Chapitre 06 : DIVISION DE NOMBRES DÉCIMAUX

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Chapitre 06 :

DIVISION DE NOMBRES DÉCIMAUX

I) Division entière ou euclidienne :

1) Définitions : Dividende – Diviseur – Quotient – Reste :

Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, qui doivent vérifier :

dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur.

Exemple :

Avec 180 crayons, on peut faire au maximum 22 paquets de 8 crayons, (en effet : 8 × 22 ≤ 180 et 8 × 23 > 180)

et il restera 4 crayons.

On peut écrire l’égalité suivante :

180 = 8 × 22 + 4 (on a bien 4 < 8).

Exercice :

Effectuer la division euclidienne de 739 par 8.

II) Multiple et diviseur :

1) Définition : Multiple :

Les multiples d’un nombre entier sont tous les nombres de sa table de multiplication.

1. 12 est dans la table de multiplication de 3, donc 12 est un multiple de 3.

2. 35 est un multiple de 5 car il existe un nombre tel que 5 × … = 35.

1. Trouver 7 multiples de 8.

2. Donner la particularité des multiples de 10.

2) Définition : Diviseur :

On dit que le nombre entier 𝑏 est un diviseur du nombre entier 𝑎 lorsque le résultat de la division de 𝑎 par 𝑏 est un nombre entier. (On dit aussi que 𝑎 est divisible par 𝑏.)

1. 8 est un diviseur de 24 car ²⁴

8 = 3 et 3 est un nombre entier.

2. 5 N’est PAS un diviseur de 32 car ³²₅ ≈ 6,4 et 6,4 N’est PAS un nombre entier.

3. 3 N’est PAS un diviseur de 10 car ¹⁰₃ ≈ 3,33.. et 3,33.. N’est PAS un nombre entier.

1. Trouver tous les diviseurs de 12.

2. Justifier que 412 n’est pas un diviseur de 4963.

Dividende → 180

20

8 ← Diviseur 22 ← Quotient

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III) Critères de divisibilité :

1) Propriété : Les entiers divisibles par 2, par 5, ou par 10 : Ils sont reconnaissables à leur chiffre des unités :

- Les entiers divisibles par 2 sont les nombres pairs, Ils se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; - Les entiers divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5 ;

- Les entiers divisibles par 10 se terminent par 0.

Exemples :

1. 378 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.

2. 1 414 N’est PAS divisible par 5 car il ne finit pas par 5 ou 0.

3. 999 999 999 999 999 999 990 est divisible par 10 car il finit par 0.

Entourer en bleu les nombres divisibles par 2, en vert les nombres divisibles par 5 et en rouge les nombres divisibles par 10 :

1 407 - 548 ; 344 ; 147 ; 548 ; 2 412 ; 36 413 ; 4 353

2) Propriété : Les entiers divisibles par 3 ou par 9 :

Ils sont reconnaissables à la somme de tous leurs chiffres :

- Les entiers divisibles par 3 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est elle-même divisible par 3 ; - Les entiers divisibles par 9 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est elle-même divisible par 9 ;

Exemples :

1. 8 704 698 est divisible par 3 mais non divisible par 9 car le somme de ses chiffres est : 8 + 7 + 0 + 4 + 6 + 9 + 8 = 42 or 42 est dans la table de 3 mais pas dans la table de 9.

2. 311 n’est ni dans la table de 3, ni dans la table de 9 car 3 + 1 + 1 = 5 et n’est ni dans la table de 3 ni dans la table de 9.

1. Prouver que 118 218 est dans la table de 3 mais pas dans la table de 9 2. Trouver un nombre qui est à la fois dans la table de 9 et dans la table de 3.

3) Propriété : Les entiers divisibles par 4 :

Les nombres entiers divisibles par 4 sont ceux dont les deux derniers chiffres forment un nombre lui-même divisible par 4.

Exemples :

1. 8 704 636 est divisible par 4 car 36 est dans la table de 4.

2. 747 n’est pas dans la table de 4 car 47 n’est pas dans la table de 4.

Trouver tous les entiers divisibles par 4, compris entre 1028 et 1054.

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IV) Division entière ou euclidienne : 1) Définition : Division décimale :

Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c’est chercher le nombre appelé quotient tel que :

dividende = diviseur × quotient On note : quotient =

Exemple :

Chercher le quotient de 105 par 42, c’est chercher le nombre tel que : 42 × … = 105.

Cela revient à calculer ¹⁰⁵₄₂. On trouve 2,5.

Exercice :

Effectuer la division décimale de 130 par 25.

Remarque :

Le quotient peut-être :

- Un nombre entier. En effet, le quotient de 18 par 6 vaut

= 3 (car 18 = 6 × 3)

- Un nombre décimale non entier. En effet, le quotient de 12,5 par 2 vaut

= 6,25 (car 12,5 = 2 × 6,25).

- Un nombre non décimal. En effet, le quotient de 10 par 3 vaut

= 3,3333… (il y a une infinité de 3).

2) Méthode : Calcul posé d’une division décimale :

Pour effectuer une division décimale, on peut poser l’opération.

Exemple :

Effectuer la division décimale de 9,4 par 4.

9 Unités divisées par

4

c’est 2 Unités et il reste 1 Unité.

1 Unité c’est 10 Dixièmes, d’où un total de 14 Dixièmes.

14 Dixièmes divisés par

4

2 Dixièmes c’est 20 Centièmes.

On les divise par

4

Exercice :

Effectuer la division décimale de 130 par 25.

U

10 1

100 4

9, 4 U 1

10 1

- 8

100

1

U

10 1

100 4

9, 4 U 1

10 1 100

- 8 2,

1 4

- 1 2

2

U

10 1

100 4

9, 4 U 1

10 1 100

- 8 2, 3

1 4

- 1 2

2 0

- 2 0

0

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IV) Diviser par 10, 100, 1 000 : 1) Propriété :

Lorsqu’on divise par 10 ; 100 ; 1 000 ; … le résultat devient 10 ; 100 ; 1 000 ; … fois plus petit.

→ Diviser un nombre décimale par 10 ; 100 ; 1 000 ; … revient à décaler la virgule de un, deux, trois, … rangs vers la gauche, en complétant avec des zéros si nécessaire.

Exemple :

65,8 ÷ 10 = 6,58 65,8 ÷ 100 = 0,658 65,8 ÷ 1 000 = 0,065 8

…

Exercice :

a. 73,1 ÷ 10 b. 0,6 ÷ 100