Table des matières
0.1 Introduction . . . 2
1 Théorie des ensembles 3 1.1 Notions de logique mathématique . . . 3
1.1.1 Propositions . . . 4
1.1.2 Connecteurs logiques . . . 5
1.1.3 Quantificateurs . . . 9
1.2 Ensembles . . . 10
1.2.1 Définition et exemples . . . 10
1.2.2 Partie d’un ensemble . . . 11
1.2.3 Opérations sur les ensembles . . . 12
1.3 Applications . . . 17
1.3.1 Définitions et exemples . . . 17
1.3.2 Composition d’applications . . . 19
1.3.3 Injection - Surjection - Bijection : . . . 20
1.3.4 Image directe - Image réciproque . . . 24
0.1 Introduction
Chapitre 1
Théorie des ensembles
Ce chapitre est constitué de trois paragraphes. Le premier paragraphe traite des notions de logique utiles pour la compréhension des chapitres sui- vants.
Dans le deuxième paragraphe, on étudie les ensembles et quelques opéra- tions sur les ensembles.
Finalement le troisième paragraphe contient des notions sur les applica- tions. On y étudie ausi quelques propriétés des applications.
1.1 Notions de logique mathématique
Définition
La logique est la science qui traite des méthodes de raisonnement, en particulier elle nous offre des règles et techniques qui permettent de décider si une déduction est valide ou non.
1.1.1 Propositions
Définition
On appelle proposition tout énoncé qui est vrai dans certaines conditions et faux dans d’autres conditions mais dont on peut toujours dire s’il est vrai ou faux.
La propriété essentielle d’une propositionP est donc d’être dotée de l’une des valeurs de vérité V (vrai) ou F (faux).
Exemple
"n est entier et n est multiple de 2". Cette proposition est vraie si n est pair et fausse si n impair.
Définition
Une assertion est un énoncé dont on peut affirmer toujours sans ambiguité s’il est frai ou s’il est faux.
Autrement : Une assertion est une proposition qui est toujours vraie qui toujours fausse.
Exemple
"la terre est ronde"
"Sacramento est la capitale des USA"
"2n+ 1 est un entier pair"
Définition
i) On appelle axiome, toute proposition à laquelle on attribue par conven- tion la valeur Vrai.
ii) On appelle théorème, toute proposition dont on démontre qu’elle a la
valeur Vrai.
Remarque
1) SoitP une proposition. Le tableau suivant représente la table de vérité de P
P V F
2˚) A partir des propositionsP et Q; on peut former d’autres proposi- tions à l’aide des liaisons logiques appelées connecteurs logiques.
1.1.2 Connecteurs logiques
a) La négation
La négation d’une proposition P est une proposition notée eP ou P¯ ou encore "non P”.
La propositioneP est vraie si P est fausse eteP est fausse siP est vraie P eP
V F
F V
Table vérité de la négation
b) La conjonction
Etant données deux propositions P, Q. La conjonction de P, Q; est une proposition notée P ∧Q ou encore ”P et Q”.
La propositionP∧Qest vraie si les deux propositionsP, Qle sont simul- tanément. La proposition P ∧Q est fausse dans le cas contraire
P Q P ∧Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Table vérité de ”et”
c) La disjonction
Soient P etQ deux propositions. On appelle la disjonction deP etQ, la proposition notée P ∨Q ou encore ”P ou Q”.
La propositionP∨Qest vraie si l’une au moins des propositions est vraie et est fausse si P etQ sont simultanément fausses.
P Q P ∨Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Table vérité de ”ou”
d) L’implication
Soient P et Q deux propositions.
La propositioneP ∨Q signifie ”P implique Q” et se note ”P =⇒Q”.
La proposition”P =⇒Q” est fausse si P est vraie et Q est fausse.
La proposition”P =⇒Q” est vraie dans le cas contraire.
Remarque : ”P =⇒Q” signifie aussi "si P alors Q"
P Q P =⇒Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Table vérité de l’implication
e) L’équivalence
Soient P et Q deux propositions.
La proposition (P =⇒ Q)∧(Q=⇒P) est appelée l’équivalence de P et Q et se note ”P ⇐⇒Q” et on lit "P équivalente à Q".
La proposition”P ⇐⇒Q”est vraie si P etQont même valeur de vérité.
Autrement dit : "P ⇐⇒Q" est vraie siP etQsont simultanément vraies ou simultanément fausses.
RemarqueSoientP, Q et Rtrois propositions. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(1)
les propositions
P, Q et R sont équivalentes (2)
P ⇐⇒Q Q⇐⇒R
(3)
P ⇐⇒R P ⇐⇒R
4) n
P =⇒Q=⇒R =⇒P
⊕
P Q P ⇐⇒Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Table de vérité de l’équivalence
Propriétés des connecteurs
Soient P, Q et R trois propositions.
1 - P ∧Q⇐⇒Q∧P (commutativité de "et") 2 - P ∨Q⇐⇒Q∨P (commutativité de "ou")
3 - (P ∧Q)∧R ⇐⇒P ∧(Q∧R) (associativité de "et") 4 - (P ∨Q)∨R ⇐⇒P ∨(Q∨R) (associativité de "ou") 5 - P ∨(Q∧R)⇐⇒(P ∨Q)∧(P ∨R)
(Q∧R)∨P ⇐⇒(Q∨P)∧(R∨P)
(distributivité de "ou" par rapport à "et")
6 - P ∧(Q∨R)⇐⇒(P ∧Q)∨(P ∧R) (Q∨R)∧P ⇐⇒(Q∧P)∨(R∧P)
(distributivité de "et" par rapport à "ou") 7 - e(eP)⇐⇒P
8 - e(P ∧Q)⇐⇒eP∨eQ e(P ∨Q)⇐⇒eP∧eQ
lois de Morgan 9 - (P =⇒Q)⇐⇒(eQ=⇒eP)
10 - e(P =⇒Q)⇐⇒e(eP ∨Q)⇐⇒P∧eQ 11 - P∧eP ⇐⇒F
12 - P∨eP ⇐⇒V
1.1.3 Quantificateurs
Il y a en général deux quantificateurs : le quantificateur universel et le quantificateur existentiel.
Notation :
- Le quantificateur universel est noté ”∀”on lit "quel que soit"
- Le quantificateur existentiel est noté ”∃” on lit "il existe".
Soit P(x) une proposition contenant un objet x appelé variable assujetti à appartenir à un ensemble E appelé référentiel.
- Pour exprimer l’assertion "il existe au moins un objet x du référentiel E pour lequel P(x) est vraie" ; on convient d’écrire : (∃x ∈ E) P(x) ou (∃x) P(x).
- Pour exprimer l’assertion”xest un élément quelconque deE pour lequel P(x) est vraie" ; on écrit "∀x∈E, P(x)” on lit "pour tout x,P(x)".
Exemple :
(∃x∈R)(x2−3x+ 2 = 0) (∀x∈R)(x2+ 4>0).
Conséquences
1 - e[(∃x)P(x)]⇐⇒(∀x)(eP(x)) 2 - e[(∀x)P(x)]⇐⇒(∃x)(eP(x))
3 - e[[(∀x)(P(x) =⇒Q(x))]⇐⇒[(∃x)(P(x)∧eQ(x))]
4 - [(∃x)(∃y)P(x, y)]⇐⇒[(∃y)(∃x)(P(x, y)]
5 - [(∀x)(∀y)P(x, y)]⇐⇒[(∀y)(∀x)(P(x, y)]
6 - [(∀x)(∃y)P(x, y)]<[(∃y)(∀x)(P(x, y)]
7 - [(∃x)(∀y)P(x, y)] =⇒[(∀y)(∃x)(P(x, y)]
8 - [(∀x)(P(x)et Q(x))]⇐⇒[((∀x P(x))et (∀x Q(x))]
9 - [(∀x)(P(x)ou Q(x))]⇐⇒[(∀x P(x))ou (∀x Q(x))]
10 - [(∃x)(P(x)ou Q(x))]⇐⇒
(∃x P(x)) ou (∃x Q(x)) 11 - [(∃x)(P(x)et Q(x))] =⇒[((∃x P(x)) et (∃x Q(x))].
Remarque
La réciproque dela dernière (10) relation est en général fausse (∃x P(x))et (∃x(Q(x))
;(∃x)(P(x) etQ(x)).
Par exemple :
"(il existe des hommes riches et honnêtes)" implique "il existe des hommes riches" et "il existe des hommes honnêtes"
Alors que "il existe des hommes riches et il existe des hommes honnêtes"
n’implique pas que "il existe des hommes riches et honnêtes".
1.2 Ensembles
1.2.1 Définition et exemples
Définition
Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments ou points.
En général on désigne les ensembles par des lettres majuscules et les éléments par des lettres minuscules.
Remarque
SiE est un ensemble.
Sia un élément de E, on écrit ”a∈E”
On lit "a appartient à E".
Pour exprimer que a n’appartient pas à E, on écrit ”a /∈E”.
Notation
Un ensemble qui n’a pas d’élément est appelé par convention l’ensemble vide et est noté ∅.
Parfois certains ensembles peuvent être définis par des propositions.
Exemples
i)N, Z, Q, R∗, R, C, C∗ sont des ensembles.
ii)∅={x : x6=x}.
SiP(x)est une proposition E ={x : x vérifie P(x)}
R+={x∈R/ x≥O}.
1.2.2 Partie d’un ensemble
Définition
Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F si tout élément de E est aussi un élément de F.
Remarque
E inclus dansF signifie (∀x)(x∈E =⇒x∈F).
Notation
SiE est inclus dans F on écritE ⊂F ou encore F ⊃E.
Définition
On dit qu’un ensemble A est une partie de E si A est inclus dans E ou
encore A est un sous-ensemble de E.
Exemple
On a N⊂Z⊂Q⊂R⊂C. Remarque
Soient E et F deux ensembles (E = F) si et seulement si (E ⊂ F) et (F ⊂E).
Définition
On appelle l’ensemble des parties de E, l’ensemble noté P(E) dont les éléments sont les sous-ensembles de E.
Exemple
1)∅ est une partie de E,E est aussi une partie de E.
2) Si E ={a, b, c}
P(E) = {∅, E,{a} ; {b} ; {c} ; {a, b};{a, c}{b, c}}.
Remarque
SiE est un ensemble à n éléments alors P(E) admet2n éléments.
1.2.3 Opérations sur les ensembles
Soient E etF deux ensembles etA, B, C des parties de E.
α) Intersection Définition
On appelle intersection de E et F et l’on note E ∩F ; l’ensemble des éléments x tels que x∈E etx∈F. E∩F ={x:x∈E et x∈F}
Remarque
1) Si E∩F =∅, on dit que E etF sont disjoints.
2)E∩F ⊂E et E∩F ⊂F. β) Réunion
Définition
On appelle réunion deE etF et l’on noteE∪F; l’ensemble des éléments x tels que x∈E oux∈F .
On a donc E∪F ={x:x∈E ou x∈F}
Remarque
• E∪ ∅=E
• E∪F =∅=⇒E =∅ etF =∅ E ⊂E∪F et F ⊂E∪F. γ) Complémentaire d’un ensemble Définition
On appelle complémentaire de A dans E, l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Notation
CEA ouE−A ou A¯={x∈E :x /∈A}.
Remarque : Soit A⊂E.
i)CE(EE A) =A
ii)CEE =∅ et CE∅=E
Propriétés
1 - Commutativité
- L’intersection est commutative :
A∩B =B∩A ∀A, B ∈ P(E).
- La réunion est commutative
A∪B =B∪A ∀A, B ∈ P(E).
2 - Associativité
- L’intersection est associative
(A∩B)∩C =A∩(B∩C) ∀A, B, C ∈ P(E).
- La réunion est associative
(A∪B)∪C =A∪(B∪C) ∀A, B, C ∈ P(E).
3 - Distributivité
- L’intersection est distributive par rapport à la réunion A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
(B∪C)∩A= (B∩A)∪(C∩A)
∀A, B, C ∈ P(E)
- La réunion est distributive par rapport à l’intersection A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
(B ∩C)∪A= (B∪A)∪(B∩A)
∀(A, B, C)∈(P(E))3
4 - ∀A∈ P(E) : on a A∩A=A.
A∪A=A.
5 - Soient A, B ∈ P(E)
• CE(A∩B) = (CEA)∪(CEB)
• CE(A∪B) = (CEA)∩(CEB).
Preuve :
Il suffit de démontrer la première égalité. La deuxième s’en déduit en posant A0 =CEA et B0 =CEB et en utilisant l’égalité CE(CEA) = A.
Montrons queCE(A∩B) = (CEA)∪(CEB).
Soit x∈ CE(A∩B). Alors x /∈A∩B; donc x∈ CEA ou bienx∈ CEB. Doncx∈(CEA)∪(CEB).
D’où l’inclusionCE(A∩B)⊂(CEA)∪(CEB).
Réciproquement, soit x un élément de(CEA)∪(CEB)
- six∈ CEA, x /∈A; doncx /∈A∩B et par suitex∈ CE(A∩B) - six∈ CEB, x /∈B, donc x /∈A∩B et par suite x∈CE(A∩B).
Dans les deux cas,x∈CE(A∩B), d’où l’inclusion(CEA)∪(CEB)⊂CE(A∩ B). Par conséquent, la première égalité est donc démontrée.
δ) Produit d’ensembles Définition
On appelle produit cartésien des ensembles E et F, l’ensemble des élé- ments (x, y) tels que x∈E ety ∈F.
Notation : E×F ={(x, y) :x∈E et y∈F} . Remarque
i)E×F 6=F ×E si E 6=F.
ii) SiE a n éléments etF am éléments alorsE×F etF ×E ont n×m éléments.
Exemple
E ={α, β} F ={1,2,2}
E×F ={(x, y) :x∈E et y ∈F}
={(α,1) ; (α,2) ; (α,3) ; (β,1) ; (β,2) ; (β,3)}
Propriétés :
1 - Si A⊂E et B ⊂F alors A×B ⊂E×F. 2 - E×F =∅ ⇐⇒E =∅ ou F =∅.
3 - Soient E, F et G 3 ensembles : i)E×(F ∩G) = (E×F)∩(E×G) ii)E×(F ∪G) = (E×F)∪(E×G).
Remarque
1 - LorsqueE =F, E×Ese noteE2et on appelle diagonale deE2l’ensemble des couples (x, x)avec x∈E.
2 - Plus généralement, le produit cartésien de n ensembles E1, E2, ..., En est
l’ensemble E1×E2×. . .×En encore noté
n
Y
i=1
Ei
E1×E2×. . .×En ={(x1, . . . xn) :xi ∈Ei, i≤i≤n}.
On dit que(x1, x2, ..., xn) est un n-uple. SiE1 =E2 =. . .=En =E, on note En au lieu de E×E×E . . .×E.
Par exempleR×R×R=R3 R×R×. . .×R=R
| {z }
n f ois
=Rn.
1.3 Applications
1.3.1 Définitions et exemples
Définition 1
Soient E et F deux ensembles. On appelle graphe de E vers F, toute partie non vide Gde E×F.
Autrement dit tout élément de G est un couple ordonné (x, y) où x∈E et y∈F.
Définition 2
on appelle application de E dans F, toute relation qui associe à chaque élément x deE un et un seul élément y deF.
Notation
f : E −→ F
x 7−→ y=f(x)
ou E −→ F
x 7−→ y=f(x) où E est appelé l’ensemble de départ def.
F est appelé l’ensemble d’arrivée def.
L’élément y est appelé image de l’élément x par f. Autrement dit : Une application est un triplet
f = (E, F, G) où G={(x, f(x)) ; x∈E} est appelé le graphe de f.
Remarque
Soient f1 = (E1, E1, G1) f2 = (E2, F2, G2) deux applications f1 = f2 si
et seulement si
E1 =E2
F1 =F2 G1 =G2
.
Exemples
1 - f : R −→ R x 7−→ sin(x)
est une application.
2 - IdE : E −→ E
x 7−→ IdE(x) = x
est une application identique.
3 - f : N −→ Z n 7−→ 2n
˙
4 - Soient E etF deux ensembles les applications : π1 : E×F −→ E
(x, y) 7−→ x .
π2 : E×F −→ F (x, y) 7−→ y
s’appellent respectivement la 1re projection et la deuxième projection.
Définition
Soit f une application de E dans F etA une partie de E.
On appelle restriction de f à A, et on note F/A, l’application h de A dans F telle h(x) =f(x)pour tout x∈A.
Remarque
Si Card(E) = n et card(F) = p. Le nombre total d’applications de E dans F estpn.
1.3.2 Composition d’applications
Soient E, F et H trois ensembles f : E −→ F et g : F −→ H deux applications.
A chaque élémentx∈E, on associe un élément et un seul élément deH.
On obtient ainsi une application de E dans H appelée application composée de g et def et est notée gof.
E −→f F −→g H
| {z }
g◦f
on a :(gof)(x) =g(f(x)).
six∈E, on a : (gof)(x) = g(f(x)).
Exemple
f : R −→ R x 7−→ x2
g : R −→ R x 7−→ |x−1|
(gof)(x) =g(f(x)) =g(x2) =|x2−1|
(f og)(x) = f(g(x)) =f(|x−1|) = (x−1)2.
Remarque
1 - La composition d’application n’est pas commutative c’est-à-dire f og 6=gof.
2 - La composition d’applications est associative c’est-à-dire sif :E1 −→E2
g :E2 −→E3 et h :E3 −→E4 (hog)of =ho(gof).
1.3.3 Injection - Surjection - Bijection :
Soit f :E −→F une application.
a) Injection
L’applicationf est dite injective si et seulement si ∀x, x0 ∈E, la relation f(x) =f(x0)implique x=x0.
Autrement :
f est une injection si tout élément de F admet au plus un antécédent dans E.
Exemples
1) R −→ϕ R x 7−→ 3x
2) R −→ψ R2 x 7−→ (x,2x)
3) Soit E un ensemble etA⊂E i: A −→ E
x 7−→ i(x) = x . b) Surjection
L’applicationf est dite surjective si et seulement si tout élémentydeF admet au moins un antécédent dans E.
Exemples
1) R −→ R+
x 7−→ x2
2) Soit E un ensemble etA⊂E π1 : R×R −→ R
(x, y) 7−→ x . π2 : R×R −→ R
(x, y) 7−→ y . c) Bijection
L’applicationf est dite bijective si et seulement si f est la fois injective et surjective.
Autrement :
L’applicationf est une bijection deE surF si tout élémentydeF admet un unique antécédent x dans E.
Exemples
1) f : R −→ R x 7−→ x5
2) R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x, x−y, x+y−z) Conséquence :
Soit f :E −→F une application
1 - Sif est une injection alors card(E)≤card(F) 2 - Sif est une surjection alors card(E)≥card(F) 3 - Sif est une bijection alors card(E) = card(F).
Théorème
Soit f : E −→ E une application telle card(E) = card(F). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1 - f est injective.
2 - f est surjective.
3 - f est bijective.
Démonstration :
I) Il est clair que 3) =⇒1).
II) Montrons que 1) =⇒ 2).
Supposons f :E −→F soit injective.
Si Z =Imf ; on a card(E) =card(Z). Par conséquent card(Z) =card(F) et comme Z ⊆F, on en conclut queZ =F ; c’est-à-dire quef est surjective.
III) Montrons enfin que 2) =⇒ 1).
Supposons que f :E −→F soit surjective. Pour tout y∈F, posons
E−y ={x∈E / f(x) =y}. Comme f est surjective, Ey 6=∅ quelque soit y∈F, par conséquent card(Ey)≤1.
D’autre partE = [
y∈F
Ey etEy∩Ey0 =∅ siy6=y0. On en conclut donc que
X
y∈F
card(Ey).
Mais comme card(F) = card(E) etcard(Ey)≥1, on en déduit que
card(Ey) = 1quel que soit y∈F. Cela signifie que f est injective donc f est bijective.
1.3.4 Image directe - Image réciproque
Soit f :E −→F une application,A ⊂E et B ⊂F. a) Image directe
On appelle image directe de A par f et l’on note f(A) l’ensemble des images des éléments de A.
f(A) = {f(x) / x∈A}={y∈F : ∃x∈A : y=f(x)}
Remarque 1 - f(A)⊂F.
2 - f(E) = {f(x) ; x∈E} est appelée image def et est notée Im(f).
3 - On dit que A est stable parf sif(A)⊂A.
4 - On dit que A est invariant par f si f(A) =A.
Exemple
f : R −→ R x 7−→ x2 A={−2} f(A) = {f(−2)}={4}
A= [−1,2] f(A) = [0,4].
b) Image réciproque
On appelle image réciproque de B par f et l’on note f−1(B) l’ensemble des antécédents des éléments de B par f.
f−1(B) = {x∈E : f(x)∈B}.
Remarque
L’image réciproque f−1(B) existe toujours alors que l’image réciproque d’un élément n’existe que si l’application f est bijective.
f−1(B) = {x∈E : f(x)∈B}.
Conséquences :
f(∅) =∅ f−1(∅) = ∅
f−1(F) ={x∈E : f(x)∈F}=E A⊂f−1(f(A)) et f(f−1(B))⊂B.
Théorème
Soit f :E −→F une application.
1 - Soient A etA0 deux parties de E.
i) Si A⊂A0 alors f(A)⊂f(A0).
ii)f(A∪A0) =f(A)∪f(A0).
iii) f(A∩A0)⊂f(A)∩f(A0).
iv)f(A∩A0) = f(A)∩f(A0)⇐⇒f est injective.
2 - Soient B etB0 deux parties deF. i) Si B ⊂B0 alors f−1(B)⊂f−1(B0).
ii)f−1(B ∪B0) =f−1(B)∪f−1(B0).
iii) f(B ∪B0) =f−1(B)∪f−1(B0).
iv)f−1(CFB) = CE(f−1(B).
