Chapitre 02 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX

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Chapitre 02 :

NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX

I) Nombres entiers :

1) Définition : Système décimale français

Le système décimal français utilise dix chiffres

Les nombres sont écrits avec les chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Avec ces chiffres, on peut écrire tous les nombres.

Exemple :

Les nombres entiers suivants sont écrits avec le système décimale français : 2 145 ; 5 109 872 145 ; 5 ; 123 ; 4 092

2 145 s’écrit à l’aide des chiffres 2, 1, 4 et 5 Exercice :

Ecrire trois entiers avec le système décimale français : ; ;

Remarque :

1. Notre système de numération utilise un principe que l’on appelle de position : La place du chiffre dans le nombre indique sa valeur.

Dans le tableau ci-dessous, on a placé le nombre 5 109 872 145 :

D’après le tableau,

5 109 872 145 = 5 × 1 000 000 000 + 1× 100 000 000 + 9 × 1 000 000 + 8 × 100 000 + 7 × 10 000 + 2 × 1 000 + 1 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1

Milliards Millions Milliers Unités

100 000 000 000 10 000 000 000 1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1

: : : : : : : : : : : :

C ent -M ill iar ds D ix -M ill iar ds M ill iar ds C ent -M ill ions D ix -M ill ions M ill ions C ent -M ill ie rs D ix -M ill ie rs M ill ie rs C entaine s D iz aine s U nité s

5 1 0 9 8 7 2 1 4 5

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2. Le système de numération décimal s’appelle ainsi car il utilise des regroupements par dix.

10 unités d’un certain rang équivalent à une unité du rang supérieur :

1 dizaine = 10 unités : 1 × = 10 × 1 centaine = 10 dizaines :

1 × = 10 ×

1 millier = 10 centaines :

1 × =

10 ×

Etc …

On dit que dix est la base de notre numération. C'est la caractéristique du système décimal. Dix unités d'un ordre quelconque, forment une unité de l'ordre immédiatement supérieur. Pourquoi avons-nous adopté la base dix ? Parce que nous comptons depuis très longtemps sur nos doigts et que nous en avons dix.

3. Pour faciliter la lecture d’un nombre entier, on groupe ses chiffres part trois à partir de la fin : 25344359 pourra s’écrire : 25 344 359.

Exercice :

Placer les nombres de l’exemple précédent dans le tableau.

2) Propriété : Règles d’orthographe

Selon les nouvelles règles d’orthographe, pour écrire en toutes lettres un nombre, on place un trait d’union entre chaque mot.

Le nombre mille (1 000) est invariable (il ne prend jamais de « s »).

Les nombres vingt (20) et cent (100) ne prennent pas de « s » au pluriel lorsqu’ils sont suivis d’un autre nombre, sinon ils s’accordent.

Exemples :

1. « 2 005 » s’écrit « deux-mille-cinq » || « 15 000 » s’écrit « quinze mille ».

2. « 200 » s’écrit « deux-cents » || « 202 » s’écrit « deux-cent-deux ».

3. « 80 » s’écrit « quatre-vingts » || « 84 » s’écrit « quatre-vingt-quatre ».

Exercice :

Ecrire en toutes lettres les nombres suivants : « 5 180 » ; « 3 000 500 » ; « 895 » ; « 2 000 800 002 »

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II) Fractions décimales :

1) Définition : Fraction décimale

Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000, …

Exemple :

La fraction ⁷³⁸₁₀₀ est une fraction décimale. Elle se lit « sept-cent-trente-huit centièmes » Exercice :

Proposer trois fractions décimales.

2) Propriété : Ecriture décomposée

Toute fraction décimale admet plusieurs décompositions

Exemple :

5239

100 =52+ ³⁹

100= 5× 10 +2× 1 +3× ¹

10+9× ¹

100 Exercice :

Proposer plusieurs écritures pour les fractions décimales suivantes :

456

10 ; ²³⁵⁰¹

100 ; ⁸⁹

1000

III) Repérage sur une demi-droite graduée :

1) Définition : Demi-droite graduée

Une demi-droite d’origine O est dite graduée, lorsqu’on a choisi une unité de longueur que l’on a reportée régulièrement à partir de l’origine.

Exemple :

Exercice :

Tracer un axe gradué allant de 0 à 3 gradué tous les ₁₀¹.

2) Propriété : Abscisse

Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé abscisse de ce point.

Réciproquement, chaque nombre peut être repéré par un point sur une demi-droite graduée.

Exemple :

L’origine de la demi-droite graduée ci-contre, est le point A.

Son abscisse est le nombre 0.

La longueur unité est la longueur AB, l’abscisse du point B Est le nombre 1 et l’abscisse du point C est le nombre 2,6.

Exercice :

Sur la demi-droite ci-dessus, placer le point D d’abscisse 2,7.

O

0 1 2 3 4 5

A B C

0 1 2 3 Origine

Longueur unité

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IV) Nombres décimaux :

1) Définition : Nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous forme d’une fraction décimale.

Un nombre décimal admet aussi une écriture à virgule appelée écriture décimale.

Exemple :

728

100 peut s’écrire : 7,28 et se lit « 7 virgule vingt-huit » Exercice :

Réécrire les fractions décimales proposées à l’exercice précédent à l’aide de l’écriture décimale.

2) Propriété : Partie entière – Partie décimale

Un nombre décimal est égal à la somme de sa partie entière et de sa partie décimale sachant que : La partie entière est le nombre entier ;

La partie décimale est un nombre inférieur à 1.

Exemple :

8,53 = 8 + 0,53

Partie entière Partie décimale Exercice :

Identifier la partie entière et la partie décimale des nombres suivants : 5 239, 67 ; 2,47 ; 15,03 ; 11 ; 14,7

Remarque :

1. Un nombre entier est aussi un nombre décimal : sa partie décimale est nulle

2. Les propriétés valables pour les fractions décimales (décompositions, abscisses) restent valables pour les nombres décimaux.

3) Propriété : Rang d’un chiffre

La position d’un chiffre dans un nombre détermine sa signification.

Exemple :

743,82 = (7 × 100) + (4 × 10) + (3 × 1) + (8 × 0,1) + (2 × 0,01) 7 centaines 4 dizaines 3 unités 8 dixièmes 2 centièmes Remarque :

1. Ne pas confondre le chiffre des dizaines (qui est 4) et le chiffre des dixièmes (qui est 8).

2. Ne pas confondre le chiffre des dizaines (qui est 4) et le nombre de dizaines (qui est 74).

Exercice :

Reproduire le tableau, placer le nombre 30 743, 802 puis identifier chacun de ses chiffres.

Partie entière

Virgule

Partie décimale

Cent- Milliers 100 000

Dix-Milliers

10 000

Milliers

1 000

Centaines

100

Dizaines

10

Unités

1

Dixièmes

1 10

Centièmes

1 100

Millièmes

1 1 000

Dix- Millièmes

1 10 000

Cent- Millièmes

1 100 000

Millionièmes

1 1 000 000

7

4 3

,

8 2

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V) Comparer des nombres décimaux – Encadrement :

1) Définition : Comparaison

Comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus grand, le plus petit, ou s’ils sont égaux.

Exemple :

1. « 8,5 est plus petit que 24,2 » se note : 8,5 < 24,2 2. « 15 est plus grand que 9 » se note 15 > 9 3. « 8 est égal à 8,0 » se note 8 = 8,0

Exercice :

Compléter par le symbole qui convient : 1. 4,7 … 4,700

2. 13,95 … 12,01 3. 8,4 … 8,39 4. 1,754 … 1,76 5. 8,5 … 8,499

2) Définitions : Ordre Croissant - Ordre Décroissant :

Ranger des nombres dans l'ordre croissant, c'est les écrire du plus petit au plus grand.

Ranger des nombres dans l'ordre décroissant, c'est les écrire du plus grand au plus petit.

Exemple :

1. 0,0095 < 0,014 < 0,4 < 0,799 < 0,87 → Les nombres sont rangés dans l’ordre croissant.

2. 0,87 > 0,799 > 0,4 > 0,014 > 0,0095 → Les nombres sont rangés dans l’ordre décroissant.

Exercices :

1. Ranger les nombres ci-dessous dans l’ordre croissant :

19,9 ; 19,19 ; 1,891 ; 9,191 ; 19,03 ; 1,9 ; 9,59 ; 1,45 2. Ranger les nombres ci-dessous dans l’ordre décroissant :

205,478 ; 205,47 ; 205,748 ; 205,78 ; 205,78 ; 205,847

3) Définition : Encadrer un nombre :

Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres nombres, un nombre plus petit que lui et un nombre plus grand que lui.

Exemple :

1. 3 < 3,14 < 4 → Encadrement à l’unité (on a encadré 3,14 par deux nombres entiers qui se suivent) 2. 3,1 < 3,14 < 3,2 → Encadrement au dixième (on a encadré 3,14 par deux nombres avec un chiffre après

la virgule qui se suivent).

Exercice :

Donner un encadrement au centième des nombres suivants : 1. 2,555

2. 91,108 3. 0,999 4. 85,014