Chapitre 1 : Nombres entiers et nombres décimaux
Connaissances Capacités Commentaires
Nombres entiers et décimaux
Désignations.
Ordre
- Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un entier ou d'un décimal.
- Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales.
- Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres.
- Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres.
- Placer un nombre sur une demi-droite graduée.
- Lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement.
L’objectif est d’assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent dans l’écriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à l’école élémentaire.
La bonne compréhension s’appuie sur le sens et non sur des procédures.
Les procédures utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres sont justifiées en s’appuyant
sur la signification des écritures décimales ou le
placement des points sur une demi-droite graduée.
*Valeur approchée décimale.
* Donner une valeur approchée décimale (par excès
ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au
centième près.
I. La position des chiffres
a) Partie entière, partie décimale
Lorsqu’on écrit un nombre décimal, la position de chaque chiffre détermine sa signification.
8 milliers 6 dixièmes Dans le nombre 8790,632
3 est le chiffre des centièmes 2 est le chiffre des millièmes 7 est le chiffre des centaines
On appelle partie entière ce qui se situe à gauche de la virgule, et partie décimale ce qui se situe à droite de la virgule (précédé d’un zéro et de la virgule)
Exemple : Dans 8790,632
8790 est la partie entière 632 est la partie décimale
b) L’importance des zéros
Parfois, dans un nombre décimal, on peut supprimer des zéros sans changer la valeur de ce nombre. Ceux-ci sont donc dits « inutiles ».
Exemple :
04,50490 = 4,5049
On a supprimé le zéro le plus à gauche et le plus à droite. Mais dans tous les cas, on ne peut s’occuper que des zéros placés aux extrémités gauche et droite d’un nombre décimal.
Exemple : 005,324 = 5,324 7,78000=7,78
Mais 60,87≠6,87 0,23≠23
En règle générale :
On peut supprimer les zéros situés à gauche de la partie entière sauf si il n’y a pas d’autre chiffre plus proche de la virgule, et les zéros situés à droite de la partie décimale.
Définition : Ranger des nombres par ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand de gauche à droite en utilisant le signe <.
Exemple :
0,56 < 0,6 < 0,67 < 0,7 < 1,5 < 5,008 < 5,34
Définition : Ranger des nombres par ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit de gauche à droite en utilisant le signe >.
6,2 > 5,6 > 4,9 > 4,89 > 4,8999 > 0,999 Exercices 1, 3, 5 page 4
II. Ecriture fractionnaire
a) Définition
Une écriture fractionnaire est une division de deux nombres (décimaux ou pas) que l’on écrit sous la forme
b a.
b
a a donc la même valeur que le quotient de a par b. (Le nombre qui remplace a est appelé numérateur, celui qui remplace b est appelé dénominateur.)
Remarque : Un même nombre peut donc avoir plusieurs écritures.
Une écriture décimale : 2,5 Une écriture fractionnaire :
3 5 , 7
Une fraction : 2
5 ; 5 est le ………… et 2 est le ……….
Remarque : Que peut on dire de 2 5et de
4 10
En effet, qu’est ce qui différencie une écriture fractionnaire d’une fraction ?
→ Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.
b) Fraction décimale
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, 10000, etc…
Exemples : 1000...
,8745 100 , 75 10 ,84 10
3
Remarque :
On lit 3 dixièmes, ou 0,3. 3 est donc le chiffre des dixièmes dans la fraction décimale . 10
3
On lit 84 dixièmes, ou 8,4. Il y a 84 dixièmes dans la fraction , 10
84 8 est donc le chiffre des
unités, 4 est celui des dixièmes dans la fraction décimale . 10 84
On lit 8745 millièmes, ou 87,45. Il y a 87 unités dans la fraction , 1000
8745 87 est donc le nombre
des unités, 4 est celui des dixièmes et 5 celui des centièmes dans la fraction décimale . 1000 8745
Exercices 2, 3, 8, 10 page 10
III. Abscisse d’un point
Définition : On appelle axe gradué une demi-droite graduée munie d’une origine 0, d’une unité I et d’une flèche indiquant la continuité de l’axe.
On repère chaque point par un nombre appelé abscisse, on note ce nombre en dessous de l’axe gradué. On note (I ;1) les coordonnées du point unités, A (3) ou
3
A celles du point A, B (6)
ou
6
B celles du point B.
Sur cet axe, placer les points (A ; ) 10
23 puis (B ; 0.5)
Exercices 3, 5, 7 page 6 Exercices 13-14 page 7
IV. Encadrement, troncature et arrondi d’un nombre
1. ordre
Définition : Ranger des nombres par ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand de gauche à droite en utilisant le signe <.
Exemple :
0,56 < 0,6 < 0,67 < 0,7 < 1,5 < 5,008 < 5,34 Méthode :
Pour comparer deux nombres décimaux, on peut s’aider de zéros inutiles dans un tableau.
Exemple :
Comparons 5,6047 et 5,612.
5 6 0 4 7
= = < ….. ……
5 6 1 2 0
On complète le tableau si besoin est par des zéros inutiles. Dès qu’une ligne fournit une réponse au cas par cas, on obtient le résultat recherché.
Définition : Ranger des nombres par ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit de gauche à droite en utilisant le signe >.
6,2 > 5,6 > 4,9 > 4,89 > 4,8999 > 0,999 2. « Simplification » d’un nombre
Pour trouver une expression « plus courte » d’un nombre, on utilise l’une des trois méthodes suivantes :
1) La troncature 2) L’encadrement 3) L’arrondi
Définition : Effectuer une troncature, c’est couper un nombre au rang voulu sans tenir compte des chiffres situés après le rang précisé.
Exemples :
Tronquer 2,458 au dixième→2,4 Tronquer 23,989 au centième→23,98
Définition : Encadrer un nombre par deux autres à un rang donné, c’est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre telle que leur différence soit égale au rang précisé.
Exemples :
1) Encadrer 17,63 à l’unité :
On recherche quel est le nombre entier qui se situe juste avant 17,63 → 17 On ajoute 1 pour obtenir la différence égale à 1.
Le résultat s’écrit de la manière suivante :
17 < 17,63 < 18 Remarque : 17 est en fait la partie entière de 17,63 ! 2) Encadrer 784,543 au centième :
On recherche quel est le nombre « coupé » au centième juste avant 784,543 → 784,54 On ajoute un centième pour obtenir la différence voulue.
Le résultat s’écrit de la manière suivante :
784,54 < 784,543 < 754,55 Exemple : 5,348
On cherche donc à donner une idée la plus proche possible de ce nombre : o Soit on laisse l’écriture fractionnaire ou la fraction
o Soit on donne un encadrement o Soit on donne une troncature Travaillons 5,348 au centième :
La troncature est 5,34, ensuite on ajoute un dixième pour trouver le nombre de droite : 5,34 < 5,348< 5,35
Définition : Effectuer un arrondi, c’est trouver le nombre le plus proche au rang voulu selon le chiffre situé juste après ce rang.
Tronquer 2,458 au dixième→2,4
Tronquer 23,989 au centième→23,99 Remarques :
1) Cet arrondi est un des deux nombres de l’encadrement.
2) Si le chiffre « oublié » est 5, alors on arrondi au supérieur.
Exercices 23,27 page 8 Exercices 1-3-4-7 page 9
