(𝑡)}

𝑑𝑡 = 𝐶_𝑚(𝑡) − 𝐶_𝑟(𝑡)

 Équations de couplage magnétique :𝐶_𝑚(𝑡) = 𝑘_𝑐∙ 𝑖(𝑡) et 𝑒(𝑡) = 𝑘_𝑒∙ 𝜔_𝑚(𝑡) Avec :

 um(t) tension d'alimentation, i (t) courant circulant dans le moteur.

 Cm(t) couple fourni par le moteur, Cr (t) couple résistant dû aux perturbations.

 ωm(t) vitesse de rotation du moteur, Jeq, L, R, kc et ke des constantes caractéristiques du moteur.

Q5. Compléter le schéma blocs (l’intérieur des blocs, mais aussi entre les blocs) du moteur à courant continu sur le document réponses.

Le moteur utilisé possède les caractéristiques suivantes :

Pour la suite du problème, on suppose que Cr (t)=0 et compte tenu de la valeur de L, on néglige le terme 𝑳 ∙^{𝒅𝒊(𝒕)}

𝒅𝒕

Q6. Combiner les équations précédentes afin de déterminer la fonction transfert du moteur 𝐻_𝑚(𝑝) =^Ω𝑚(𝑝)

𝑈_𝑚(𝑝) et montrer que l’on peut mettre 𝐻_𝑚(𝑝) sous la forme : 𝐻_𝑚(𝑝) =

𝑘_𝑚 1+𝜏_𝑚∙𝑝

Exprimer 𝑘𝑚 et 𝜏𝑚 en fonction des constantes du moteur. Faire l’application numérique.

Pour la suite du problème on représentera la fonction transfert du moteur sous la forme simplifiée d’un premier ordre 𝐻_𝑚(𝑝) = ^𝑘𝑚

1+𝜏_𝑚∙𝑝

Q7. On donne sur le document réponses la forme du schéma blocs représentant la chaine de commande du scooter. Compléter ce schéma blocs et exprimer la fonction transfert :

𝐻₀(𝑝) =^V(𝑝)

𝛼(𝑝). Faire l’application numérique Avec :

 V(𝑝) l’image dans le domaine de Laplace de la vitesse de translation v(t) du scooter

 𝛼(𝑝) l’image du la rotation α(t) de la poignée.

IV. Vérification des performances du Scoot élec : IV.1. Vitesse maximale atteinte à plat

On cherche dans un premier temps à vérifier que le moteur retenu permet d'atteindre la vitesse maximale à plat définie dans le cahier des charges. On applique pour cela en entrée un échelon d'angle de 90° (on accélère à fond très rapidement !)

Q8. Vérifier la performance de vitesse maximale définie dans le cahier des charges.

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Exercice n°2 : Asservissement de position d'un robot cartésien

La figure 1 montre l'architecture d'un robot cartésien 3 axes.

Chaque axe est asservi en position.

Le schéma bloc de la figure 2 montre une version simplifiée de l'asservissement du moteur à courant continu de l'axe X.

 La motorisation seule est modélisée par la fonction transfert

p 1

K p

U p p V

H

m m

m   

 ( ) 

) ) (

(

Avec :

o Km : gain de la motorisation en mm.s^-1/V o _m: constante de temps en seconde

 La tension Um est fournie par un boitier de commande comportant une partie commande et un module d'amplification. L'ensemble est modélisé par une constante Kc dont la valeur est réglable. K_c1Vmm^1est choisi comme valeur initiale.

 Un capteur de position assure le retour d'information et est modélisé par un retour unitaire.

figure 2 : Schéma blocs d'asservissement d'un axe de robot cartésien

1) Etude de la motorisation seule :

On réalise un essai sur la motorisation seule, afin d'évaluer les paramètres caractéristiques de la fonction transfert H(p). Le résultat de cet essai est reproduit sur la feuille réponse à la fin du sujet. Le type d'entrée choisi est un échelon de 5 V : um(t)=5.u(t).

Q1. Sur le document réponse, déterminer graphiquement les valeurs numériques des paramètres caractéristiques Km et m de la motorisation.

Justifiez sur votre copie et laissez subsister sur le document les constructions graphiques nécessaires à leurs identifications.

Q2. Critères de performances : Déterminer le temps de réponse t^5% de la motorisation seule et l'erreur statique s

2) Etude de l'asservissement :

Q3. Exprimer 𝐹𝑇𝐵𝐹(𝑝) = ^𝑋(𝑝)

𝑋_𝑐(𝑝)la fonction de transfert en boucle fermée de l'asservissement en fonction de K^c, K^m et m, la présenter sous forme canonique. Quel est son ordre ?

Q4. Exprimer ses paramètres caractéristiques en fonction de K^c, K^m et m. Calculez les.

Q5. Critères de performances, en utilisant l'abaque de la figure 3 ci-dessous déterminer le temps de réponse tBF5% et l'erreur statique BFs de l'asservissement.

figure 1 : robot cartésien asservi en position

K

p 1

K

m m



  p

1

+ -

Xc(p) (p) Um(p) V(p) X(p)

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figure 3 abaque du temps de réponse t5%

Q6. Déterminer la valeur de Kc, diminuant au minimum le temps de réponse à 5%.

coefficient d'amortissement a

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Document Réponses : Exercice 1 : Scoot-élec

Q1. Chaine d’énergie

Q5. Schéma Bloc du moteur à courant continu.

Q7. Schéma blocs de la chaine de commande.

Alimenter Transmettre Transmettre

Batterie

Acquérir α(t)

+ - + -

Cr(p)

(p) V(p)

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Exercice 2 : Asservissement de position d’un robot cartésien

p 1

K

m m



 

V(p) Um(p)

p p 5 U_m( )

p 1

K

m m



 

V(p) Um(p)

p p 5 U_m( )