Devoir Surveill´ e du 13/11/2018.

Universit´e de Bordeaux 2018-2019 TMQ302U – Fonctions de plusieurs variables

Devoir Surveill´ e du 13/11/2018.

Documents non-autoris´es, dur´ee: 1h 20.

Par d´efaut, l’espace R^d est ´equip´ee de la norme euclidienne ||.||₂. Vos r´eponses doivent ˆetre justifi´ees (= d´emontr´ees ou bien valid´ees par un contre-exemple).

Exercice 1.

1. Donner la d´efinition d’une partie compacte deR^d.

2. Soit A ⊂ R^d un ensemble. Donner la d´efinition d’une application continue sur A.

3. Soit K ⊂ R^d un compact, et f :K → R^d1 une application continue.

L’ensemble f(K) est-il compact? L’application f est-elle uniforme- ment continue surK? (´enoncer les r´esultats du cours correspondants) 4. Soit f : R^d → R^d1 une application continue et K ⊂ R^d1 un com- pact. Est-il vrai que f⁻¹(K) est ouvert? ferm´e? compact? (une d´emonstration ou un contre-exemple le cas ´ech´eant)

Exercice 2.

1. Etudier l’existence de limites suivantes et les calculer le cas ´ech´eant:

(x,y)→(0,0)lim

(x+ 2y)³

x²+y² , lim

(x,y)→(0,0)

3x⁴+y⁴

x²−y² , lim

(x,y)→(2,1)

log(e^x+e^2y) x−y .

2. Etudier la continuit´e de la fonction f :R² →Rdonn´ee par f(x, y) =

( sin(x²y)

x²+y² , (x, y)6= (0,0), 0, (x, y) = (0,0).

Exercice 3. Soit g : R²\{(0,0)} → R une fonction d´efinie par la relation suivante

g(x, y) = x²y³

3x⁴+ 2y⁶, (x, y)6= (0,0).

1

1. Pour touta∈R, posons L_a={(x, y) :y=ax}. Montrer que

(x,y)→(0,0),lim(x,y)∈La

g(x, y) = 0, ∀a∈R.

2. Montrer que la limite

(x,y)→(0,0)lim g(x, y) n’existe pas.

Exercice 4. Rappelons queR^d= (R^d,||.||₂), o`u

||x||₂=

d

X

i=1

x²_i

!1/2

, x= (xi)i=1,...,d∈R^d.

Le but de cet exercice est de d´emontrer que pour toute norme ||.||⁰ (pas n´ecessairement euclidienne) il existe une constantec >0 telle que

c||x||₂6||x||⁰, ∀x∈R^d.

1. Consid´erons S={x∈R^d:||x||₂ = 1}. L’ensembleS est-il compact?

Dans la suite de cet exercice, on admet qu’il existeC >0 telle que ∀x∈R^d:||x||⁰6C||x||₂.

2. Soitf :R^d→R+ une fonction d´efinie par la relation f(x) =||x||⁰.

Montrez quef est continue surR^d.

3. A l’aide de r´esultats du cours (pr´ecisez lesquels!) d´emontrez que

x∈Sinf f(x) = min

x∈Sf(x) = min

x∈S||x||^0d´=^ef c >0.

En d´eduire que c||x||₂6||x||⁰, ∀x∈R^d.

FIN 2