Régime transitoire - Temps de réponse

TF06_transitoire_06.xmcd

TF06

Régime transitoire - Temps de réponse

Données : T0:= 60°C T1:= 100°C T2:= 50×°C hc:=28.4×W×m^-2×K^-1

ρ1:= 13600×kg×m^-3 cP1:=140×J kg× ^-1×K^-1 D1:=6×mm L1:= 15×mm thermomètre

ρ2:= 7900×kg×m^-3 cP2:=460×J×kg^-1×K^-1 D2:=1×mm L2:= 30×mm thermocouple

période:= 10×min ω 2×π

période = 1.047´10^-2Hz :=

Bilan thermique sur un capteur : ρ×V×cP dT

×dt ⁼hc S× ^×

(

)

×cP

= hc×π×D×L

ρ×cP π×D²

× 4 ×L

= 4×hc

ρ×cP×D

=

avec : Tf = T1 T2 sin+ × (ω×t)

La constante de temps

du capteur est : τc 1

= k ρ×cP×D 4×hc

=

dT

dt =k T1 T^×

(

)

dt +k×θ= k T2× ×sin(ω×t)

Solution générale de l'équation sans second membre : θ1= C e× ^-k×t Solution particulière de l'équation avec second membre : θ2= A sin× (ω×t-φ)

Évaluation de A et j : A×ω×cos(ω×t-φ)+k A× ×sin(ω×t-φ) =k T2× ×sin(ω×t) rappel : cos a( -b) =cos a( ) cos b× ( )+sin a( ) sin b× ( ) et sin a( -b) =sin a( ) cos b( )-sin b( ) cos a× ( )

A×ω×(cos(ω×t) cos× ( )φ +sin(ω×t) sin× ( )φ )+A k× ×(sin(ω×t) cos× ( )φ -sin( ) cosφ × (ω×t)) =k T2× ×sin(ω×t) A×ω×cos( )φ -A k× ×sin( )φ

( ) cos× (ω×t)+(A×ω×sin( )φ +A k× ×cos( )φ ) sin× (ω×t) =k T2× ×sin(ω×t) Par identification des coefficients de cos(wt) et sin(wt) :

A×(ω×cos( )φ -k sin× ( )φ) =0 et A×(ω×sin( )φ +k cos× ( )φ) =k T2× On en déduit :

sin( )φ

cos( )φ = tg( )φ ω

= k =ω τ× A T2

ω

k×sin( )φ +cos( )φ

= T2

sin( )φ

cos( )φ ×sin( )φ +cos( )φ

= =T2 cos× ( )φ

φ= arctan(ω τ× )

θ( )t =C e× ^-k×t+T2 cos× ( )φ×sin(ω×t-φ) Conditions aux limites

t=0 T=T₀ T0 T1- =C-T2 cos× ( )φ ×sin( )φ C= T0 T1- +T2 cos× ( )φ ×sin( )φ

T t( ) T1

(

)

t -τ

×

+ +T2 cos× ( )φ×sin(ω×t-φ)

=

MH ^{1/2 07/05/2012}

TF06_transitoire_06.xmcd

ω= 1.047´10^-2×Hz T t( ) T1

(

)

t -τ

×

+ +T2 cos× ( )φ×sin(ω×t-φ)

=

période= 600s

thermomètre τ1

ρ1 cP1× ×D1 4×hc

:= τ1= 100.6s 5×τ1 = 8.4×min

φ1^:=arctan

( )

( )

( )

×4

= atténuation d'amplitude

thermocouple τ2

ρ2 cP2× ×D2 4×hc

:= τ2= 32.0s 5×τ2 = 2.7×min

φ2^:=arctan

( )

( )

( )

×10

= atténuation d'amplitude

0 5 10 15 20 25 30

40 60 80 100 120 140 160

effective thermomètre thermocouple

Évolution de la température

durée (min)

température (°C)

5τ2

éë ùû éë ùû^5τ1

MH ^{2/2 07/05/2012}