EPFL 24 mai 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 26
Dans cette série, le symbole F désigne soitR, soit C.
L’exercice 2 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 31 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Pour les opérateurs T ∈ L(C2) suivants, trouver les espaces propres généralisés et déterminer les polynômes caractéristiques.
1. T(w, z) = (z,0), 2. T(w, z) = (−z, w), 3. T(w, z) = (5w+z,5z).
Exercice 2. On définit T ∈L(C4) par
T(w, x, y, z) = (w−2x+y+z, w−x+z, z,0).
Trouver une baseBdeC4 formée de vecteurs propres généralisés deT, et calculer[T]B et le polynôme caractéristique de T.
Exercice 3. 1. Montrer ou donner un contre-exemple : si T ∈L(V), alors V = kerT ⊕imT. 2. Montrer que si T ∈L(V), alorsV = kerTn⊕imTn, où n = dimV.
Exercice 4. 1. Soitp(z) = zn+an−1zn−1+· · ·+a1z+a0le polynôme caractéristique deT ∈L(V).
Montrer que T est inversible si et seulement si a0 6= 0.
2. On suppose que T ∈ L(V) est inversible. Montrer qu’il existe un polynôme q ∈ P(F) tel que T−1 =q(T).
Le but des exercices suivants est de définir la fonction exponentielle pour des matrices (qui sera utile pour les cours de deuxième année) et de voir une application utile de la forme normale de Jordan.
Exercice 5. Soit l’espace vectorielFnmuni du produit scalaire standardh·,·iet de la norme associée k · k. On admet dans cet exercice que kAk := supv∈Fn,
kvk=1
kAvk définit une norme sur l’espace vectoriel Mat(n;F)telle que kA·Bk ≤ kAk · kBkpour tout A, B ∈Mat(n, n;F).
1. Soit A∈Mat(n;F), montrer que la suite
Pn i=0
Ai i!
n∈N
est convergente. On peut en déduire que pour tout A∈Mat(n;F), la série
∞
X
i=0
Ai i!
converge de manière absolue vers une matricen×n nommée exp(A)(mais cela n’est pas à faire ici !).
2. Calculer exp(0n) où 0n est la matrice n ×n à coefficients nuls. Calculer exp(D) pour D = diag(d1, . . . , dn)∈Mat(n;R).
3. Soit A ∈ Mat(n;R). Montrer que l’équation différentielle v0(t) = Av(t), v(0) = v0, v : R→ Rn admet v(t) = exp(tA)(v0) comme solution (on ne demande pas de montrer que la solution est unique).
4. Montrer que si B ∈Mat(n;F) est inversible, alors exp(B−1AB) = B−1exp(A)B.
Remarque : En particulier, on a Bexp(B−1AB)B−1 = exp(A). Cette formule est utile si exp(B−1AB) est plus facile à calculer que exp(A), par exemple dans le cas où B−1AB est la forme normale de Jordan de la matrice A...
5. En utilisant la méthode donnée dans les questions précédentes et le fait que 1 2
−1 −1
3 2
−1 0
−1 −2
1 1
= 1 0
0 2
, résoudre l’équation
x0(t) =
3 2
−1 0
x(t), x(0) = (a0, b0)t∈R2.
Exercice 6. On considère la matrice A=
1 1 −1
−3 −3 3
−2 −2 2
. La matrice de l’application TA ∈L(R3) définie par A, exprimée par rapport à la base B =
1
−3
−2
,
1 0 0
,
1 0 1
de R3 est de la forme
J := [TA]B =
0 1 0 0 0 0 0 0 0
, c’est-à-dire qu’il existe un changement de base B ∈ Mat(3,3;R) tel que
B−1AB=J. On considère le système v :R→R3, v0(t) = Av(t), v(0) = (a0, b0, c0)t∈R3 (∗).
1. Montrer qu’en posant w(t) = B−1v(t), on peut ramener le problème à w0(t) = J w(t).
2. Résoudre cette équation différentielle.
3. En déduire la solution de (∗).(Faire le rapprochement avec l’exercice précédent !)
