Suites de fonctions

(1)

Lycée Kléber PC^⋆, 2ième année

F ICHE : S UITES ET S ERIES DE FONCTIONS ´

Dans toute la fiche,Xest un ensemble non vide etIest un intervalle non trivial deR.

Suites de fonctions

Convergence simple d’une suite de fonctions

On dit que la suite de fonctions(fn)∈ F(X,R)^Nconverge simplementvers une fonctionf :X 7→Rsi pour toutx∈X, la suite num´erique fn(x)

converge versf(x)dansR. Autrement dit :

∀x∈X, ∀ε >0, ∃N ∈N: ∀n∈N, n>N =⇒ |f(x)−fn(x)|6ε.

Convergence uniforme d’une suite de fonctions

On dit qu’une suite de fonctions(fn) ∈ F(X,R)^N converge uniform´ement vers une fonctionf :X7→Esi et seulement si :

∀ε >0, ∃N ∈N: ∀n∈N, n>N =⇒ [∀x∈X, |fn(x)−f(x)|6ε]

Caract´erisation de la convergence uniforme aveckk∞

Une suite de fonctions (fn)n∈N ∈ F(X,R)^N converge uniform´ement vers f ∈ F(X,R)si et seulement si :

1. `A partir d’un certain rang, les fonctions(fn−f)sont born´ees.

2. kfn−fk∞−−−−−→

n→+∞ 0.

CV uniforme =⇒ CV simple

Soit une suite de fonctions(fn) ∈ F(X,R)^Net une fonctionf : X 7→ R. Si la suite de fonctions(fn)converge uniform´ement vers la fonctionf, alors la suite de fonctions(fn) converge simplement versf :

fn cvu

−−−−−→

n→+∞ f =⇒ fn cvs

−−−−−→

n→+∞ f

Convergence uniforme sur tout segment

Soit une partieI⊂Ret une suite de fonctions(fn)∈ F(I,R)^N. Alors la suite de fonctions(fn)converge uniform´ement sur tout segmentvers la fonctionf :I7→Esi et seulement si pour tout segmentK= [a, b]⊂I:

1. `A partir d’un certain rangf−fnest born´ee surK; 2. kfn−fk∞,K= sup

x∈K

|fn−f| −−−−−→

n→+∞ 0.

La convergence uniforme sur tout segment deIn’implique pas la convergence uniforme surI.

Pour la convergence uniforme surI(resp. sur tout segment deI), la limite d’une suite de fonctions continues Soit un intervalleI⊂Ret une suite de fonctions(fn)∈ F(I,R)^Netf :I 7→E. On

suppose que :

H1 toutes les fonctionsfnsont continues surI;

H2 la suite de fonctions(fn)converge uniform´ement surI(resp. sur tout segment de I).

Alors la fonctionf est continue surI.

Int´egrale d’une limite uniforme de fonctions continues

On consid`ere une suite de fonctions(fn)∈ C([a, b],R)^Ncontinues sur un segment[a, b].

On suppose que

H1 La suite de fonctions(fn)convergeuniform´ementvers une fonctionf : [a, b]7→R sur le segment[a, b].

Alors la fonctionf est continue sur le segment[a, b], et Z b

a

fn(x) dx−−−−−→

n→+∞

Z b a

f(x) dx.

(2)

D´erivation et convergence uniforme sirI(resp. sur tout segment)

On consid`ere une suite d’applications(fn)n∈N ∈ F(I,R)^N d´efinies sur un intervalle I⊂R. On suppose que :

H1 ∀n∈N,fn∈ C¹(I,R).

H2 La suite de fonctions(fn)n∈Nconvergesimplementvers une fonctionf :I7→R.

H3 La suite de fonctions(f_n^′)n∈Nconvergeuniform´ementsurI(resp. sur tout segment deI) vers une applicationg:I7→R.

Alors :

1. La suite de fonctions(fn)n∈Nconverge uniform´ement versfsur tout segment deI.

2. La fonctionfest de classeC¹surI 3. f^′=g.

G´en´eralisation

On consid`ere une suite de fonctions(fn)n∈N ∈ F(I,R)^N d´efinies sur un intervalle I⊂R. On suppose que :

H1 ∀n∈N,fn∈ C^k(I);

H2 ∀i∈[[0, k−1]], la suite de fonctions(fn)n∈Nconvergesimplementvers une appli- cationfi;

H3 la suite de fonctions dérivées kièmes, (fn^(k))n∈N convergeuniformément sur tout segmentvers une applicationg.

Alors :

1. La fonctionf =f0est de classeC^ksurI; 2. f^(k)=g.

3. ∀i ∈ [[0, k]], la suite de fonction(fn⁽ⁱ⁾)n∈N converge uniform´ement vers la fonction f⁽ⁱ⁾sur tout segment deI.

Théorème de convergence dominée de Lebesgue

On consid`ere une suite de fonctions(fn)n∈N d´efinies sur un intervalleI ⊂ R. On sup-

pose que :

H1 ∀n∈N, la fonctionfnest continue par morceaux surI.

H2 La suite de fonctions(fn)convergesimplementsurIvers une fonctionf.

H3 La fonctionf est continue par morceaux surI.

H4 Hypothèse de domination :Il existe une fonctionϕ:I7→R,indépendante den qui est continue par morceaux etintégrable surItelle que

∀n∈N, ∀x∈I, |fn(x)|6ϕ(x) Alors :

1. ∀n∈N, la fonctionfnest int´egrable surI.

2. La fonctionf est int´egrable surI.

3.

Z

I

fn(x) dx−−−−−→

n→+∞

Z

I

f(x) dx.

(3)

S´eries de fonctions

S´erie de fonctions

Soit(fn)∈ F(I,R)^N. On appellesérie de fonctions de terme généralfnla suite(Sn)de terme général

Sn :







I −→ R

x 7−→

n

X

k=0

fk(x) On noteP

fnune telle série de fonctions. La fonctionSns’appelle lanième somme partielle de la sérieP

fn.

Convergence simple d’une s´erie de fonctions On dit qu’une s´erie de fonctionsP

fnconvergesimplementsur l’intervalleIsi et seulement si pour toutx∈Ifixé, la série numériqueX

n>0

fn(x)converge.

SiP

fnest simplement convergente surI, on d´efinit alors la fonction

S:







I −→ R

x 7−→

+∞

X

n=0

fn(x)

1. La fonctionSs’appelle lasomme de la s´erie de fonctionsest est not´eeS=

+∞

X

n=0

fn. 2. Pourn∈N, la fonctionS−Sns’appelle lereste d’ordrende la s´erie de fonctions et

est not´e

Rn =

+∞

X

k=n+1

fk

Dire qu’une s´erie de fonctionsP

fnconverge simplement surIrevient `a dire que lasuite de fonctions(Sn)n∈Nconverge simplement surIvers la fonctionS.

Convergence absolue d’une s´erie de fonctions On dit qu’une s´erie de fonctionsP

fnconverge absolumentsurIsi et seulement si pour toutx∈Ifixé, la série numériqueP

|fn(x)|converge .

Convergence uniforme d’une s´erie de fonctions On dit qu’une s´erie de fonctionsP

fnconverge uniform´ementsurIsi et seulement si la suite de fonctions(Sn)n∈N(sommes partielles) converge uniform´ement surI.

Une condition nécessaire de convergence uniforme d’une série de fonctions Si une série de fonctionsP

fnconverge uniform´ement surI, alors la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers la fonction nulle surI.

Caract´erisation pratique de l’uniforme convergence Une s´erie de fonctionsP

fnconverge uniform´ement surIsi et seulement si :

H1 La s´erieP

fnconverge simplement surI;

H2 La suite de fonctions des restes(Rn)n∈Nconverge uniform´ement vers la fonction nulle surI.

Convergence normale On dit qu’une s´erie de fonctionsP

fn bornée surIconverge normalementsurI, si et seulement si la série numérique

X

n>0

kfnk∞

converge o `ukfnk∞= sup

x∈I

|fn(x)|.

Caractérisation de la convergence normale, série majorante Une sérieP

fnest normalement convergente surIsi et seulement si il existe une suite r´eelle(an)v´erifiant les deux conditions suivantes :

H1 ∀n∈N, kfnk∞6an;

H2 la s´erieP

anconverge.

La s´erieP

anest dite être unesérie majorantede la sérieP fn. Comparaison des modes de convergence

XfnCV normalement surI =⇒ (P

fn CV uniform´ement surI

Pfn CV absolument surI =⇒ X

fnCV simplement surI.

Pour ´etudier les modes de convergence d’une s´erie de fonctionsP fn

Pour ´etudier les modes de convergence d’une s´erie de fonctionsP fn:

1 Commencer par ´etudier la convergencenormale: si

— kfnk∞6αn,

(4)

— la s´erie num´eriqueP

αnconverge, alors la s´erie de fonctionsP

fnconverge normalement, donc uniform´ement (absolument), donc simplement.

2 Si on n’arrive pas `a montrer la convergence normale, ´etudier d’abord la convergence simple (ou absolue).

3 S’il y a convergence simple, ´etudier la convergence uniforme :

— La suite de fonctionskfnk∞converge-t-elle vers la fonction nulle ? Si ce n’est pas le cas, la s´erie de fonctionsP

fnne converge pas uniform´ement.

— Essayer de montrer que la suite des restes(Rn)converge uniform´ement vers la fonction nulle. Pour cela, majorer-minorer le resteRn(x). On peut :

— utiliser une comparaison avec une int´egrale,

— utiliser le critère spécial des séries alternées, qui majore|Rn(x)|par le pre- mier terme négligé,

— majorer la s´erieRn(x) =

∞

X

k=n+1

fn(x)en faisant apparaˆıtre des séries plus simples (géométriques, . . .)

CV uniforme et continuit´e Soit une s´erie de fonctionsP

fno `ufn:I7→R. On suppose que :

H1 pour toutn∈N, la fonctionfnest continue surI;

H2 la s´erie de fonctionsP

fn convergeuniform´ementsurI (resp.uniform´ement sur tout segment deI).

Alors la fonction sommeS=

+∞

X

n=0

fnest continue surI.

CV uniforme et intégration, théorème d’intégration terme à terme Soit une série de fonctionsP

fnd´efinies sur un segment[a, b]⊂R. On suppose que :

H1 ∀n∈N, la fonctionfnest continue sur le segment[a, b];

fnconvergeuniform´ementsur le segment[a, b].

Alors :

1. La fonction sommeS=

+∞

X

n=0

fnest continue sur le segment[a, b];

2. La s´erie num´eriqueP Z b

a

fn(x) dx

converge ;

3. On peut inverser les signes sommes : Z b

a

⁺

∞

X

n=0

fn(x) dx=

+∞

X

n=0

Z b a

fn(x) dx .

CV uniforme et dérivation, théorème de dérivation terme à terme Soit un intervalleI ⊂ Ret une série de fonctionsP

fn o `ufn : I 7→ R. On suppose que :

H1 ∀n∈N, la fonctionfnest de classeC¹sur l’intervalleI.

H2 La s´erie de fonctionsP

fnconvergesimplementsurI.

f_n^′ convergeuniform´ement surI(resp.uniform´ement sur tout segment deI).

Alors :

1. La s´erie de fonctionsP

fnconverge uniform´ement sur tout segment deI; 2. La fonction sommeS=

+∞

X

n=0

fnest de classeC¹surI;

3. On peut inverser d´erivation et signe somme :⁺

∞

X

n=0

fn

^′

=

+∞

X

n=0

fn^′.

CV uniforme et d´erivation d’ordrek Soit un intervalleI ⊂ Ret une s´erie de fonctionsP

fn o `ufn : I 7→ R. On suppose que :

H1 ∀n∈N,fn∈ C^k(I);

H2 ∀i∈[[0, k−1]], la s´erie de fonctionsP

fn⁽ⁱ⁾convergesimplementsurI;

fn^(k)convergeuniform´ement sur tout segmentdeI.

Alors,

1. ∀i∈[[0, k−1]], la s´erie de fonctionsP

fn⁽ⁱ⁾converge uniform´ement sur tout segment deI;

2. La fonction sommeS=

+∞

X

n=0

fnest de classeC^ksurI;

3. ∀i∈[[1, k]],^+∞X

n=0

fn

(i)

=

+∞

X

n=0

f_n⁽ⁱ⁾.

(5)

Interversion des signes sommes sur un intervalle

On consid`ere une suite de fonctions(fn)n∈N d´efinies sur un intervalleI ⊂ R. On suppose que :

H1 Pour toutn∈N, la fonctionfnest continue par morceaux et int´egrable sur l’inter- valleI;

fnconverge simplement surI;

H3 La fonctionf =

+∞

X

n=0

fnest continue par morceaux surI.

H4 La s´erie num´eriqueP R

I|fn|converge.

Alors :

1. La fonctionf =

+∞

X

n=0

fnest int´egrable surI.

2.

Z

I

+∞

X

n=0

fn

6

+∞

X

n=0

Z

I

|fn|.

3. On peut permuter les signes sommes : Z

I

^+∞X

n=0

fn

=

+∞

X

n=0

Z

I

fn