ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 24 janvier 2005
Feuille d’Exercices : Calcul matriciel
Op´erations sur les matrices
Exercice 1: CalculezA2, A3, A4 puisAn dans les cas suivants :
A=
0 −1
1 0
, A=
1 0 1 0 0 0 1 0 1
, A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Exercice 2: SoitA=
5 −4 4 −3
. CalculezA100. Indication :vous pourrez utiliser la matriceJ =
1 −1 1 −1
Exercice 3: On consid`ere la matrice A=
1 1 0 0 1 1 0 0 1
1. CalculezA2 etA3.
2. Montrez que pour tout entiern∈N,An s’´ecrit sous la forme :
An=
1 an bn
0 1 an
0 0 1
3. D´eterminez les relations de r´ecurrence v´erifi´ees par les suites (an) et (bn) puis en d´eduire l’expression deAn en fonction den.
4. Soit B =A−I. Calculez Bn pour n ∈ N. En d´eduire un autre mode de calcul deAn.
Exercice 4: On consid`ere les matrices I=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
J =
0 0 0 2 0 0 0 1 0
1. CalculezJ2et J3. En d´eduire les puissances successives deJ :Jk,k≥3.
2. On poseT = 2I+J.
Donnez l’expression deTn pour tout entiern∈N.
3. On consid`ere les suites (an)n∈N?, (bn)n∈N? et (cn)n∈N? d´efinies par les rela- tions de r´ecurrence :
∀n≥2
an = 2an−1
bn = 2an−1 +2bn−1
cn = bn−1 +2cn−1
Utilisez les r´esultats des questions pr´ec´edentes pour d´eterminer les expres- sions dean,bn et cn en fonction dea1,b1,c1 et den.
Inversibilit´e Exercice 5:
1. R´esoudre en fonction de (a, b, c)∈R3le syst`eme (S)
2x +2y +3z =a
x −y = b
−x +2y +z = c 2. En d´eduire que la matrice M =
2 2 3
1 −1 0
−1 2 1
est inversible et d´eterminez son inverse.
Exercice 6:
1. Calculez l’inverse de la matriceM =
3 2 −1
1 −1 1
2 −4 5
.
2. D´eduisez-en les solutions des syst`emes
3x +2y −z = 5
x −y +z = 1 2x −4y +5z =−3
3x +2y −z =−1 x −y +z = 3 2x −4y +5z = 2
Exercice 7: Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, inversez-les ! A=
1 1 1
−1 2 1 0 1 −1
B=
3 2 1
−1 2 −1 0 1 −2
C=
1 2 4
1 −2 −1
2 0 3
Exercice 8: On consid`ere la matriceA=
1 1 0
1 1 1
0 −1 1
.
1. CalculezA3−3A2+ 3A−I.
2. En d´eduire queAest inversible et calculez son inverse.
Exercice 9: On consid`ere la matriceA
A=
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
1. Aest-elle inversible ?
2. V´erifiez queA−I est nilpotent puis calculez l’inverse deA
Rappel : une matriceM est ditenilpotentes’il existen∈N? tel que Mn= 0.
Exercice 10 : D´eterminez les valeurs du param`etre complexeλ∈ Cpour les- quelles la matrice
Aλ=
3 +λ −4 0 2
4 −5 +λ −2 4
0 0 3 +λ −2
0 0 0 −1 +λ
n’est pas inversible.
Applications
Exercice 11: On consid`ere la suite r´eelle (un)n∈Nd´efinie par : – la donn´ee de ses premiers termesu0 etu1
– la relation de r´ecurrence :
∀n∈N, un+2= 3un+1−2un
On se propose de calculer l’expression des termes de cette suite par une m´ethode matricielle.
1. SoitAla matrice
3 −2
1 0
Montrez que pour tout entier n∈N An=
2n+1−1 −2n+1+ 2 2n−1 −2n+ 2
2. V´erifiez que
∀n∈N,
un+2
un+1
=A×
un+1
un
3. En d´eduire l’expression deun etvn en fonction den,u0et u1. 4. Retrouvez ce r´esultat par la m´ethode habituelle.
Exercice 12: Soitx∈R? et A=
0 x x2
1/x 0 x
1/x2 1/x 0
1. Montrez qu’il existe deux r´eelsλetµtel que : (A−λI)×(A−µI) = 0 2. En d´eduire queAest inversible et calculez son inverse.
3. Montrez que pour tout entiern∈N,
An =αnA+βnI o`uαn etβn sont des entiers naturels.
4. On d´efinit les suitesuet v par :
∀n∈N, un =αn−βn et vn= 2αn+βn
Montrez que les suitesuetvsont g´eom´etriques. En d´eduire les expressions deun et devn en fonction den.
5. Utilisez les r´esultats pr´ec´edents pour exprimer αn et βn en fonction de n.
Explicitez finalementAn.
Exercice 13 : On consid`ere les suites r´eelles uet v d´efinies par la donn´ee de leurs premiers termesu0 etv0et les relations de r´ecurrence :
∀n∈N,
un+1 = 6un −vn
vn+1 = un +4vn
1. D´emontrez qu’il existe une matriceA∈ M2(R) telle que
∀n∈N,
un+1
vn+1
=A× un
vn
2. Montrez que l’on peut ´ecrireA= 5I+J o`u I est la matrice identit´e et J est une matrice que vous d´eterminerez.
3. CalculezAn pour tout entiern∈N.
4. D´eduisez de la question pr´ec´edente les expressions deun etvn en fonction den.
Exercices suppl´ ementaires
Syst`emes d’´equations lin´eaires Exercice 14: Pour quelles valeurs dekle syst`eme
kx +y = 1 x +ky = 1 admet-il
– aucune solution ? – une solution unique ? – une infinit´e de solutions ?
Exercice 15: R´esoudre par la m´ethode de Gauss le syst`eme
2x −3y = 8
4x −5y +z = 15
2x +4z = 1
Exercice 16: R´esoudre dansR4le syst`eme suivant :
x +2y +3z −2t = 6
2x −y −2z −3t = 8
3x +2y −z +2t = 4
2x −3y +2z +t =−8 Exercice 17: R´esoudre et discuter dansR3, suivant les valeurds du param`etre r´eel mle syst`eme
2mx +(m−1)y +(−m+ 5)z = 0 (m−1)x +2my +(m+ 7)z = 0 Exercice 18: R´esoudre dansR3,suivant la valeur du param`etre r´eelale syst`eme
2x +y +z = 3
x −y +3z = 8 x +2y +2z =−3 x +y +2z = a Exercice 19: R´esoudre suivant la valeur du param`etre r´eel t
(2 +t)x +2y −z = 0
2x +(t−1)y +2z = 0
−x +2y +(2 +t)z = 0 Exercice 20: R´esoudre et discuter suivant les valeurs dem∈Rle syst`eme
mx +2y +3z = 3
(m−1)x +my +z = 1
(m+ 1)x +my +(m−1)z =m−1
Exercice 21: R´esoudre dansR5le syst`eme
x −y +2z +3t +u = 13 x +y +2z +7t +3u = 25
−x +4y −5z +12t −4u = 2
2x −4y +5z +t = 13
4x −3y +4z +23t +9u = 84
Exercice 22: Soitn∈N, un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2,aetb deux r´eels. R´esoudre dansRn le syst`eme
x2 =ax1+b x3 =ax2+b
... = ... xn =axn−1+b x1 =axn+b Exercice 23: R´esoudre en fonction du param`etre r´eel αle syst`eme :
x +αy +α2z +α3t = 1 αx +α2y +α3z +t = 1 α2x +α3y +z +αt = 1 α3x +y +αz +α2t = 1 Exercice 24: R´esoudre et discuter en fonction des param`etres r´eelsmeta, b, c, d le syst`eme :
x +my +2mz =a
mx +y +mz =b
2mx +2my +z =c
(2m+ 1)x +3my +(2m+ 1)z =d Calcul matriciel
Exercice 25: On consid`ere la matrice carr´ee d’ordre 3 :A=
1 2 0 2 1 0 0 1 0
.
1. Trouvez toutes les matrices carr´eesB d’ordre 3 telles queA×B= 0.
2. Trouvez toutes les matrices carr´eesC d’ordre 3 telles queA×C=C×A= 0.
Exercice 26: SoitA la matrice
2 1 1 1 2 1 1 1 2
etB=A−I.
1. CalculezB2 puisBn pour tout entiern∈N?. 2. En d´eduireAn pour toutn∈N?.
Exercice 27: On consid`ere les matrices A=
1 1 1
−1 1 1 2 0 1
; B=
2 1 5
−4 1 1 4 −1 3
; C=
2 −4 3 1 −2 0
−2 2 3
1. A l’aide de la m´ethode de Gauss-Jordan d´emontrez que ces matrices sont inversibles et calculez leurs inverses.
2. D´emontrez que
(a) A3−3A2+ 2A−2I= 0. En d´eduire queAest inversible et calculez son inverse.
(b) B3−6B2−4B−24I= 0. En d´eduire queB est inversible et calculez son inverse.
(c) C3−3C2+ 6C+ 6I= 0. En d´eduire queCest inversible et calculez son inverse.
Exercice 28: SoitA=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
.
1. Montrez qu’il existe deux suites r´eelles (an) et (bn) telles que
∀n∈N, An=anI+bnA 2. Explicitezan etbn en fonction denet en d´eduire l’expression deAn.
Exercice 29: SoitA la maitriceA=
1 −1 −1
−1 1 −1
−1 −1 1
.
1. Montrez queAest inversible et calculez son inverse.
2. Montrez qu’il existe deux suites (an) et (bn) telles que pour tout entiern∈N, An=
an bn bn bn an bn bn bn an
3. Prouvez que les suites (an) et (bn) v´erifient la mˆeme relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 : un+2+αun+1+βun= 0 Calculezαet β. En d´eduire l’expression deAn pour tout entiern∈N.
4. CalculezA−n pour toutn∈N?.
Exercice 30: SoitA la matrice
5 −2 2 6 −2 3
0 0 1
.
1. Montrez queA3−4A2+ 5A−2I= 0.
2. Montrez queX3−4X2+ 5X−2 = (X−1)2(X−2).
3. En d´eduireAn pour tout entiern∈N.
Exercice 31: Soitula suite d´efinie par la donn´ee de somn premier termeu0= 12 et la relation de r´ecurrence :
∀n∈N, un+1=2un+ 1 un+ 2 1. Montrez que pour tout entiern∈N,un peut s´ecrire sous la forme d’une fractionun= pn
qn
o`upn etqn sont des entiers naturels v´erifiant pn+1
qn+1
=A× pn
qn
et Aest une matrice carr´e d’ordre 2, ind´ependante denque l’on d´eterminera.
2. Calculez pour tout entiern∈N,An et en d´eduire l’expression deun en fonction den.
3. La suiteuest-elle conbvergente. Pr´ecisez le cas ´ech´eant sa limite .
Exercice 32: On consid`ere la suiteued´efinie par la donn´ee de son premier termeu0∈Ret la relation de r´ecurrence
∀n∈N, un+1= 1 2un+ 1 On se propose d’´etudier cette suite arithm´etico-g´eom´etrique par une m´ethode matricielle.
1. SoitAla matrice
1/2 1 0 1
. Montrez que pour tout entiern∈N
An=
2−n 2−21−n
0 1
2. Montrez que
∀n∈N,
un+1 1
=A un
1
3. En d´eduire l’expression deun en fonction deu0et n.
Exercice 33: On consid`ere les matrices
A=
1 −1 0 0
0 2 −2 0
0 0 3 −3
0 0 0 4
et P =
1 −1 1 −1
0 1 −2 3
0 0 1 −3
0 0 0 1
1. Montrez que la matriceP est inversible et caclculez son inverse par la m´ethode de Gauss-Jordan.
2. Soitaun nombre r´eel. D´eterminez sans calcul, les valeurs deapour lesquellesAaI n’est pas inversible.Aest-elle inversible ? 3. V´erifiez queP−1×A×P =D est une matrice diagonale. Que remarquez-vous ?
4. Montrez par r´ecurrence que pour tout entiern∈N?
An=P×Dn×P−1 En d´eduire l’expression de la mtraiceAn en fonction den.
5. Exprimez la matriceA−1 en fonctionP,P−1 et Dpuis en d´eduire son expression.
