I Bilan de particules

Diffusion de particules

I Bilan de particules

1. Dans l’espace r ą R 0 , il y a sym´ etrie sph´ erique. On a donc : n “ nprq et ~j “ jprq~ u r . Par ailleurs, il y a conservation du nombre de particules entre deux sph` eres de rayon r ₁ et r ₂ ą r ₁ (r´ egime permanent) :

N prq “ jprq4πr ² “ K

Cette constante est ´ egale au nombre de particules produites par unit´ e de temps dans la boule de rayon R ₀ , soit

jprq4πr ² “ q 0

4

3 πR ³ ₀ soit jprq “ q 0 R ³ ₀ 3r ²

Dans l’espace r ă R ₀ , on raisonne de la mˆ eme mani` ere, mais le nombre de particules traversant une surface sph´ erique de rayon r est d´ esormais ´ egale ` a

N ¹ “ q 0

4 3 πr ³ ce qui donne

jprq “ 1 3 q ₀ r

Les 2 solutions se raccordent ´ evidemment en r “ R ₀ puisque j est continu.

2. On utilise la loi de Fick en coordonn´ ees sph´ eriques ~j “ ´D Bn

Br ~ u _r . Comme n ne d´ epend que de r, dans le domaine r ă R ₀ , on a

´D dn dr “ 1

3 q ₀ r et dans le domaine r ą R ₀

´D dn

dr “ q 0 R ³ ₀ 3r ² En int´ egrant sur les 2 domaines, on trouve

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

nprq “ ´ 1 6

q 0 r ²

D ` a pour r ă R 0

“ q ₀ R ₀ ³

3Dr ` b pour r ą R ₀

(1)

Les constantes a et b se d´ eterminent avec les conditions aux limites npR ^` ₀ q “ npR ^´ ₀ q et npr Ñ 8q “ 0.

soit $

&

%

b “ 0

´ 1 6

q 0 R ² ₀

D ` a “ q 0 R ³ ₀

3DR ₀ soit a “ q 0 R ² ₀ 2D

(2) ce qui donne comme r´ esultat :

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

nprq “ ´ 1 6

q ₀ r ²

D ` q ₀ R ² ₀

2D pour r ă R ₀

“ q 0 R ³ ₀

3Dr pour r ą R 0

(3)

II R´ eacteur ` a neutrons

1. On consid` ere un tranche de mat´ eriau de section S entre x et x ` dx. Le nombre de neutrons est ´ egal

`

a dN “ cdV “ cSdx et sa variation temporelle est donn´ ee par dN dt “ Bc

Bt Sdx. Le flux de particule entrant dans le volume dV en x vaut

φ ₁ “ ´jpx, tqS et il sort en x ` dx

φ 2 “ jpx ` dx, tqS

Le bilan global pour le flux entrant de particules est donc compte tenu de l’orientation de la surface vers l’ext´ erieur du volume :

´pφ 1 ` φ 2 q “ jpx, tqS ´ jpx ` dx, tqS “ ´ Bj Bx dxS Par ailleurs, dans le volume dV le milieu absorbe une quantit´ e de neutrons

dN a

dt “ cv λ a

dV

et produit pour chaque neutron absorb´ e p neutrons. Le terme de cr´ eation/annihilation vaut alors dN _a

dt “ pp ´ 1q cv λ _a dV On peut alors faire un bilan de mati` ere :

Bc

Bt Sdx “ ´ Bj

Bx Sdx ` pp ´ 1q cv

λ _a dV (4)

En simplifiant par dV “ Sdx, et en utilisant la loi de Fick, on trouve Bc

Bt “ D B ² c

Bx ² ` pp ´ 1q cv

λ _a (5)

2. Ici p “ 0 et Bc

Bt “ 0, donc

d ² c dx ² ´ cv

Dλ a

“ 0 (6)

dont les solutions sont de la forme (puisque l’´ equation est de la forme y” ´ ay “ 0) cpxq “ a exp

ˆ

´ x

` ₀

˙

(7)

o` u ` 0 “

c λ a D

v . Il faut utiliser les conditions aux limites pour d´ eterminer a et b. Ici b “ 0, sinon cpxq diverge en x Ñ `8. La source ´ emet φ ₀ neutrons par unit´ e de surface et de temps, donc φ ₀ {2 dans la direction des x ą 0. On a donc

jp0q “ φ ₀

2 “ ´D dc dx ˇ ˇ ˇ ˇ 0

“ ´Da 1

` <sub>0</sub> donc a “ φ <sub>0</sub> ` ₀

2D (8)

ce qui donne :

cpxq “ φ ₀ ` ₀ 2D exp

ˆ

´ x

` 0

˙

(9)

3. En r´ egime stationnaire ^Bc _Bt “ 0 et cpx, tq ne d´ epend que de x : D d ² c

dx ² ` pp ´ 1q cv

λ _a “ 0 (10)

ce qui donne

d ² c

dx ² ` pp ´ 1q cv Dλ a

“ d ² c

dx ² ` c p ´ 1

` ² ₀ “ 0 (11)

o` u ` 0 “

c λ a D

v . Cette ´ equation a pour solution (p ´ 1 ą 0) : cpxq “ a cos

ˆ

a p ´ 1 x

` ₀

˙

` b sin ˆ

a p ´ 1 x

` ₀

˙

(12) Cette ´ equation doit satisfaire aux conditions aux limites :

cp˘L{2q “ a cos ˆ

a p ´ 1 L 2` 0

˙

˘ b sin ˆ

a p ´ 1 L 2` 0

˙

(13) ce qui conduit ` a :

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

a “ 0 et sin ˆ

a p ´ 1 L 2` ₀

˙

“ 0

b “ 0 et cos ˆ

a p ´ 1 L 2` 0

˙

“ 0

(14)

c doit aussi ˆ etre strictement positif, ce qui n’est pas possible avec la solution a “ 0 (le terme en sin est n´ egatif pour 0 ^´ ), donc on choisit la solution b “ 0, ce qui implique

cos ˆ

a p ´ 1 L 2` 0

˙

“ 0 ñ a

p ´ 1 L 2` 0 “ π

2 (15)

On a donc pour solution

cpxq “ cp0q cos

´ πx L

¯

(16) Pour L et ` 0 fix´ es, on peut calculer p qui vaut alors

p c “ 1 ` π <sup>2</sup> ` ² ₀

L ² (17)

Imaginons le syst` eme en r´ egime non permanent. Si ` a l’´ etat initial, p “ p _c , on a alors cpx, 0q “ cp0, 0q cos

ˆ

a p _c ´ 1 x

` ₀

˙

– Si p ă p c , alors ` a t “ 0 B ² c

Bx ² ` c p ´ 1

` ² ₀ “ ´ p c ´ 1

` <sup>2</sup> <sub>0</sub> cpx, 0q ` cpx, 0q p ´ 1

` ² ₀ “ p ´ p c

` ² ₀ ă 0 et dans ce cas, Bc

Bt ă 0, le r´ eacteur va s’arrˆ eter – Si p ą p c , alors

B ² c

Bx ² ` c p ´ 1

` ² ₀ ą 0 et dans ce cas, Bc

Bt ą 0, le r´ eacteur va diverger

4. On reprend l’´ equation g´ en´ erale (5) dans laquelle on introduit la grandeur ` 0 : 1

D Bc Bt “ B ² c

Bx ² ` c p ´ 1

` ² ₀ (18)

soit, en utilisant la m´ ethode de s´ eparation des variables : 1

D f ¹ g “ f g ² ` f ¨ g p ´ 1

` ² ₀ (19)

que l’on r´ e´ ecrit

1 D

f ¹ f “ g ²

g ` p ´ 1

` ² ₀ (20)

Cette ´ equation est une ´ egalit´ e entre un membre d´ ependant du temps et un membre d´ ependant de x, et

donc 1

D f ¹

f “ g ²

g ` p ´ 1

` ² ₀ “ ´γ, γ ą 0 constant (21) Les solutions pour f sont de la forme fptq “ a expp´Dγtq. Les solutions pour gpxq doivent ˆ etre de type sinuso¨ıdal pour satisfaire aux conditions aux limites, ce qui impose que les solutions de l’´ equation pour g

g ² `

„ p ´ 1

` <sup>2</sup> <sub>0</sub> ` γ



g “ 0 (22)

la solution suivante

gpxq “ g 0 cos

˜ x

d p ´ 1

` <sup>2</sup> <sub>0</sub> ` γ

¸ avec

d p ´ 1

` <sup>2</sup> <sub>0</sub> ` γ L 2 “ π

2 pcf 3.q (23)

Or d

p _c ´ 1

` ² ₀ L 2 “ π

2

donc p c ´ 1

` ² ₀ “ p ´ 1

` <sup>2</sup> <sub>0</sub> ` γ ñ γ “ p c ´ p

` ² ₀ (24)

On obtient alors la loi d’´ evolution de la densit´ e de neutrons : cpx, tq “ cp0, 0q exp

ˆ

´ p _c ´ p

` ² ₀ Dt

˙ cos

´ πx L

¯

(25) La constante de temps associ´ ee au probl` eme vaut

τ “ ` ² ₀

D » 2, 5 ¨ 10 ^´5 s

ce qui pose un certain nombre de probl` emes techniques pour contrˆ oler le r´ eacteur nucl´ eaire.

III Relation d’Einstein

1. Trois forces s’exercent sur les particules : le poids P ~ “ m~ g, la pouss´ ee d’Archim` ede Π ~ “ _ρ ^ρ

p

m~ g et la force de frottement f ~ “ ´6πηR~ v. Le principe fondamental de la dynamique s’´ ecrit donc (axe Ox dirig´ e vers le haut)

m d~ v

dt “ ´mg ˆ

1 ´ ρ ρ p

˙

~ u x ´ 6πηRv ~ u x (26)

La vitesse limite est atteinte pour m ^d~ _dt ^v “ 0, soit

~ v _L “ ´ m ^˚ g

6πηR ~ u _x (27)

2. Le nombre de particules δN traversant une surface S perpendiculaire ` a ~ u x du au mouvement de

”chute” des particules est ´ egal ` a

δN “ npx, tqSv _L dt “ ij

~j ₁ ¨ d ~ S “ j ₁ Sdt (28)

~j ₁ est dirig´ e vers le bas, donc

~j ₁ “ ´npx, tqv _L ~ u _x (29)

3. Par d´ efinition, le vecteur densit´ e de courant de particules dˆ u ` a la diffusion est

~j ₂ “ ´D ÝÝÑ

gradn “ ´D Bn

Bx ~ u x (30)

4. En r´ egime permanent, les deux courants doivent s’annuler pour que la densit´ e n ne d´ epende pas du temps :

´nv _L ´ D dn

dt “ 0 ñ `nv <sub>L</sub> ` D dn

dt “ 0 (31)

5. La solution de cette ´ equation diff´ erentielle est : npxq “ A exp

´

´ v _L x D

¯

“ A exp

´

´ x H

¯

(32) o` u H “ D{v L est la hauteur typique sur laquelle se r´ epartissent les particules au fond du r´ ecipient.

6. Par identification avec la formule de Boltzmann, v L

D “ m ^˚ g

6πηRD “ m ^˚ g

kT (33)

soit

D “ kT

6πηR (34)

Diffusion Thermique

IV R´ esistance thermique entre 2 cylindres

1. Compte tenu de la g´ eom´ etrie cylindrique infinie, en coordonn´ ees cylindriques, T ne d´ epend pas de z ni de θ, donc T “ T prq.

2. ~j _Q “ ´λ ÝÝÑ

gradT “ ´λT ¹ prq~ u r .

3. On effectue un bilan ´ energ´ etique sur une coquille cylindrique comprise entre r et r ` dr. On applique le premier principe de la thermodynamique (` a pression constante)

d ² H “ δ ² Q ` δ <sup>2</sup> W <sup>˚</sup> “ δ <sup>2</sup> Q “ pΦprq ´ Φpr ` drqqdt (35) En r´ egime permanent, dH{dt “ 0, donc

Φprq “ Φpr ` drq (36)

ce qui d´ emontre que Φ ne d´ epend pas de r.

4. Par d´ efinition, en r´ egime permanent

R _th “ T ₁ ´ T ₂ Φ

ou T 1 est la temp´ erature int´ erieure et T 2 ext´ erieure. Il faut calculer le flux sur la surface lat´ erale du cylindre.

Φ “ ij

S

~j _Q ¨ d ~ S “ ij

S

j _Q prqdS “ j _Q prq ij

S

dS “ j _Q prq2πrl (37)

On a alors pour la temp´ erature Φ “ ´λT ¹ prq2πrl, ce qui donne pour la temp´ erature T ¹ prq “ ´ Φ 2πλl que l’on int` egre entre r 1 et r 2 :

T 2 ´ T 1 “ ´ Φ 2πλl ln r 2

r 1

(38) et donc

R _th “ 1 2πλl ln r 2

r ₁ (39)

V Impression de chaud et de froid

1. Dans la section de gauche, en r´ egime permanent ~j _Q est port´ e par l’axe Ox et est donn´ e par j _Q “

´K 1 dT

dx . Par ailleurs, en r´ egime permanent, dans un volume Sdx, d ² U “ d ² Q “ pjpxq ´ jpx ` dxqqS “ 0, ce qui donne

dj

dx dxS “ ´K ₁ d ² T

dx ² dxS “ 0 soit

d ² T

dx ² “ 0 (40)

La solution est donc T pxq “ ax ` b. Comme T p0q “ T 0 “ b et T p´L 1 q “ T 1 “ ´aL 1 ` T 0 , il vient T 1 pxq “ T 0 ´ T 1

L 1

x ` T 0

De mˆ eme pour la section ` a droite, on trouve en utilisant les conditions aux limites T p0q “ T <sub>0</sub> “ b <sup>1</sup> et T pL 2 q “ T 2 “ a <sup>1</sup> L 2 ` T 0

T ₂ pxq “ T ₂ ´ T ₀ L 2

x ` T ₀ 2. Entre 2 solides en contact parfait, le vecteur ~j _Q est continu, donc

j Q1 px “ 0q “ j Q2 px “ 0q donc ´K 1

dT 1 pxq dx

ˇ ˇ ˇ ˇ x“0

“ ´K 2

dT 2 pxq dx

ˇ ˇ ˇ ˇ x“0

ce qui donne en d´ erivant :

K 1

T 0 ´ T 1

L ₁ “ K 2

T 2 ´ T 0

L ₂ (41)

En d´ eveloppant et en regroupant les termes K 1

T ₀ L 1

` K 2

T ₀ L 2

“ K 1

T ₁ L 1

` K 2

T ₂ L 2

(42) et en posant m i “ K i {L i

T 0 “ m 1 T 1 ` m 2 T 2

m 1 ` m 2

(43) 3. Si L 1 “ L 2 “ L, on a

T 0 “ K 1 T 1 ` K 2 T 2

K ₁ ` K ₂ Num´ eriquement, dans le cas d’un contact air-aluminium,

T 0 “ 10 ¨ p273 ` 37q ` 100 ¨ p273 ` 20q

10 ` 100 “ 294, 5 K “ 21, 5˚ C Dans le cas d’un contact air-bois,

T 0 “ 10 ¨ p273 ` 37q ` 1 ¨ p273 ` 20q

10 ` 1 “ 308, 5 K “ 35, 8˚ C

VI Refroidissement par ailette

1. La puissance thermique surfacique (ou flux thermique) est donn´ ee par dP “ hpT ´ T 0 qdS pour le ph´ enom` ene de convection, on a donc

rhs “ rP s rT srL ² s

Par ailleurs, ~j _Q “ ´K ^BT _Bx , donc dP “ j ¨ dS “ ´K ^BT _Bx dS. On a donc rKs “ rP srLs

rT srL ² s donc

rλs “

ˆ rKas rhs

˙ _1{2

“

¨

˝

rP srLs rT srL

s rLs

rP s rT srL

s

˛

‚

1{2

“ rLs (44)

2. Cette hypoth` ese est justifi´ ee par l’uniformit´ e de la temp´ erature dans une section de la barre. Il n’y a donc pas de gradient de temp´ erature sur un axe autre que l’axe Ox, et donc pas de diffusion dans une autre direction.

3. On ´ etudie un r´ egime stationnaire, on fait l’´ etude pour un ´ el´ ement de volume de longueur dx. Son

´

energie interne est d ² U “ d ² Q (pas de travail ´ echang´ e) et d ² Q “ δ ² Q _d ` δ ² Q _L

dont les contributions viennent de la diffusion et du ph´ enom` ene d’´ echange conducto-convectif. Le terme de diffusion vaut

δ ² Q d “ pjpxq ´ jpx ` dxqq S dt “ ´ dj

dx dx S dt “ ´ dj

dx dx πa ² dt et le terme d’´ echange (signe ´ car le milieu perd cette chaleur) :

δ ² Q L “ ´hpT ´ T 0 q dS L dt “ ´hpT ´ T 0 q2πa dx dt d’o` u le bilan global :

d ² Q “ ´ dj

dx dx πa ² dt ´ hpT ´ T ₀ q2πa dx dt “ 0 (45) Comme j suis la loi de Fourier ~j “ ´K ^dT _dx , on obtient, en simplifiant par dxdt :

K d ² T

dx ² πa ² ´ hpT ´ T 0 q2πa “ 0 (46)

soit, en r´ earrangeant les termes en en notant que d ² T ₀ {dx “ 0 : d ² pT ´ T ₀ q

dx ² ´ pT ´ T ₀ q 2h

Ka “ 0 (47)

donc

d ² pT ´ T 0 q

dx ² ` T ´ T 0

λ ² “ 0 (48)

La solution de cette ´ equation diff´ erentielle est

T pxq ´ T ₀ “ A exp

´ x λ

¯

(49) et si la temp´ erature de la machine est T p0q “ T 1 , alors

T pxq “ T ₀ ` pT ₁ ´ T ₀ q exp

´ x λ

¯

(50) 4. Sans ailette, le flux thermique dissip´ e est φ “ hpT 1 ´ T 0 qS, avec ailette

φ ¹ “ ´K dT

dx S “ KS

λ pT 1 ´ T 0 q . Le rapport entre ces deux expressions donne l’efficacit´ e du dispositif :

η “ φ ¹ φ “

KS

λ pT 1 ´ T 0 q hpT ₁ ´ T ₀ qS “ K

hλ “ 200 (51)

avec les valeurs de l’´ enonc´ e.

VII Formation d’une couche de glace

1. Le vecteur densit´ e de courant thermique est donn´ e par la loi de Fourier ` a une dimension ~j _Q “ ´λ ^BT _Bx . Par ailleurs, en effectuant un bilan sur une couche de glace d’´ epaisseur dx de section S sur une dur´ ee dt, dans notre cas sans travail

d ² H “ d ² Q “ pφpxq´φpx`dxqqdt “ p ij

S

~j _Q pxq¨d ~ S´

ij

S

~j _Q px`dxq¨d ~ Sqdt “ Sdtpjpxq´jpx`dxqq “ Sdt Bj Bx dx Ici, d ² H “ c _p dT “ 0 puisque la capacit´ e calorifique de la glace est n´ egligeable, donc

Bj

Bx “ ´λ B ² j

B ² x “ 0 (52)

qui a pour solution

Tpx, tq “ ax ` b

Avec les conditions aux limites Tp0, tq et T pl, tq “ T c , on trouve comme solution T px, tq “ T p0, tq ` T c ´ T p0, tq

eptq x (53)

2. Il faut maintenant raisonner sur une surface verticale de section dS de hauteur l comprenant de la glace et de l’eau. Entre les instants t et t`dt, la hauteur de glace passe de eptq ` a eptq`de. La masse de glace correspondant ` a la variation de est ´ egale ` a dm “ dSρde ce qui d´ egage l’´ energie thermique δQ “ L f dm qui est ´ evacu´ ee vers l’air au dessus du lac par conduction dans la glace.

A l’int´ erieur de la glace, on a δQ “ ~j _q ¨ d ~ Sdt “ ´j _Q dSdt car ~j _Q est dirig´ e vers le haut. On a alors δQ “ dSdtλ BT

Bx “ dSdtλ T _c ´ T p0, tq eptq ce qui donne

dSdtλ T c ´ T p0, tq

eptq “ L _f dSρde ñ de dt “ λ

L _f ρ

T c ´ Tp0, tq

eptq (54)

Enfin, ` a la surface du lac, δQ “ hrT p0, tq ´ T a sSdt, donc L f dSρde “ hrT p0, tq ´ T a sSdt et T p0, tq “ T <sub>a</sub> ` L _f ρ

h de

dt (55)

donc

Tp0, tq “ T _a ` L _f ρ h

λ L f ρ

T _c ´ Tp0, tq

eptq “ T _a ` λ h

T _c ´ T p0, tq

eptq (56)

ce qui donne

T p0, tq “ T a ` _heptq ^λ T c

1 ` _heptq ^λ “

heptq

λ T a ` T c

1 ` ^heptq _λ

“ T a ` T c ´ T a

1 ` hlptq{λ (57)

3. On doit ´ eliminer T p0, tq des ´ equations T c ´ T p0, tq “ T c ´

heptq

λ T a ` T c

1 ` ^heptq _λ

“

heptq λ

1 ` ^heptq _λ

pT c ´ T a q “ eptq de dt

L f ρ

λ (58)

ce qui donne

de

dt p1 ` heptq λ q “ h

L _f ρ pT c ´ T a q (59)

En int´ egrant, on trouve :

eptq ` 1 2

h

λ eptq ² “ h

L _f ρ pT c ´ T a qt (60)

et en utilisant les notations de l’´ enonc´ e eptq ²

2e ₀ ` eptq “ h

L _f ρ pT _c ´ T _a qt “ e ₀ t

τ (61)

On r´ esout cette ´ equation du second degr´ e et on trouve pour solution eptq “ e ₀

˜c 1 ` 2 t

τ ´ 1

¸

(62)

4. On remplace lptq par sa valeur dans (57)

Tp0, tq “ T a ` T c ´ T a

1 ` hlptq{λ “ T a ` T c ´ T a

b 1 ` 2 _τ ^t

(63)