§ D. Nombres premiers

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Licence Math-info/ Math-´eco Alg`ebre S1

§ A. Divisibilit´ e

Exercice 1. — Montrer que pour toutn∈N, l’entier7ⁿ−1 est divisible par6.

Exercice 2. — Soienta, b ∈ N^∗. On note q le quotient de la division euclidienne de a par b et r son reste.

Supposons quer>q. Quel est le quotient de la division euclidienne deaparb+ 1?

Exercice 3. — Soienta, b∈N^∗ tels quea > b. Comparer les quotients et les restes des divisions euclidiennes deapara−bet deb para−b.

Exercice 4. — Soientm, n∈N^∗ tels que m > net soit rle reste de la division euclidienne demparn. Quel est le reste de la division euclidienne de2^m−1par2ⁿ−1?

§ B. pgcd et ppcm

N.B. — Dans la suite, lepgcdde deux entiersa, b(non tous deux nuls) est not´epgcd (a, b)oua∧b. De mˆeme, leppcmde deux entiersa, best not´eppcm (a, b)oua∨b.

Exercice 5. — Montrer que √

2 est un nombre irrationel, c’est-`a-dire qu’il n’existe pas d’entiers p, q tels que p∈Z,q∈N^∗ et√

2 =p/q.

Exercice 6. — Soienta, b∈N^∗premiers entre eux. Montrer que pgcd (a−b, a+b)vaut1ou2.

Exercice 7.— Soienta, b∈N^∗ premiers entre eux. Montrer quepgcd (a+b, b) = 1puis quepgcd (a+b, ab) = 1.

Exercice 8.— Soienta, bdes entiers non tous les deux nuls. Montrer qu’alors15a+ 4bet11a+ 3bne sont pas tous les deux nuls et montrer que leurpgcdvautpgcd (a, b).

Exercice 9. — Soienta, b, c∈N^∗.

1^o) Montrer que sipgcd (a, b) = pgcd (a, c) = 1, alorspgcd (a, bc) = 1.

2^o) En d´eduire que siaetbsont premiers entre eux, alors pour tout(p, n)∈N², les entiersa^petbⁿ sont aussi premiers entre eux.

Exercice 10. — Soitn∈Net soitp∈Ntel quep>2.

1^o) Montrer quepgcd (pⁿ−1, p) = 1. En d´eduire la valeur de pgcd (p²ⁿ−1, pⁿ⁺¹−p).

2^o) Montrer quepgcd pⁿ,Pn−1 k=0p^k

= 1et en d´eduire la valeur depgcd (pⁿ⁺¹−pⁿ, pⁿ−1).

Exercice 11. — Pour toutn∈N, on poseFn= 2²ⁿ+ 1.

1^o) Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N^∗, on a F_n−2 =Qn−1 p=0F_p.

2^o) En d´eduire que pour toutn∈Net toutk∈N^∗, les entiersF_n et F_n+k sont premiers entre eux.

Remarque. —Les nombresF_n sont appel´esnombres de Fermat (math´ematicien et juriste fran¸cais, 1601–1665).

1

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§ C. ´ Equations diophantiennes

Exercice 12. — R´esoudre dansZl’´equationxy= 2x+ 3y.

Exercice 13. — 1^o) Calculer637∧595.

2ô) L’équation diophantienne637x+ 595y= 91admet-elle des solutions ? Si oui, les déterminer toutes.

3ô) L’équation diophantienne637x+ 595y= 143admet-elle des solutions ? Si oui, les déterminer toutes.

Exercice 14. — R´esoudre les ´equations diophantiennes suivantes :

(a) 9x+ 15y= 82, (b) 205x+ 93y= 1, (c) 693x+ 1911y= 42, (d) 56x+ 72y= 36.

Exercice 15. — Un groupe de 48 personnes veut acheter des pâtisseries à raison d’une par personne. Les pâtisseries sont conditionnées en lots de 10et en lots de6.

1ô) Quelle équation diophantienne correspond à cette situation ? La résoudre.

2ô) Le lots de10pâtisseries coûte20euros et le lot de6en coûte15. Quelle est la solution la plus économique pour le groupe ?

Exercice 16. — Trouver tous les couples d’entiers(x, y)tels que xy= 2700etx∧y= 6.

Exercice 17 (CC3 Décembre 2010). — Résoudre l’équation diophantienne d’inconnuesx, y∈Zsuivante : 340x+ 138y= 6

Exercice 18 (CC2 Novembre 2011). — R´esoudre dansZ² l’´equation diophantienne 42x+ 35y= 8

Exercice 19 (CC2 Novembre 2013). — D´eterminer l’ensemble des couples d’entiers (x, y) solutions de l’´equation Diophantienne

15x+ 6y= 21

Exercice 20 (CC2 Avril 2014). — Un de vos camarades collectionne les figurines d’heroic fantasy. Il com- mence à les ranger dans des caisses à 64 places. Il lui reste 16 figurines. Il change d’avis et les range dans des caisses à 15 places. Il reste 5 figurines. Combien peut-il avoir de figurines ? (donner toutes les solutions possibles).

Exercice 21 (CC2 Novembre 2014). — On consid`ere l’´equation Diophantienne suivante 152x+ 29y= 3

(a) Montrer que cette ´equation admet une solution.

(b) Calculer une solution particuli`ere de cette ´equation.

(c) En déduire toutes les solutions de cette équation en détaillant bien le raisonnement.

§ D. Nombres premiers

Exercice 22. — Soitn∈N^∗. Montrer par contraposition que si 2ⁿ−1est un nombre premier, alorsnest un nombre premier. La r´eciproque est-elle vraie ?

Remarque. — Les nombres de la forme 2ⁿ −1 avec n premier sont appelés nombres de Mersenne (moine, mathématicien et philosophe fran¸cais, 1588–1648) ; on les noteM_n. Le plus grand nombre premier connu à ce jour estM_32582657; il comporte9808358chiffres.

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Exercice 23.— 1ô) Soitpun nombre premier et soitα∈N^∗. Déterminer le nombre de diviseurs positifs dep^α. 2ô) Soient petq des nombres premiers distincts. Quels sont les diviseurs positifs dep²q? Donner également la liste des diviseurs dep³q².

Exercice 24. — Trouver1000entiers cons´ecutifs non premiers.

Exercice 25. — 1^o) D´ecomposer8160en produit de facteurs premiers.

2^o) Trouver tous les entiersa, b∈N^∗ tels quea>b, a∧b= 5eta∨b= 8160.

Exercice 26. — Démontrer à partir du résultat de l’exercice 11qu’il y a une infinité de nombres premiers.

§ E. Congruences

Exercice 27. — Soienta, b, c, d, m, ndes entiers tels quem>2et n>2. Démontrer les propriétés suivantes : 1ô)a≡b[m] =⇒b≡a[m].

2^o) (a≡b[m]) et (b≡c[m])

=⇒a≡c [m].

3^o) (a≡b[m]) et (c≡d[m])

=⇒a+c≡b+d[m].

4^o) (a≡b[m]) et (c≡d[m])

=⇒ac≡bd[m].

5^o) (ac≡bc[m]) et (m∧c= 1)

=⇒a≡b[m].

6^o) (ac≡bc[mc]) et (c6= 0)

=⇒a≡b [m].

7^o) (a≡b[n]) et (m|n)

=⇒a≡b[m].

8^o) (a≡b[m]) et (a≡b[n]) et (m∧n= 1)

=⇒a≡b [mn].

Exercice 28. — Démontrer les critères de divisibilité suivants :

1^o) Un entier est divisible par2si et seulement si son dernier chiffre est pair.

2^o) Un entier est divisible par5si et seulement si son dernier chiffre est 0ou5.

3^o) Un entier est divisible par3si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par3.

4^o) Un entier est divisible par4 si et seulement si le nombre form´e par ses deux derniers chiffres est divisible par4.

5^o) Un entier est divisible par9si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par9.

6ô) Un entier est divisible par11si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par11(par exemple, la somme alternée des chiffres de1728est1−7 + 2−8 =−12).

Exercice 29. — `A l’aide d’un tableau de congruences, montrer que pour touta∈Z, l’entiera²+ 3n’est pas divisible par5.

Exercice 30. — Montrer que pour toutn∈N, on a10⁶ⁿ+ 10³ⁿ≡2 [111].

Exercice 31. — Soita∈Z. Montrer quea²est congru à0,1ou4modulo8. En déduire que pour toutn∈N, l’équationa²+b²+c²= 8n−1 n’admet aucune solution(a, b, c)∈Z³.

Exercice 32. — 1^o) Quel est le reste de la division euclidienne de2¹⁸par7? 2^o) Quel est le reste de la division euclidienne de2⁴⁹par7?

3^o) Quel est le reste de la division euclidienne de62²¹ par7? 4^o) Quel est le reste de la division euclidienne de247³⁴⁹par7?

5^o) Quel est le reste de la division euclidienne de2222³³³³+ 3333²²²² par5?

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Exercice 33. — Résoudre les équations suivantes : 1ô)3x≡5 [7],

2^o)2x≡5 [6], 3^o)2x≡4 [6].

Exercice 34. — Résoudre les systèmes suivants : 1ô)

(x≡3 [7], x≡5 [19];

2^o)

(x≡2 [18], x≡8 [45];

3^o)

(x≡2 [18], x≡11 [45].

Exercice 35. — Déterminer les éléments inversibles de Z/6Z et dresser la table de multiplication de Z/6Z. Même question pourZ/12Z.

Exercice 36. — Résoudre dansZ/12Zles équations suivantes : 1ô)7(x+ 4) = 0,

2^o)3(x+ 4) = 0.

Exercice 37 (CC2 Novembre 2010). — 1ô) Rappeller l’énoncé du théorème de Bézout et du théorème chinois.

2ô) Calculer le pgcd de 627 et 440. Donner une identité de Bézout pour ces deux nombres.

3ô) On considère dansZle système de congruences :

(x≡13 [627], x≡46 [440];

4ô) Résoudre surZl’équation diophantienne627x−440y= 33.

5ô) Résoudre surZle système précédent.

Exercice 38 (CC3 D´ecembre 2010). — Soientxety deux entiers v´erifiant (1) x+y

x²−xy+y² = 2 7

1^o) Montrer quex+y etx−y sont pairs.

2^o) Soientuetv deux entiers tels que2u=x+y et2v=x−y. Montrer que l’on a 2(7−u) = 3v²

3ô) En déduire les solutions de l’équation(1).

Exercice 39 (CC2 Novembre 2011). — Le 5 mars 2013 est un mardi. Quel jour sera-t-on le 5 mars 2014 ? NB : Les réponses qui ne comporteront pas de formalisation mathématique seront notées 0.

Exercice 40 (CC2 Novembre 2011). — L’objectif est de r´esoudre dansZl’´equation (E) 39x²+ 19x+ 22≡0 [55]

1) Trouver des entiersuet v tels que39u+ 55v= 1

2) En d´eduire que 39 est inversible dansZ/55Zet calculer son inverse.

3) Montrer que l’équation(E)est équivalente à l’équation (E⁰) x²+ 16x+ 33≡0 [55]

(5)

4) En d´eduire que sixest solution de(E⁰), alors

(x²+x+ 3 ≡0 [5]

x²+ 5x ≡0 [11] (1)

5) Résoudre dansZ/5Zl’équationx²+x+ 3 = 0 Résoudre dansZ/11Zl’équationx²+ 5x= 0

6) En appliquant le théorème chinois, déterminer les solutions de(E)dansZ/55Z

NB : Les questions 5) et 6) sont sur 6 points à elles deux et sont indépendantes du reste du problème

Exercice 41 (CC3 Décembre 2011). — Sur un bateau, 17 pirates souhaitent se partager leur butin de x pièces d’or en parts égales. Ils font donc 17 tas. Il reste 3 pièces qu’ils prévoient de donner à leur cuisinier chinois, lorsqu’éclate une bagarre qui fait 6 morts. Aucune pièce n’est perdue mais il faut refaire le partage. Ce nouveau partage en parts égales laisse 4 pièces au cuisinier chinois. A ce moment, le cuisinier envisage d’empoisonner tout l’équipage pour garder le butin pour lui seul. Quelle est la plus petite valeur possible dex, que peut alors espérer obtenir le cuisinier ?

Exercice 42 (CC2 Novembre 2012). — Montrer que pour toutn∈N, 11 divise2⁶ⁿ⁺⁵+ 3²ⁿ.

Exercice 43 (CC2 Novembre 2012). — L’objet de l’exercice est de r´esoudre l’´equationx²+ 1≡0 [65]

1) Montrer quexest solution si et seulement si

(x≡5 [13] ou x≡8 [13]) et (x≡2 [5] ou x≡3 [5])

2) Simetnsont des entiers tels que5m+ 13n= 0, montrer que13divisemet5 divisen.

3) Trouveruetv tels que13u+ 5v= 1.

4) R´esoudre

(x ≡5 [13]

x ≡2 [5]

(x ≡5 [13]

x ≡2 [5]

5) Sachant quex≡8 [13] si et seulement si−x≡5 [13], trouver toutes les solutions entre 0 et 64 de x²+ 1≡0 [65]

Exercice 44 (CC2 Novembre 2013). — On fixe un entier positifn.

a) Montrer que lorsquenest impair, 8 divise7ⁿ+ 1.

b) Lorsquenest pair, d´eterminer le reste de la division par7ⁿ+ 1par 8.

Exercice 45 (CC2 Novembre 2013). — D´eterminer l’ensemble des entiersxsolutions de l’´equation (x ≡5 [13]

x ≡4 [19]

Exercice 46 (CC2 Avril 2014).— 1) Calculer3^k modulo10pourk allant de0 `a4.

2) Calculer en fonction de l’entier positifnle reste de la division Euclidienne de3ⁿ par10.

3) Montrer que pour tout entier positifn, 19ⁿ−3²ⁿ est divisible par 10.

Exercice 47 (CC3 Juin 2014). — Soitnun nombre entier premier strictement sup´erieur `a3.

1) Montrer qu’alorsn≡1[6] oun≡ −1[6].

2) Citer trois nombresnqui v´erifientn≡1[6] oun≡ −1[6]qui ne sont pas premiers.

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Exercice 48 (CC2 Novembre 2014). — Montrer que l’´equation 42x³−15x²+ 3x+ 2 = 0 n’admet pas de solution enti`ere. Justifier.

Indication : on pourra supposer qu’une telle solutionx∈Zexiste et traduire l’´equation en terme de congruence modulo un entier njudicieusement choisi.

Exercice 49 (CC2 Novembre 2014). — (a) Donner la liste des nombres premiers plus petits que15.

(b) En d´eduire que223est un nombre premier.

(c) Montrer que223 divise666⁶⁶⁶−1.

Exercice 50 (CC3 Décembre 2014). — Déterminer l’ensemble des entiersxsolutions de l’équation (x ≡17 [24]

x ≡2 [9]

§ F. Calculs sur les polynˆ omes

Dans toute cette feuille, la lettreK d´esigneQ,R ouC.

Exercice 51. — Trouver un polynˆomeP `a coefficients dansQtel que P(1) = 2, P(2) = 1, P(4) = 7.

Exercice 52. — SoitP(X) =a0+a1X+· · ·+a_n−1Xⁿ⁻¹+anXⁿ∈Q[X].

(a) On suppose que a_i ∈Z pour tout 0 ≤i≤ n. Montrer que si le rationnelp/q (avecp∈ Z, q ∈N^∗ et pgcd(p, q) = 1) est racine deP, alorspdivisea₀ etqdivisea_n.

(b) Que peut-on en d´eduire si le polynˆomeP est unitaire ?

(c) Montrer que le polynˆomeP(X) = 6X³−2X²+ 3X+ 4 n’a pas de racine rationnelle.

§ G. Division euclidienne

Exercice 53. — SoientP(X) =X⁵+X⁴+αX³+βX²+ 5X−2et Q(X) =X³−2X+ 1 deux ´el´ements de K[X], avecα, β∈K. D´eterminerαetβ pour queQdiviseP.

Exercice 54. — Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne deP parQ: (a) P(X) =X⁷+ 2X³−X²+ 1 etQ(X) =X²+X+ 2

(b) P(X) = 2X⁸ etQ(X) =X³−2X²+ 1

(c) P(X) = (1 +i)X⁴−5X²+ (2i−1)X+ 7 etQ(X) =X²−iX+ (i−1)

§ H. Irr´ eductibilit´ e

Exercice 55. — On consid`ere les polynˆomes de R[X]suivants : P(X) =X⁴+ 2X³+ 3X²+ 2X et Q(X) = X²+X+ 2

(a) Le polynômeP a deux racines évidentes : lesquelles ? DécomposerP en produit de polynômes irréduc- tibles deR[X].

(b) D´eterminer le pgcd unitaire deP etQdansR[X].

(c) SoitS∈R[X].

(a) À quelle condition peut-on écrire, dansR[X], le polynômeS sous la formeS =U P +V Q(?).

(b) PrenonsS=X³+X−2. D´eterminer les couples(U, V)de polynˆomes satisfaisant(?).

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Exercice 56. — SoitP(X) = 16X⁵−20X³+ 5X−1.

(a) Effectuer la division euclidienne deP par son polynôme dérivéP⁰. (b) FactoriserP dansR[X].

Exercice 57 (Examen Septembre 07). — Soit le polynˆomeP(X) =X³+X²−2X−8.

(a) Montrer queP admet une racine et une seule,α, que l’on d´eterminera.

(b) Factoriser le polynˆomeP dansR[X]et C[X].

Exercice 58. — On considère le polynôme réel P(X) =X⁶+X⁵+X⁴−aX²−X−b, o`ua, b∈R.

(a) `A quelle condition sur aetb le polynˆomeX³−1divise-t-ilP? (b) On suppose queX³−1diviseP.

(a) DécomposerP en produit de polynômes irréductibles dansR[X].

(b) Mˆeme question dansC[X].

Exercice 59. — Montrer que le polynˆomeP(X) =X³+X−1est irr´eductible dansQ[X].

Exercice 60 (Examen Septembre 08). — (a) Quels sont les polynˆomes irr´eductibles dansR[X]? dans C[X]?

(b) Décomposer en produit de polynômes irréductibles dansR[X]les polynômes suivants : X³+ 1, X⁴+X³+ 2X²+X+ 1.

(c) Mˆeme question dansC[X].

Exercice 61 (CC3 Décembre 2010). — DansC[X], on considère les polynômes P(X) =X⁴+X³+ 2X²+X+ 1, Q(X) =X³−3X²+X−3.

(a) Faire la division euclidienne deP parQ.

(b) Le polynôme Qadmet une racine réelle évidente : laquelle ? Décomposer Qen produit de polynômes irréductibles dansC[X].

(c) En déduire une décomposition deP en produit de polynômes irréductibles dansC[X].

(d) Donner le pgcd deP et Q.

Exercice 62 (CC3 Décembre 2011).— Soitnun entier au moins égal à 2. SoitP = (X+ 1)ⁿ−(X−1)ⁿ∈ C[X].

(a) Montrer que1 n’est pas racine deP.

(b) Montrer queP admet au moins une racine dansC.

(c) Quelles sont les racines complexes du polynˆomeQ=Xⁿ−1? (d) Soitα∈Cune racine deP. CalculerQ

α+1 α−1

. (e) En d´eduire toutes les racines deP.

Exercice 63 (CC3 D´ecembre 2011). — SoitP =X³−6X²+ 11X−6∈R[X].

(a) DécomposerP en facteurs irréductibles deR[X]. Quelles sont les racines réelles deP? (b) On considère les matrices

C=





0 0 6

1 0 −11

0 1 6



, I₃=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



.

Soitλ∈R. Montrer quedet(C−λI₃) =−P(λ). Pour quelle(s) valeur(s) deλla matriceC−λI₃est-elle inversible ?

(8)

(c) On pose

V =





1 1 1 1 2 4 1 3 9



.

Montrer queV est inversible et calculer son inverse.

(d) CalculerV CV⁻¹. Que constate-t-on ?

Exercice 64 (CC3 Décembre 2011). — SoientAet B deux polynômes à coefficients dansQ. (a) On effectue la division euclidienne deAparB dansQ[X]:

A=BQ+R.

Montrer que la division euclidienne deAparB dansC[X]est ´egalementA=BQ+R.

(b) On suppose queAetBsont premiers entre eux dansQ[X]. D´eduire de1)queAetBsont aussi premiers entre eux dansC[X].

(c) SoitP un polynôme irréductible deQ[X]. Montrer queP et son polynôme dérivéP⁰ sont premiers entre eux dansQ[X].

(d) D´eduire deb)etc)queP n’a pas de racine double dansC.

Exercice 65 (CC3 Décembre 2012). — Soit un la suite récurrente d’ordre 3 définie par un+3 =un+2+ u_n+1+u_n pour toutnappartenant àNet par(u₂, u₁, u₀) = (4,1,2).

Premi`ere partieLes trois parties sont ind´ependantes.

(a) Montrer que pour toutndeN:



 u_n+3 u_n+2 u_n+1



=





1 1 −1 1 0 0 0 1 0







 u_n+2 u_n+1 u_n





(b) Montrer que pourbr´eeldet(A−bI3) =−P(b)avecP =X³−X²−X+ 1avec

A=





1 1 −1 1 0 0 0 1 0



 I3=





1 0 0 0 1 0 0 0 1





(c) D´ecomposerP en facteurs irr´eductibles deR[X]. Quelles sont ses racines ? (d) Pour quelles valeurs debla matrice(A−bI3)est-elle inversible ?

Deuxi`eme partie

Soitnun entier naturel, il existe un unique couple(Q, R)de polynômes deR[X]tels que :Xⁿ=Q(X)P(X) + R(X) avecdeg(R)< 3 (division euclidienne). Nous écrivons R(X) = aX²+bX+c, avec a, b, c des nombres réels.

(a) Trouver trois racines, pas n´ecessairement distinctes, deXⁿ−R(X).

(b) Soitn= 2ketk∈Z. Montrer que les coefficientsa, b, csatisfont le syst`eme d’´equations :







a+b+c = 1 2a+b =n a−b+c = 1.

(c) D´eterminer le polynˆomeR(X)pourn= 2k.

Troisi`eme partie

(a) Pour touten= 2k, montrer que Aⁿ=





k+ 1 0 −k

k 1 −k

k 0 −k+ 1





(9)

(b) Montrer que pour toutndeN:



 u_n+3 u_n+2 un+1



=Aⁿ⁺¹



 u₂ u₁ u₀





(c) Trouveru2012.

Exercice 66 (CC3 D´ecembre 2012). — SoitP ∈C[X]un polynˆome tel queXP(X−1) = (X−2)P(X), deg(P)≤netn≥2.

(a) Montrer que 0 et 1 sont racines deP.

(b) On suppose queP admet une racinea∈Cnon enti`ere.

(a) Montrer quea−1 eta+ 1 sont aussi racines.

(b) Montrer queP admet une infinit´e de racines.

(c) En d´eduire queP = 0.

(c) On suppose maintenant queP est non nul, donc il ne peut donc pas avoir de racine non enti`ere.

(a) Montrer comme `a la question (2) que 0 et 1 sont les seules racines deP. (b) En d´eduire queP est de la formeαx^k(x−1)^l avecα∈C,k, l∈N^∗,k+l≤n.

Exercice 67 (CC3 D´ecembre 2012). — SoitP ∈Z[X]tel queP(0) et P(1) sont impairs. Montrer queP n’a pas de z´ero dansZ.

Indication : consid´ererx∈Z. CalculerP(x)modulo 2.

Exercice 68 (CC3 D´ecembre 2013). — SoitP le polynˆome P =X⁴−2X³+ 3X²−2X+ 1

(a) CalculerD= pgcd(P, P⁰).

(b) Trouver deux polynˆomes U et V tels queD=U P +V P⁰. (c) D´eterminer les racines doubles deP dansC.

(d) EcrireP comme produit de polynˆomes irr´eductibles dansR[X].

(e) De mˆeme dansC[X].

Exercice 69 (CC3 D´ecembre 2013). — Soitn∈N^?,

P = (X+ 1)ⁿ−Xⁿ−1

Le but de l’exercice est de d´eterminern∈N^? tel queP ait une racine multiple dansC. (a) Soita∈C. Montrer que siaest une racine multiple deP, alors

(a+ 1)ⁿ−aⁿ−1 = 0 et n(a+ 1)ⁿ⁻¹−naⁿ⁻¹= 0 (b) Montrer que(a+ 1)ⁿ⁻¹=aⁿ⁻¹= 1.

(c) Montrer que|a|= 1et|a+ 1|= 1.

(d) En d´eduire quea=−¹₂+i

√ 3

2 oua=−¹₂−i

√ 3 2 . Dans la suite, on posea1=−¹₂+i

√3

2 eta2=−¹₂−i

√3 2 .

(e) Mettre les solutionsa₁et a₂sous forme polairere^iϑ. En d´eduire quen−1 est un multiple de 3.

(f) Supposons quen= 1 + 3k, aveck∈N^?. Montrer que sia₁est une racine multiple deP, alorskest pair.

On admettra que si a₂est une racine multiple deP, alorskest pair.

(g) R´eciproquement, montrer que sin≡1[6], alorsa₁ eta₂ sont des racines multiples deP. Conclure.

(10)

Exercice 70 (CC3 Juin 2014). — On consid`ere le polynˆomeP =X⁴−X³−X+ 1.

1) Montrer que1 est une racine multiple deP.

2) En d´eduire la d´ecomposition deP en facteurs premiers dansR[X]etC[X].

Exercice 71 (CC3 Juin 2014). — On consid`ere le polynˆome deC[X] Pn=

n

X

k=0

X^k k!

Pn a-t-il une racine multiple ?

Exercice 72 (CC3 Décembre 2014). — On considère le polynômeP =X⁵+X⁴+ 2X³+ 2X²+X+ 1 (a) Trouver une racine évidente du polynômeP.

(b) Montrer quei est racine multiple deP dansC.

(c) Montrer qu’il existe alors une deuxi`eme racine multiple deP que l’on d´eterminera.

(d) DécomposerP comme produit de polynômes irréductibles dansR[X].

Exercice 73 (CC3 Décembre 2014). — On rappelle que si P ∈ R[X], on note P⁰ le polynôme dérivé de P et P⁰⁰ = (P⁰)⁰ la dérivée seconde de P. Le but de cet exercice est de trouver tous les polynˆomes P ∈R[X] solutions de l’équation

(E) : (2X²+ 1)P⁰⁰(X)−12P(X) = 0.

(a) SiP est non nul, de degrén, etP(X) =anXⁿ+. . .+a1X+a0(avecan 6= 0), montrer que le coefficient du terme de degréndu polynôme(2X²+ 1)P⁰⁰(X)est 2n(n−1)an.

(b) Quel est, lorsque P est non nul, le coefficient du terme de degr´e n du polynˆome (2X²+ 1)P⁰⁰(X)− 12P(X)?

(c) En déduire que siP est solution non nulle du problème posé, alors nécessairementn= 3.

(d) On consid`ere alorsP de la formeP(X) =aX³+bX²+cX+d, avecanon nul. Calculer explicitement (2X²+ 1)P⁰⁰(X)−12P(X).

(e) En déduire que toutes les solutions de (E) sont proportionnelles à un même polynôme de degré3 que l’on déterminera.

Exercice 74 (CC3 D´ecembre 2014). — SoitP =X³−5X²+ 8X−4 dansR[X].

(a) Trouver une racine évidente deP et décomposerP en produit de polynômes irréductibles deR[X].

(b) On consid`ere les matrices A=





3 −1 1

2 0 1

1 −1 2



, I3=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



.

Soitλ∈R. Calculer le déterminant de la matriceA−λI₃. Comparer ce déterminant avec le polynôme P.

(c) Pour quelle(s) valeur(s) deλla matriceA−λI3est-elle inversible ? (d) CalculerA³−5A²+ 8A−4I3

(e) En d´eduire la matrice inverseA⁻¹en fonction de A.

§ I. Nombres complexes

Exercice 75. —

1. Calculer les racines carr´ees des nombres complexes suivants : z1= 1 +i√

3; z2= 5−12i; z3= 9 + 40i; z4=−12−16i.

2. R´esoudre dansCles ´equations suivantes (on pourra utiliser la forme polaire) z²= 3−4i; z²=−2√

3 + 2i; z²= 4e^2π³ ; z⁶=−1; z³= 1 +i.

(11)

Exercice 76. — R´esoudre dansCles ´equations suivantes 1. iz²+ (1−5i)z+ 6i−2 = 0;

2. (2 + 3i)z²+ (i−8)z+ (1−5i) = 0; 3. 2z²+ (5 +i)z+ 2 + 2i= 0;

4. (2 +i)z²+ (2i−6)z+ 4 + 7i= 0.

Exercice 77. —

1. R´esoudre sous forme polairez⁴=i.

2. R´esoudre sous forme alg´ebriquez²=i.

3. En utilisant ce qui précède, résoudre sous forme algébriquez⁴=i.

4. En d´eduire les valeurs decos (π/8)etsin (π/8).

Exercice 78. —

1. Calculer les racines carr´ees de1 +i√

3et de 5−12i.

2. Calculer les racines quatri`emes de−1 et les racines cinqui`emes de ^√¹⁺ⁱ

3−i. Exercice 79 (CC d’analyse 2009-2010).—

On veut r´esoudre dansCl’´equation suivante :

z³−(4i−2)z²−2(2 + 3i)z−4(2−i) = 0. (2)

1. D´eterminer les racines carr´ees complexes de−8i.

2. Montrer que l’équation (2) admet une solution réelle que l’on déterminera.

3. R´esoudre (2).

Exercice 80 (Examen d’analyse 2008-2009, Session 1). — 1. R´esoudre dansCl’´equation :

z⁷−1 = 0. (3)

2. Etablir que, si´ z6= 1est solution de (3),zv´erifiez⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+ 1 = 0.

3. Etablir que, si´ z est solution de (3), son conjuguéz¯vérifie, pourk∈ {0, . . . ,7},z¯^k=z^7−k. 4. Déduire des questions précédentes que

cos 2π

7

+ cos 4π

7

+ cos 6π

7

=−1 2.

Exercice 81. —

1. Soitz6= 1. Ecrire1 +z+z²+z³+z⁴=^P(z)_z−1 o`uP est un polynˆome.

2. Pour z=e^2π⁵ⁱ, calculerz⁻²+z⁻¹+ 1 +z+z².

3. Soitx= cos^2π₅ = ¹₂(z+z⁻¹). Calculer x+x². En d´eduirex.

Exercice 82. — Soitx∈]0,2π[. Simplifier les expressions, pour un entiernnon nul :

A= 1 +e^ix+· · ·+e^inx; C= 1 + cosx+· · ·+ cosnx; S= sinx+· · ·+ sinnx.

Exercice 83 (CC1 d’analyse Mars 2010). — On consid`ere le nombre complexe

a= 1−i

√3−i

a) Calculer le module et l’argument dea b) R´esoudre dansCl’´equation

z³=a

(12)

Exercice 84 (CC1 d’analyse F´evrier 2011). —

On consid`ere les nombres complexesz=e^2iπ⁵ ,α=z+z⁴ etβ =z²+z³ 1) Montrer queα+β+ 1 = 0

2) Montrer queαetβ sont r´eels.

3) En d´eduire un lien entreαetcos(^2π₅)

4) Montrer queαetβ sont solutions de l’´equation

X²+X−1 = 0

5) Résoudre l’équationX²+X−1 = 0 6) En déduire la valeur decos(^2π₅)

Exercice 85 (CC1 d’analyse Octobre 2011). — 1) Calculer les racines carr´ees complexes de :

−8 + 6i.

2) R´esoudre dansCl’´equation

z²−(1−i)z+ 2(1−i) = 0.

Exercice 86 (CC1 d’analyse Octobre 2011). — 1) Rappeler les solutions de l’´equation

z⁷= 1.

On les noteraα₀, α₁, . . . , α₆.

2) Soitk∈ {0,1, . . . ,6}. Montrer que

2 cos kπ

7

e^ikπ/7= 1 +αk

(Indication : on pourra utiliser la formule d’Euler) 3) Soitk∈ {0,1. . . ,6}. Calculer

(1 +α_k)⁷.

4) En d´eduire que les7 points du plan complexe d’affixe

(1 +α₀)⁷, (1 +α₁)⁷, . . . ,(1 +α₆)⁷

sont align´es.e

Exercice 87 (CC3 d’analyse Décembre 2011).— Résoudre dansCl’équation

z³=−1

Exprimer les solutions sous forme alg´ebrique.

(13)

§ J. Matrices

Exercice 88. — ´Ecrire explicitement la matriceA= (aij)`a nlignes etpcolonnes dans les cas suivants : 1. n= 2, p= 3et a_ij =i+j.

2. n= 4, p= 3et aij = min(i, j).

3. n= 2, p= 3et aij =j(−1)ⁱ.

4. n= 5, p= 5et aij =δij o`uδest le symbole de Kronecker d´efini parδij=

1 sii=j 0 sinon . 5. n= 4, p= 4et aij = (1−δij)i j.

6. n= 3, p= 3et aij = cos(^iπ₃) sin(^jπ₃).

Exercice 89. — Consid´erons les quatre matrices M =

1 0 1 1 3 9

, N =





1 3

−1 7

2 4



 Q=

1 0 2 0

P =





−2 −1 4

7 3 5

8 9 5





Parmi les calculs suivants, d´eterminer ceux qui sont licites et ceux qui ne le sont pas et effectuer les calculs lorsqu’ils sont possibles.

(a) N P, (b) P N,

(c) M N +Q², (d) M N +P,

(e) ^tM Q+N Q, (f) (QM)N+^tQ

Exercice 90. — Parmis les matrices suivantes lesquelles sont toujours ´egales `a (A+B)²?

(B+A)², A²+ 2AB+B², A(A+B) +B(A+B), (A+B)(B+A), A²+AB+BA+B²

Exercice 91. — SoitA∈ M2(R), d´ecrire les colonnes deEAet les lignes deAE lorsqueE=

1 7 0 1

.

Exercice 92. — Le produit de deux matrices triangulaires sup´erieures est triangulaire sup´erieure (i.e : les coefficients sous la diagonale sont tous nuls). Calculer le produit suivant :





1 0 1 0 2 9 0 0 3









1 3 −1

0 −1 7

0 0 5





puis d´eduire la proposition de la r`egle de calcul du produit matricielle.

Exercice 93. — Calculer explicitementAⁿ (n∈N) pourA=

1 1 1 1

puis pourA=





0 0 1 0 1 0 1 0 0



.

Exercice 94. — Pour tout nombre r´eelθ, on pose R(θ) =

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

1. Montrer que quels que soientθ₁, θ₂∈R: R(θ₁+θ₂) =R(θ₁)R(θ₂).

2. En d´eduire que quels que soientθ∈Ret n∈N: R(θ)ⁿ=R(nθ).

3. Soientaet bdes nombres r´eels. On suppose b6= 0et l’on consid`ere la matrice A=

a −b b a

Montrer qu’il existe un unique nombreλ >0et un unique nombre θ∈]0,2π[tels queA=λR(θ).

(14)

4. Calculer

−1 −√

√ 3 3 −1

ⁿ

pour tout entiern∈N.

Exercice 95. — Soienta, b∈C. Montrer que l’on a pour tout entiern≥0 :

a b 0 a

n

=

aⁿ naⁿ⁻¹b 0 aⁿ

Exercice 96. — Soit

A=





1 2 3 0 1 2 0 0 1





(a) Calculer(A−I)ⁿ pour toutn∈N. (b) CalculerAⁿ pour toutn∈N.

(c) Soient(un), (vn)et(wn)trois suites réelles définies par la données deu0, v0, w0 et







u_n = u_n−1+ 2v_n−1+ 3w_n−1 v_n = v_n−1+ 2w_n−1

w_n = w_n−1

Calculer(u_n), (v_n)et (w_n)en fonction de n,u₀,v₀ et w₀.

Exercice 97 (CC 1 Octobre 2012). — Pour tout entiern non nul, on consid`ere Mn la matrice deMn(R) dont les coefficientsmi,j sont

mi,j= 0 sij < i−1ou sij > i+ 1 mi,j= 1 sij=i−1

mi,j= 3 sij=i m_i,j= 2 sij=i+ 1 Ainsi

Mn=





 3 2 1 3 2

1 3 2 . ..

1 3 2 1 3





 .

On notedn= det(Mn).

(a) Calculerd1, d2, d3, d4.

(b) Montrer que ∀n≥3 d_n= 3d_n−1−2d_n−2. (c) Montrer que ∀n∈N^∗ dn = 2ⁿ⁺¹−1.

Indication : on pourra raisonner par r´ecurrence

§ K. Syst` emes lin´ eaires

Exercice 98. — Résoudre, quand c’est possible, les systèmes linéaires suivants : (a)







2x+ 5y+ 4z =−22

3x+y =−2

3x−z = 3

(b)







2x+ 6y+ 7z = 3

2x+ 3z = 5

−2x+ 9y+ 3z = 8 (c)

(5x+ 7y−3z+t = 2 2x+ 3y+z−2t = 2

(d)







−2x−z =−5 y+ 3z = 11

−3x−y−5z =−20 (e)







x+y =−4

3x+ 3y+z =−12 5x+ 4y+ 5z =−19

(f)







−x+ 2y+z = 1

−x−3y = 4

−3x+ 2z = 7

(15)

Exercice 99 (Examen Septembre 2007). — Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre dans R³ le système suivant :







x−y+z = 1 3x+my+ 2z = 3 mx+ 3y+z = 2

Exercice 100. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs du paramètrem∈R:







x−my+m²z =m mx−m²y+mz = 1 mx+y−m³z =−1

Exercice 101. — Résoudre le système suivant en fonction des paramètresa, b, c, d∈R:











x+y =a y+z =b z+t =c t+x =d

Exercice 102. — Le syst`eme suivant admet-il des solutions surR:











2x+y+z = 3 x−y+ 3z = 8 x+ 2y−z =−3 x+y+ 2z =−1

Exercice 103. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs du paramètreα∈C:







x+αy+α²z = 0

¯

αx+y+αz = 0

¯

α²x+ ¯αy+z = 0

Exercice 104. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs des paramètres réelsm, a, b, c.







x−y+ 2z =a

mx+ (1−m)y+ 2(m−1)z =b 2x+my−(3m+ 1)z =c

Exercice 105 (CC 1 Octobre 2010). — Soitmun paramètre réel. Discuter et résoudre dansR³le système suivant :







x+y+mz =m x+my−z = 1 x+y−z = 1

Exercice 106 (CC 3 Décembre 2010).— Soitmun paramètre réel. Discuter et résoudre dansR³le système suivant :







2x+y−z = 1 x+my+z = 0 3x+y−mz = 1

Exercice 107 (CC 1 Octobre 2011).— Soitλun paramètre réel. Résoudre dansR³ le système suivant :







x+ 3y+ 2z = 4 (λ−5)x+ 3y+ 7z = 7 2x+λy+ 4z = 8

(4)

(16)

Exercice 108 (CC 1 Octobre 2012). — Résoudre le système suivant dansR³ en fonction du paramètre réel m:







x+my+m²z = 3 mx+m²y+mz =−3

x+mz = 2

Exercice 109 (CC 1 Octobre 2013). — Résoudre le système suivant dansR³ en fonction du paramètre réel a:







x+ay+z = 1 ax+y+ (a−1)z =a x+y+z =a+ 1

Exercice 110 (CC 3 Décembre 2013). — Soit mun paramètre réel. Déterminer, en fonction de la valeur dem, les solutions dansR³ du système suivant :







x+ 2y−9z = 1

−y+mz =−2

−x+my+z = 7

Exercice 111 (CC 1 Mars 2014).— Résoudre le système suivant dansR³en fonction du paramètre réelm:







x+y−z = 1

(m−1)x+m(m−1)y+ 2z = 1

x+my+ 2z = 1

§ L. Pivot de Gauss

Exercice 112. — Les matrices suivantes sont-elles bien ´echelonn´ees ? A=



 1 1 0 1 0 1



, B=





1 4 0 0 1 8 0 0 −1



, C=





1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0



, D=

0 0 0 1 0 1

, E=

2 0 0 1

F =





1 2 −1 1 0 0 0 0 0



, G=





0 0 1 0 0 0 0 0 0



, H =

1 2 3 0 4 5

, I=In

Exercice 113. — Soit

A=







1 2 −2 3

2 5 −4 6

−1 −3 2 −2

2 4 −3 6







(a) Calculer le produitM Apour chacune des matricesM suivantes :

(a)M =







1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 1







, (b)M =







0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1







, (c)M =







1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







(b) Montrer que chaque matrice M A peut aussi être obtenue par une opération élémentaire sur les lignes de A. Déterminer laquelle.

(c) On suppose maintenant que A ∈ M₄(K) est quelconque. Etablir que chaque matrice M A peut être obtenue par une opération élémentaire sur les lignes de A et déterminer laquelle.

(17)

Exercice 114. — 1. Écrire les matrices associées aux systèmes suivant

(a)







4x+y = 0 3x+y = 0

y = 0

(b)







−z+ 2t = 0 3y+ 7z+ 5t = 0 y+z−t = 0

(c)











x+ 4y = 9

−y+ 7z = 19 3x+ 2y+t = 11 5x+ 6y+ 8t = 49

(d)







x+y+ 3z+ 7t+ 6r= 0 2x+ 5y+ 12z+ 11t+ 18r= 1 3x+ 6y+ 15z+ 18t+ 25r= 0

2. Mettre sous forme bien échelonnées les matrices précédentes.

3. Résoudre les systèmes. (Nb : Résoudre le système (b) pour(x, y, z, t)∈R⁴)

§ M. Inversion de Matrices

Exercice 115. — Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses en utilisant la méthode des opérations élémentaires sur les lignes :

A=





0 1 0 1 0 0 0 0 1



, B=







1 0 0 3

0 1 8 0

0 0 −1 2

0 0 0 1







, C=





0 2 −3 5 0 −1 0 0 −7



, D=

1 3

−1 4

Exercice 116. — Montrer que les matrices suivantes ne sont pas inversibles : A=





7 3 2

5 1 −2

−3 1 6



, B=





1 2 3 4 5 6 7 8 9





Exercice 117 (Examen Novembre 2004). — Une matrice carr´ee est dite idempotente siA²=A.

(a) Donner 3 exemples de matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels ou complexes.

(b) Soient A et B deux matrices carr´ees d’ordrentelles queAB=AetBA=B. Montrer queAetB sont idempotentes.

(c) On pose

A=





2 −3 −5

−1 4 5

1 −3 −4



 et B =





−1 3 5

1 −3 −5

−1 3 5





(c1) Montrer que AetB sont idempotentes, mais queAB6=A.

(c2) Montrer que les matricesAet B ne sont pas inversibles.

Exercice 118. — SoitA∈ Mn(K), on suppose qu’il existe un entierp∈N^∗ tel queA^p= 0(une telle matrice est ditenilpotente). Montrer que la matriceI_n−Aest inversible.

§ N. D´ eterminants

Exercice 119. — Calculer les d´eterminants suivants :

∆1=

1 3 2 −1

∆2=

1 2 −2 0 1 3 0 4 1

∆3=

2 −3 1

1 0 −1

2 1 −1

(18)

Exercice 120. — 1. D´emontrer que les d´eterminants suivants sont nuls :

D=

4 1 −3

−7 −3 9

3 2 −6

∆(a, b) =

a 2a 2a 0 0 3b b 2b 0

(o`u a, b∈C) 2. Calculer

2 7 8 4 3 2

−1 1 2

+

2 7 8

−1 1 2 4 3 2

Exercice 121. — Soienta, b, c∈R. On consid`ere la matrice A=





1 1 1

a b c a² b² c²





1. Montrer quedet(A) = (b−a)(c−a)(c−b).

2. Pour toutn∈N, on poseS_n=aⁿ+bⁿ+cⁿ. Montrer que

3 S1 S2

S1 S2 S3

S₂ S₃ S₄

= (b−a)²(c−a)²(c−b)²

On pourra calculer les coefficients de la matriceA^tA

Exercice 122. — Soienta, b, c∈R. Calculer le d´eterminant

1 cos(a) cos(2a) 1 cos(b) cos(2b) 1 cos(c) cos(2c)

Exercice 123. — Pour quelle valeur dea∈Rle syst`eme suivant admet-il une solution unique ?







x+ 2y+z = 1

2x+ (a+ 3)y+ 3z = 2 x+ (3−a)y+ (a−2)z = 3

D´eterminer dans ce cas cette solution `a l’aide des formules de Cramer.

Exercice 124 (CC1 Octobre 2010). — On consid`ere la matrice A=





3 9 −9 2 0 0 3 3 −3





(a) CalculerA², A³, A⁴, que remarque t’on ?

(b) Calculer(I3−A)(I3+A+A²). On rappelle queI3est la matrice identit´e deM3(R) (c) Montrer queI₃−Aest inversible.

(d) Calculer son inverse.

(e) On fixeλ∈R. Calculerdet(A−λI3). Pour quelles valeurs deλ, la matrice(A−λI3)est-elle inversible ? (f) (Question subsidiaire) : On suppose que la matrice(A−λI₃)est inversible. Calculer son inverse.

(19)

Exercice 125 (CC3 D´ecembre 2010). — SoientP, Q∈ M3(R)telles que P =





1 1 1 1 1 1 1 1 1



 Q= 1

4(I3+P)

(a) CalculerP², P Q, QP en fonction deP.

(b) Calculer(4I₃−P)QetQ(4I₃−P). Que peut-on conclure concernantQ?

(c) Montrer que pour tout entier natureln, il existe des r´eels(a_n)et(b_n)tels que :Qⁿ =a_nI₃+b_nP. Les suites(a_n)et(b_n)v´erifiant :

a_n+1 = ¹₄a_n b_n+1 = ¹₄a_n+b_n

aveca0= 1et b0= 0.On pensera `a un raisonnement par r´ecurrence.

(d) En d´eduire une expression dean en fonction de n.

(e) Montrer que∀n∈N^∗ :

n−1

X

k=0

(bk+1−bk) =bn

(f) En d´eduire que∀n∈N:b_n= ¹₃ 1−₄¹n

(g) Donner alors l’expression deQⁿ en fonction de net sous forme matricielle.

Exercice 126 (CC 1 Octobre 2011).— On consid`ere la matrice A=





13 −8 −12 12 −7 −12

6 −4 −5





1) CalculerdetA.

2) CalculerA². 3) En d´eduireA⁻¹.

Exercice 127 (CC 1 Octobre 2013). — Soit A une matrice de Mn(R). On note I la matrice identit´e de Mn(R). On suppose que(I+A)est inversible et on poseB = (I−A)(I+A)⁻¹.

(a) Montrer que(I+A)(I−A) = (I−A)(I+A).

(b) En d´eduire queB= (I+A)⁻¹(I−A).

(c) Calculer(I+B)(I+A). En d´eduire que(I+B)est inversible et exprimer Aen fonction deB.

Exercice 128 (CC 1 Mars 2014). — SoitAune matrice deM_n(R)v´erifiantA²= 0.

(a) Montrer queA n’est pas inversible.

(b) On note Ila matrice identit´e deMn(R). Montrer queI+Aest inversible et calculer son inverse Exercice 129 (CC3 Juin 2014).— Pour tout entiernnon nul, on consid`ereMn la matrice deMn(C)dont les coefficientsm_i,j sont

mi,j= 0 sij < i−1ou sij > i(saufm1,n) m_i,j= 1 sij=i−1

mi,j=−X sij=i m_1,n= 1

(20)

Ainsi

Mn=







−X 1

1 −X

. .. . ..

1 −X





 .

On noteD_n = det(M_n).

(a) CalculerD₁, D₂, D₃, D₄.

(b) Montrer que ∀n∈N D_n= (−1)ⁿ(Xⁿ−1).

(c) En d´eduire toutes les valeursz∈Ctelles queM_n(z)n’est pas inversible.

Exercice 130 (CC 1 Octobre 2014).— On consid`ere les matrices A=





1 0 0 0 1 1 3 1 1



, B=





1 1 1 0 1 0 1 0 0



, et C=





1 1 1

1 2 1

0 −1 −1



.

(a) Calculer les produitsAB etAC. Que constate-t-on ? (b) La matrice peut-elle ˆetre inversible ? Justifier.

(c) Trouver toutes les matricesF ∈ M₃(R)telles queAF = 0_noù0_n désigne la matrice nulle. (Indication : considérer une matrice quelconque de la forme





a b c d e f g h i



et résoudre un système linéaire.)

Exercice 131 (CC 1 Octobre 2014).— Soitm un param`etre r´eel.

(a) Discuter et résoudre en fonction du paramètremles solutions dansR³du système (S)







x+my+z= 1

mx+y+ (m−1)z=m x+y+z=m+ 1

.

(b) En calculant un d´eterminant, retrouver le fait que sim6= 1, alors ce syst`eme admet une unique solution.

Exercice 132 (CC 1 Octobre 2014).— On consid`ere les matrices dansM3(R)d´efinies par A=





3 0 −1

2 4 2

−1 0 3



 et P =





1 0 1

−2 1 0 1 0 −1



.

(a) Montrer que la matriceP est inversible et d´eterminer son inverse.

(b) Calculer la matrice d´efinie parD:=P⁻¹AP. Que peut-on dire deD? (c) CalculerDⁿ pour tout entiern∈N.

(d) En d´eduireAⁿ pour n∈N.