A10586. Division impossible
On considère les nombres de 70 chiffres écrits (en base 10) seulement avec les chiffres 1,2,3,4,5,6,7, utilisés 10 fois chacun. Montrer qu’aucun de ces nombres n’est divisible par un autre de la même forme.
Solution
Pour chacun de ces nombres, la somme des 70 chiffres est 280, et le reste de sa division par 9 est 1.
Si A divise B = qA, le produit du reste de A modulo 9 par le reste de q modulo 9 donne le reste de B modulo 9, à un multiple de 9 près.
Mais ici A etB ont le même reste ; le quotient q devrait avoir 1 pour reste modulo 9. Si A < B, q >1 mais avec reste 1 modulo 9, q est au moins 10, etB a plus de chiffres queA, d’où contradiction.
