(R) est simple

SO

(R) est simple

Leçons :103, 106, 108, 160, 161, 204 Théorème 1

Le groupeSO₃(R)est simple.

Lemme 2

1 Les retournements (i.e.les rotations d’angleπ) sont tous conjugués dansSO₃(R). 2 Le centre deSO₃(R)est réduit à{id}.

Démonstration. 1 Soient r_D, r_D⁰ des retournements de droites respectivesDet D⁰. Une rotations∈SO₃(R)de plan Vect(D,D⁰)bien choisie envoie Dsur D⁰. Doncsr_Ds⁻¹ est une rotation de droites(D) =D⁰et d’angleπ, c’est à dire r_D⁰.

2 Si h est une rotation de droite∆et g ∈Z(SO₃(R)), on a ghg⁻¹ =h. Mais ghg⁻¹ est une rotation de droite g(∆)donc g fixe toutes les droites donc est une homothétie.

En dimension impaire, on a nécessairement g =id. En dimension paire, il y a aussi

−id donc en particulier, lesSO_2n(R)ne sont pas simples.

Démonstration (du théorème).Soit H un sous-groupe distingué de SO₃(R) non réduit à {id}. CommeSO₃(R)est engendré par les retournements, on montrera queH =SO₃(R)en montrant qu’il contient tous les retournements. Comme les retournements sont conjugués dansSO₃(R), il suffit de montrer queH en contient un pour qu’il les contienne tous.

Soith6=I₃∈G et ϕ: SO₃(R) −→ R

g 7−→ Tr(ghg⁻¹h⁻¹)

. Par continuité de la trace,ϕ est continue.

CommeSO₃(R)est compact et connexe par arcs, l’image de ϕ est un compact connexe par arcs de R, c’est-à-dire un segment.

De plus, dans une base adaptée, g∈SO₃(R)peut s’écrire :

g =





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1





donc Tr(g) =1+2 cosθ∈[0, 3].

Donc comme ϕ(h) = Tr(I₃) = 3, l’image de ϕ est de la forme [a, 3] pour un certain a¾0

Supposons quea=3. Alors pour tout g∈SO₃(R), ghg⁻¹h⁻¹ est une rotation d’angle 0 c’est à dire I₃ donch est dans le centre de SO₃(R)dont on a vu qu’il était réduit à{I₃}, ce qui est contradictoire.

Donca<3 et on peut trouvern∈N^∗tel quea<1+2 cosπ n

<3 car 1+2 cosπ n

−−−−→_n→+∞

3. Ainsi, il existe g_n ∈ SO₃(R) tel que h_n = g_nhg⁻_n¹h⁻¹ soit une rotation d’angle ±π n. Or, comme H est distingué,h_n∈H donc le retournementhⁿ_n est dans H, ce qui conclut.

Gabriel L^EPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1

Remarque. • On peut montrer que pour toutn¾1,SO_2n+1(R)est simple (cf G^ONNORD et TOSEL 1998), la preuve repose sur la structure de sous-variété de cet ensemble.

• Comme le développement est un peu court, on peut expliquer, à partir du théorème de Cartan-Dieudonné, pourquoiSO₃(R)est engendré par les retournements. Ou bien dans la leçon 204, donner les raisons de la connexité deSO₃(R): tout élément de ce groupe est conjugué à une matrice de rotation





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1



.

Référence :Philippe C^ALDEROet Jérome G^ERMONI(2013).Histoires hédonistes de groupes et de géométrie. T. 1. Calvage et Mounet, p. 239.

Merci à Antoine Diez pour ce développement.

Gabriel L^EPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1