Démonstration. Soit r ce morphisme. Son noyau est donc le sous-groupe des caractères χ de A tels que χ |

Rekazator : Groupes abéliens finis

Dans le cadre de l’analogie entre GAF et espaces vectoriels de dimension finie, le théorème de relèvement des caractères est au fond un théorème qui s’apparente au théorème de la base incomplète, dans le sens où ce dernier permet de voir que, si F est un sous-espace de E, alors le morphisme de restriction E ^∗ → F ^∗ est surjectif. Plus généralement, la belle dualité permet de voir que la transposée d’un morphisme injectif (l’injection naturelle de F dans E) est un morphisme surjectif (la restriction).

Théorème 0.1 (Relèvement des caractères).

Soit A un GAF et B un sous-groupe. Alors, le morphisme de restriction de A b sur B b est surjectif. Dit autrement, tout caractère de B peut être relevé en un caractère de A.

Démonstration. Soit r ce morphisme. Son noyau est donc le sous-groupe des caractères χ de A tels que χ _|

est trivial. Par passage au quotient (tout sous-groupe est distingué dans le cas abélien), ce noyau s’identifie à A/B. [ On a donc

|Im(r)| = A b

A/B [

= |A|

|A/B| = |B | = B b

.

La surjectivité en découle.

Un petit dessin valant mieux qu’un long discours, on peut résumer sché- matiquement les choses avec un diagramme commutatif :

A

˜ χ

B ^?

OO

χ // C ^∗

On va en déduire une preuve du théorème de structure des groupes abé-

liens finis. Unité et harmonie : avec l’approche des modules sur un anneau

principal, voir [1, II-A], c’est finalement équivalent au théorème de décompo-

sition de Frobenius, [2, Théorème 5.9]. C’est pourquoi on ne s’étonnera pas

des similitudes entre les deux preuves.

Théorème 0.2 (Théorème de structure des groupes abéliens finis).

Soit A un GAF. Il existe une unique famille d’entiers a _i ≥ 2, i de 1 à s, telle que a _i+1 divise a _i pour tout i de 1 à s − 1, et telle que

A ' Z /a 1 Z × · · · × Z /a s Z .

Définition 0.3. Les a _i , de par leur unicité, sont appelés facteurs invariants du groupe abélien fini A.

Le théorème de structure a pour corollaire immédiat :

Corollaire 0.4. Soit A un GAF. Alors A est isomorphe à son dual A. b Il va sans dire que l’isomorphisme est non canonique (il dépend du choix de racines primitives de l’unité ¹ ).

Démonstration. Existence. Commençons par le lemme :

Lemme 0.5. Soit x 1 dans A d’ordre maximal a 1 . Alors, l’ordre de tout élément de A divise a ₁ .

Preuve du lemme. Dire que a divise b revient à dire que pour tout p premier, ν p (a) ≤ ν p (b), où ν p désigne la p-valuation. Supposons donc, par l’absurde, qu’il existe x ⁰ ₁ dans A d’ordre a ⁰ ₁ , et p premier fixé tel que α ⁰ := ν _p (a ⁰ ₁ ) > α :=

ν _p (a ₁ ). On a donc a ₁ = p ^α k, resp. a ⁰ ₁ = p ^α

k ⁰ , où k est premier avec p ^α , resp.

k ⁰ premier avec p ^α

. On va construire un élément de A d’ordre p ^α

k > a 1 , ce qui prouvera bien l’assertion par l’absurde. On a y ₁ := p ^α x ₁ d’ordre k et y ₁ ⁰ := k ⁰ x ⁰ ₁ d’ordre p ^α

. Comme k et p ^α

sont premiers entre eux, y ₁ + y ₁ ⁰ est bien d’ordre p ^α

k. En effet, d’une part p ^α

k annule y 1 + y ₁ ⁰ , et d’autre part, si d annule y ₁ + y ₁ ⁰ , alors dy ₁ = −dy ⁰ ₁ ∈ hy ₁ i ∩ hy ₁ ⁰ i = {0}, par Lagrange, ce qui

force p ^α

et k à diviser d.

Pour montrer l’existence, il suffit de montrer que le sous-groupe cyclique engendré par x ₁ possède un supplémentaire B dans A, i. e. A ' hx ₁ i × B, et d’appliquer une récurrence sur |A|. Montrons donc l’existence de ce sup- plémentaire. Soit ω 1 une racine primitive a 1 -ième de l’unité et χ le caractère (comprendre ici morphisme) de hx ₁ i qui envoie x ₁ sur ω ₁ ; χ est donc un isomorphisme de hx ₁ i dans le groupe U _a

. Par le théorème de relèvement, on peut prolonger χ en un morphisme χ ˜ de A vers C ^∗ . Or, comme l’ordre de tout élément de A divise a ₁ , l’image de χ ˜ reste dans U _a

. On a donc une surjection χ ˜ de A vers U _a

, munie d’une section, la réciproque χ ⁻¹ , de U _a

vers hx 1 i ⊂ A, ce qui prouve, par [2, corollaire II-5.3.4], que A est un produit

1. Ça vous énerve pas les gens qui disent "ça va sans dire" et qui le disent quand même ?

semi-direct A ' hx ₁ i o ker( ˜ χ). Comme A est abélien, le produit est en fait un produit direct.

Unicité. Montrons maintenant l’unicité des a _i . Pour cela, nous allons caractériser les a _i , en caractérisant, pour tout p premier, leur p-valuation ν _p (a _i ).

Lemme 0.6. Soit n _p , resp. m _p , la p-valuation de |A|, resp. de a ₁ . Soit A _j le sous-groupe {x ∈ A, p ^j x = 0} de A, et λ _j := ν _p |A _j |

− ν _p |A j−1 | .

Alors, (λ ₁ ≥ λ ₂ ≥ · · · ≥ λ _m

≥ 0) est une partition de n _p . La famille (ν _p (a _i )) forme la partition duale ² de cette partition.

Preuve du lemme. Les sous-groupes A _i sont emboîtés, avec {0} ( A ₁ par le lemme de Cauchy, et A m

= A k pour m p ≤ k, par la propriété de maximalité de a ₁ du lemme 0.5. De plus, tous les éléments de A _j sont d’ordre divisant p ^j , donc, encore par le lemme de Cauchy (ici, sa version contraposée), les A _j sont des p-groupes ; les λ j sont bien des entiers.

La suite des |A _i | s’essouffle, exactement comme dans [Tome 1 ed.2, Chap.

III, Lemme 2.2.1], puisque la multiplication par p induit un morphisme de A i+1 dans A i , puis, un morphisme de A i+1 dans A i /A i−1 de noyau A i . On a donc une injection de A _i+1 /A _i dans A _i /A i−1 , ce qui donne bien les inégalités voulues sur les λ _i . Il vient donc que λ est une partition de P

j λ _j = ν _p ( A _m

).

Calculons maintenant précisément λ i . On suppose dans un premier temps que A = Z /a Z , où a est un entier. Posons k = ν _p (a), c’est-à-dire, a = p ^k b, avec b premier avec p. Si i ≤ k, il y a exactement p ⁱ classes x de Z /a Z telles que p ⁱ x = 0 : ce sont les multiples de p ^k−i b. Si i > k, alors il y a p ^k classes x de Z /a Z telles que p ⁱ x = 0 : ce sont les multiples de b. On en déduit dans ce cas que |A _i | = p ^min{ν

^(a),i} . En prenant le produit direct, on obtient dans le cas général :

|A _i | =

s

Y

j=1

p ^min{ν

^(a

^),i} , et donc ν _p (|A _i |) =

s

X

j=1

min{ν _p (a _j ), i}.

En particulier, comme m _p est le maximum des ν _p (a _j ), il vient, d’une part ν _p (

A _m

) =

s

X

j=1

ν _p (a _j ) = n _p ,

ce qui implique que λ est bien une partition de n p .

2. La partition duale a été vue en [2, Définition III-B.2.3]. Il s’agit du passage, dans un tableau de Young, de la lecture horizontale à la lecture verticale, ou inversement.

Autrement dit, si λ = (λ 1 ≥ · · · ≥ λ s ) est une partition de n, alors son dual λ ^∗ = (λ ^∗ ₁ ≥

· · · ≥ λ ^∗ _s

) est une partition de n donnée par λ ^∗ _i = |{j, i ≤ λ _j }|. On a (λ ^∗ ) ^∗ = λ.

D’autre part, il vient

λ _i := ν _p (|A _i |) − ν _p (|A i−1 |) = |{j, i ≤ ν _p (a _j )}| , ce qui signifie que les partitions (ν _p (a _i )) et (λ _j ) sont en dualité.

Définition 0.7. Le nombre a ₁ est appelé exposant du groupe. C’est le plus petit commun multiple des ordres des éléments du groupe. C’est en quelque sorte l’équivalent du polynôme minimal pour un espace vectoriel E muni d’un endomorphisme.

Exemple 0.8. Par exemple, quels sont les facteurs invariants (a _i ) du groupe A = Z /18 Z × Z /5 Z × Z /8 Z × Z /36 Z ?

Pour cela, il faut briser-rassembler (tout un programme !) 1) briser A en p-groupes, par le lemme chinois, puis

2) rassembler en p-valuations décroissantes.

1) A ' ( Z /2 Z × Z /9 Z ) × Z /5 Z × Z /8 Z × ( Z /4 Z × Z /9 Z ).

2) A ' ( Z /8 Z × Z /9 Z × Z /5 Z ) × ( Z /4 Z × Z /9 Z ) × ( Z /2 Z ) ' Z /360 Z × Z /36 Z × Z /2 Z .

Donc, les facteurs invariants de A sont (360, 36, 2). Un groupe abélien fini sera isomorphe à A si et seulement s’il possède cette même famille de facteurs invariants.

Remarque. On peut montrer l’unicité de bien des manières, sans le langage des partitions. L’avantage de la méthode est qu’elle s’unifie joliment avec celle utilisée dans la réduction. On peut d’ailleurs se permettre, pour le plaisir et sans même aller plus loin, de faire un pont entre deux mondes : celui des groupes abéliens finis et celui des C −espaces de dimension finie, munis d’un endomorphisme u. On fixera un diviseur premier p de |A| et un diviseur (X − λ) de χ _u , ce qui signifie que λ est valeur propre de u.

Groupe abélien fini A C -espace E muni d’un endomorphisme u A ' b

A b (canonique) E ' E ^∗∗ (canonique) A ' A b (non canonique) E ' E ^∗ (non canonique)

cardinal |A| polynôme caractéristique χ _u

exposant a ₁ polynôme minimal µ _u

facteurs invariants a ₁ , · · · , a _s invariants de similitude P ₁ , · · · , P _s ∈ K [X]

ordre d’un élément polynôme minimal µ _u,x , x ∈ E, [2, III-5]

théorème de Lagrange théorème de Cayley-Hamilton lemme de Cauchy existence d’un vecteur propre

lemme chinois lemme des noyaux

sous-groupe cyclique sous-espace cyclique, [2, III-5]

théorème de structure décomposition de Frobenius

La comparaison Lagrange/Cayley-Hamilton est un peu osée ; elle est juste là pour marquer les esprits. Il faut la comprendre dans le sens où, d’une part, l’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe, et d’autre part, le polynôme minimal µ _u,x d’un élément x de E, voir [2, III-5], divise le polynôme caraté- ristique.

Références

[1] Philippe Caldero et Jérôme Germoni. Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries-Tome 2. Calvage et Mounet, 2015.

[2] Philippe Caldero et Jérôme Germoni. Nouvelles Histoires Hédonistes de

Groupes et de Géométries. Calvage et Mounet, 2017.