Polytech Paris Sud - ET4 Année 2018-2019
Informatique Théorique :
Langages rationnels et non rationnels
TD n ◦ 4
Semaine du 8 octobre
Rationnel ou non ?
Exercice 1. On considère l'alphabet A = {a, b}. Parmi les langages suivants, lesquels ne sont pas rationnels ? Justier.
1. {anbn|n≥0}
2. {anban|n≥0}
3. {anan|n≥0}
4. {ambp|m < p}
5. {ambp|m≥p}
6. {anbm|n≥10 et m≤5}
7. {anbm|n≥10 et m≥5}
8. {w| |w|a≥10 et |w|b ≤10}, où |w|a est le nombre d'occurrences deadansw 9. {w| |w|a=|w|b}
10. {anbm|n+m≤1024}
11. {anbmanbm|n, m≥0}
12. {w|w est un palindrome}
Exercice 2 (bonus). Varier de méthodes et utiliser tantôt Myhill Nérode tantôt le lemme de l'étoile pour l'exo précédent (en fonction de ce que vous avez fait précédemment).
Arden, résiduels et égalités d'expressions rationnelles
Exercice 3. On considère l'alphabetA={a, b} et l'automateA suivant surA : 1
start 1 2 3 a
b
a, b
b a
Déterminer le système d'équations associé à A. Le résoudre par élimination et à l'aide du lemme d'Arden et en déduire une expression rationnelle du langage reconnu par A. Montrer que cette expression est équivalente àA∗aA.
Calculer à présent l'ensemble des résiduels de ce langage L = A∗aA. En déduire l'automate minimal reconnaissant L. Comment expliquez-vous qu'il ait plus d'états que l'automateA?
Commentaire en C
Exercice 4. L'automate asynchrone suivant dénit les commentaires en langageC. L'al- phabet est celui de tous les caractères du clavier. Pour éviter la multiplication des transi- tions sur le schéma, l'étiquette¬{x1, . . . , xn}d'une transition représente n'importe quelle lettre de l'alphabet distincte des lettres x1, . . . , xnmentionnées entre accolades (la tran- sition ayant cette étiquette représente donc en fait un ensemble de transitions, une par lettre du clavier autre quex1, . . . , xn).
1 start
2
3 4
5
7 8 9
10 6
11 12 13 /
∗
ε ε
ε
ε
ε
∗
¬{∗}
∗
¬{∗, /}
/
∗
∗
ε
ε
ε
1. Déterminiser puis compléter cet automate.
2. Minimiser par l'algorithme de Moore l'automate synchrone déterministe complet obtenu.
3. En déduire une expression rationnelle pour les commentaires enC.
2
