MAPES – Alg`ebre et G´eom´etrie, compl´ements d’alg`ebre lin´eaire (avril 2008) (`a propos du d´ebut de l’exercice 4 de la feuille 4) Enonc´e Soient

MAPES – Alg`ebre et G´eom´etrie, compl´ements d’alg`ebre lin´eaire (avril 2008) (`a propos du d´ebut de l’exercice 4 de la feuille 4)

Enonc´e

Soient E, F deux espaces vectoriels. Leurs e.v. duaux sont not´eE^∗, F^∗ (E^∗ = L(E,R) = l’e.v. des formes lin´eaires surE). SoitL:E→F une application lin´eaire. Son application lin´eaire transpos´ee est not´ee L^t (L^t:F^∗→E^∗, ϕ7→ϕ◦L). Pour tout s.e.v. Gde E on noteG^◦ le s.e.v.

deE^∗ constitu´e des formes lin´eaires qui s’annulent sur G(de mˆeme, pour tout s.e.v. H deF, on noteH^◦. . .).

a) D´emontrer que Ker(L^t) = (ImL)^◦.

b) En d´eduire queL^test injective ssiLest surjective.

c) D´emontrer que Im(L^t) = (KerL)^◦.

d) En d´eduire queL^test surjective ssiLest injective.

e) On suppose d´esormais F =R^m, et on note Li les composantes deL. D´eduire de b) que L est surjective ssi (L1, . . . , Lm) est libre. D´eduire de d) que L est injective ssi (L1, . . . , Lm) engendreE^∗.

Solution

a) Soit ϕ∈F^∗. On a ϕ∈Ker(L^t)⇔ϕ◦L= 0⇔ϕs’annule sur ImL⇔ϕ∈(ImL)^◦.

b) D’apr`es a),L<sup>t</sup>est injective ssi (ImL)<sup>◦</sup>={0}, i.e. ssi la seule forme lin´eaire surF qui s’annule sur le s.e.v. ImL est la forme nulle, i.e. ce qui ´equivaut `a ImL =F (l’implication dans un sens est claire, et pour la r´eciproque il suffit, si ImL6=F, de choisir un hyperplan contenant ImLet une forme dont le noyau est cet hyperplan).

c) Soitψ∈E^∗. On aψ∈Im(L^t) ssiψest de la formeϕ◦Lpour un certainϕ∈F^∗. Ceci implique

´

evidemment queψest nulle sur KerL(autrement dit, queψ∈(KerL)^◦), mais r´eciproquement, si KerL⊂Kerψ alors ψ est de la formeϕ◦L pour un certainϕ∈ F^∗ : pour construire un telϕil suffit de noterαla forme lin´eaire sur ImLd´efinie parα(L(x)) =ψ(x) (cette d´efinition est non ambigue car siL(x) =L(y) alorsx−y ∈KerL⊂Kerψ), de choisir arbitrairement un suppl´ementaireV de ImLdansF et une forme lin´eaireβ sur ceV (par exempleβ= 0), et de poserϕ(u+v) =α(u) +β(v) pouru∈ImLet v∈V.

d) D’apr`es c),L^test surjective ssi (KerL)^◦=E^∗, i.e. ssi toute forme lin´eaire surE s’annule sur le s.e.v. KerL, i.e. ssi KerL={0}.

e) Notonsp₁, . . . , p_m:F →Rlesm projections canoniques (qui forment une base deF^∗), alors Li =L^t(pi) donc lesLi forment un syst`eme libre ssiL<sup>t</sup> est injective, i.e. d’apr`es b) ssiL est surjective. De mˆeme lesLi forment un syst`eme g´en´erateur (de E^∗) ssi L^t est surjective, i.e.

d’apr`es d) ssiLest injective.