corrrilnerce de Ecoie

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Ecoie SupénieE-rre de corrrilnerce cI= ^L-rrær*

CONCOURS D'Er{TREE 1989

ffiAEffiEffiÂBE@8§g§

Eère épreaave topsiom ^géméræse)

Coefficient 4

Mardi 16 mai 1989 de 14 heures à 18 heures

Nota ^:

-

Les cjeux r:roblemes sont indépendants.

lN désigne l'ensemble des entiers naturels, et ^rR celui des nombres réels.

PREMTER pRogLÈnÂe Partie A

Soient E un espace vecrortei de dimension finie sur lH, p et q deux endomorphismes de E teis que :

PoP: F,Q'Ç =

_e, ^poe

: Qop.Onpose: f = p+q, g :

poÇ.

1.

^a) Verifier gog

:

g

b) t\4ontrer que les valeurs propres de p et de q sont

dans

_{I O;}

t |

^.

c) Démontrerque lesvaleurs

propresdef sontdans

_I O ;

t ;e

I

2.

^a) Démontrer qlje 0 est valeur propre de f sr et seulement si Ker (p)n Ker (q)

4

_{I o} I

b) Démontrer que 2 est valeur propre de f

siet

seutement

silm

(p)n Im (o)

+ |

^o

|

^.

Partie B

Sorent N

c

ii'J' et ^IR,'.,

IX

] l'espace vectoriel réei des; polynômes nu! ou de degré

(

N. pour tout n

€

^{lN tel}

que n

(

N, on note Tn I'application de lR*

[X

] dans ^IRN

IX

] définie de ia façon _suivante :

l",l _P

siP:I ÀoXk,avec ).0,..., ÀN€lR,

alorsTn(p)

:I

ÀnXn.

(,.0 k=0

Ainsi,

parexemple,avecN:4:

_T,(X

₊

_Xz

+

ZXs

+

X4) = ^X + X?

+ ZXsetT.(X +

Xz;

: \

^-+ {?.

1.

Montrer que, pour tout n

€

lN tel que n

<

^N, T" est un endomorphisme de I'espace vectoriei réel Inr,r

[^

^].

2.

^a) Verifrer,

pourtoutne lNtelquen ( N:

^TnoTn:Tn.

b) Pour tout n € lN tel que n

(

N. ciéterminer ie noyau et l'image de Tn.

c)

Montrerpourtousn,rdelNtelsquen < Netr < N: T^oT,:T,oT..

li

^{Soenl n,r} deu)i entiers naturels ieis cue û

(

n

( r (

N.

a) Comparer ^Ker (Tn)et Ker (T,):comparer Im (T")et _Im (T,)' b) Montrer que ⁰ et 2 sont valeurs propres ^{de Tn}

+

T,.

c) Tn + T, est-il diagonalisable ^?

DEUXIÈME PROBLÈME Partie I

1. Montrerque,pourtoutréelxdel - * ;+l,ilexisteunréeluniqueydeJ --' f

_i

* "2'

tel que x

=

ÿ

-

^y2, et calculer ^{y en} fonction de ^x.

Onnotef l'applicationdéfiniepar:

^f

:l-- ,+)*t -""' ll

x*--[_1r

1

_-Vr-+xy

2.

^Étudier

^les

variations cje

f et

tracer

sa

courbe représentative

C dans un

repère orthonormé

--). -+

(0;i, j)d'unité4cm.

3.

Montrer que

f

est de classe

C-

^sur

I -- ,f

^t,

_",,

^pour

^tout

ⁿ

^{€ lN.}

^et

^{tout xe} l-"" ;+ i,

f(ni(x)

'\"' - ^(?n _(n-1)

^-,?),1

^fi - ^4x)-n'*

!

Partie

ll

L'objetdecettepartieestdedétermineruneapproximationdefsurl-+,+lparciesfonctions

polynômiales.

1,

^a) Montrer, en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, que, pour

tout

n

e

lN- et tout

-11

^-

x€l- o ; o l:

^f(x)

:Q"(x) +R"(x)

ou

^{ç^} t*)

:i, fffi ^{r- et}

^{R^(*)}

^{=I* (*-}

^{0n r(n* r) (t)dt.}

b) Caicuier Q.,, Qr, Q., Q..

On admettra que, pour tout n

€

lN*

, C:, <

#

2.

^a)

^pourx€[0

;

,4 + ^t

fixé,quelleestlabornesupérieuredel'application

[0;x]* lR

_,?

tt-,*-.tt,

1

- ^4t

b) En cjéduire qire, pour tout ⁿ e ^{lN- et} tout

x€

_{[0 ,}

]

_$

^t, 0 ( ^R,(x) ( ^l1g _{= =+}

2i/n ^Z'ln

3. Montrerque,pourtoutne!N"ettoutxel-* ^;Ol:

I I (n*1)ÿn 4(n+1)'/n

.i.

L-l,r,i:risr un maloi'a,nt

u.

;f (x)

-

^C,

{r)i,

indepei',.iani cie x pourx

a, + ^', +

Let tendarii ^vers 0 ^{quano n} tend vers l'infini.

5.

^a) Deternriner le plus petit eniier N

€

lN. tel que ^:

YnelN-,(n > N =, (+)"

-l---.---.---,-

<

^1).

,3' 6.10-a1p+1) i/n

b) En déduire :vn

€

lN.,

(n ) ^N * _{lt. t-} f ll ^{< 10}

^4).

Padie lll

On étudie dans cette partie une autre méthode d'approximation de

f sur [0 ; +

₄

i

^{par des fonctions}

polynômiales.

Soit (P")"=,* _{la suite} d'applications polynômiales de lR dans lR définie par :

(

^Pn1x1

:6

Vxe

lR ⁽

{

vn

e lN, Pn.,., ^(x)

:

x

+

(e.1x;)r.

1.

Calcuier Pj, P2, Pr, Po.

2.

ai Montrer que, pour tout n

e

lN, les ccefficients de Pn et de Pn, _,

-

^Pn sont des entiers naturels.

En déCuire gue, pour tout

x€

_[ 0 ; + ^oo _[, la suite ^{(P^} (x))nu,* est croissante.

b)

Mcntrer(parrécurrencesurnique,pourtoutxe [0;+ ]ettoutn€lN: ^P,(x)(

^{f (x).}

c) Déirontrer que, pour tout xÊ i

0, +

l,La suite tp" txlll=.u converge vers f ^(x).