primitives_equa-diff

Équations différentielles

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021

Table des matières

1 Notion d’équation différentielle 2

2 Notion de primitive d’une fonction 2

2.1 Définition, exemple . . . 2

2.2 Primitives des fonctions usuelles . . . 2

2.3 Primitives et opérations sur les fonctions . . . 2

2.4 Existence et ensemble des primitives . . . 3

2.5 Méthodes classiques de recherche de primitives . . . 4

3 Résolution d’équations différentielles 5 3.1 Équations de la formey⁰=ay . . . 5

3.2 Équations de la formey⁰=ay+b. . . 6

Liste des tableaux

2 Méthodes classiques de recherche de primitives . . . 4

∗Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2 NOTION DE PRIMITIVE D’UNE FONCTION

1 Notion d’équation différentielle

Définition :

— Uneéquation différentielleest une équation dont l’inconnue est une fonctiony. Cette équation fait intervenir la fonctiony et ses dérivées successivesy⁰,y⁰⁰, ...

— On appellesolution de l’équation différentielletoute fonctionf dérivable vérifiant cette équation.

— Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions solutions.

Exemples :

1. La fonctionx−→e^x est solution de l’équation différentielley⁰=y.

2. La fonctionx−→x² est solution de l’équation différentielley⁰= 2x.

3. Soitf la fonction définie surRparf(x) = e^−x.

On a f⁰(x) =−e^−xet f⁰⁰(x) =−(−e^−x) = e^−x=f(x).

Donc la fonctionf est solution de l’équationy⁰⁰=y.

Remarque : Les équations différentielles sont très utilisées en sciences expérimentales. On utilise dans ce cas une notation différente pour les dérivées. On note la dérivéey⁰= dy

dx ouy⁰=dy

dt et la dérivée seconde y⁰⁰=d²y

dx² ouy⁰⁰=d²y dt².

Ces notations sont appelésnotations différentielles.

Exercices : 1, 2, 3 page 207 ; 32, 34, 35 page 217¹ [Magnard]

2 Notion de primitive d’une fonction

2.1 Définition, exemple

Définition : Soitf une fonction définie sur unintervalleI.

On appelleprimitive de la fonctionf sur l’intervalleItoute solution de l’équation différentielley⁰=f. Ainsi, une fonctionF est uneprimitivedef sur l’intervalleI si, pour toutx∈I,F⁰(x) =f(x).

Exemple : La fonctionx−→x² est solution de l’équation différentielley⁰= 2x.

Donc la fonctionF(x) =x²est une primitive, surR, de la fonctionf(x) = 2x.

Exercices : 37, 38, 39, 41 page 218² – 81, 82 page 222³ –103 page 225⁴[Magnard]

2.2 Primitives des fonctions usuelles

Les résultats du tableau 1 se retrouvent facilement par une lecture « inversée » du tableau donnant les dérivées des fonctions usuelles. Dans ce tableauC désigne un nombre réel quelconque.

2.3 Primitives et opérations sur les fonctions

On tire facilement des règles de calcul sur les dérivées le résultat suivant :

Propriété : 1. SiF et Gsont des primitives respectives def etg sur un intervalleI, alors F+Gest une primitive def +gsurI.

2. SiF est une primitive de f surI et sik∈R,kF est une primitive de kf surI.

1. Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle.

2. Premiers exemples de primitives.

3. Étude complète d’une primitive.

4. Déterminer une primitive.

fonction f primitive F Domaine de validité

f(x) =a(aconstante) F(x) =ax+C R

f(x) =x F(x) =x²

2 +C R

f(x) =xⁿ (nentier >0) F(x) = xⁿ⁺¹

n+ 1+C R

f(x) = 1

x² F(x) =−1

x+C ]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[

f(x) = 1

x³ F(x) =−1

2 × 1

x² +C ]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[

f(x) = 1

xⁿ (nentier≥2) F(x) =− 1

n−1 × 1

xⁿ⁻¹ +C ]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[

f(x) = 1

√x F(x) = 2√

x+C ]0 ; +∞[

f(x) = 1

x F(x) = lnx+C ]0 ; +∞[

f(x) = e^x F(x) = e^x+C R

Table1 –Primitives des fonctions usuelles

Remarque : Attention !Il n’y a pas de résultats analogues sur les produits et les quotients de fonctions (ce n’était déjà pas le cas pour la dérivation).

Exercices : 4, 5 page 207 ; 29, 31 page 217 et 42, 43 page 218⁵ – 48, 49 page 219⁶[Magnard]

2.4 Existence et ensemble des primitives

Théorème : (admis)

Toute fonctioncontinuesur un intervalle Iadmet des primitives surI.

Les deux résultats suivants permettent de déterminer l’ensemble des primitives d’une fonction : Théorème : Soitf une fonction définie sur un intervalleI etF une primitive def surI.

1. Pour tout réelC, la fonction x−→F(x) +C est aussiune primitive def surI.

2. SiGestune primitive def surI, il existe un réelC tel que, pour toutx∈I: G(x) =F(x) +C

Démonstration : Le 1. est évident.

2. On noteφ(x) =G(x)−F(x).

On aφ⁰(x) =G⁰(x)−F⁰(x) =f(x)−f(x) = 0 sur l’intervalleI, donc la fonctionφest constante surI.

Il existe donc C∈Rtel que, pour tout x∈I,φ(x) = 0, c’est-à-direG(x) =F(x) +C.

5. Primitives de fonctions usuelles.

6. Déterminations de primitives.

2.5 Méthodes classiques de recherche de primitives 2 NOTION DE PRIMITIVE D’UNE FONCTION

Remarque : Toute fonction continue admet donc une infinité de primitives. Toutes les primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante.

Corollaire : Soitf une fonctionadmettant des primitives sur un intervalleI.

Soitx₀∈I ety₀∈R.

Il existeune et une seule primitive Gdef sur l’intervalleItelle que G(x0) =y0. Démonstration :

SoitF une primitive def.

Toutes les primitives de f sont de la formeG(x) =F(x) +C, avecC∈R. On veut G(x₀) =y₀, c’est-à-direF(x₀) +C=y₀; d’oùC=y₀−F(x₀).

L’existence et l’unicité deC entraîne l’existence et l’unicité de la primitiveG.

Exercices : 6 page 209 ; 44, 45, 47 page 218 et 57 page 219⁷ [Magnard]

2.5 Méthodes classiques de recherche de primitives

Les résultats du tableau 2 s’obtiennent par lecture « inversée » des résultats concernant la dérivation de fonctions composées.

Dans ce tableau,udésigne une fonction dérivable sur un intervalleI.

Fonctionf de la forme... Une primitiveF Commentaires u⁰.uⁿ (avecnentier>0) uⁿ⁺¹

n+ 1 —

u⁰

uⁿ (avecnentier≥2) − 1

n−1 × 1

uⁿ⁻¹ u(x)6= 0 surI u⁰

u ln (u) u(x)>0 surI

u⁰.e^u e^u —

u⁰

√u 2√

u u(x)>0 surI

Table2 – Méthodes classiques de recherche de primitives Exemples : 1. f(x) = (2x+ 1)⁵ surI=R

f semble de la formeu⁰.u⁵avecu(x) = 2x+ 1 etu⁰(x) = 2.

On a donc :

f(x) =1

2 ×2×(2x+ 1)⁵ Une primitive def surI est donc :

F(x) = 1

2×(2x+ 1)⁶

6 = (2x+ 1)⁶ 12 2. f(x) = ¹

(1−2x)² surI=

−∞; ¹₂

f semble de la forme _u^u₂⁰ avecu(x) = 1−2xet u⁰(x) =−2.

On a donc :

f(x) =−1

2 × −2

(1−2x)²

7. Ensemble de primitives.

Une primitive def surI est donc :

F(x) =−1 2 ×

− 1 1−2x

= 1

1−2x 3. f(x) = ^√_1−3x² surI=

−∞; ¹₃

f semble de la forme ^√u0_u avecu(x) = 1−3xet u⁰(x) =−3.

On a donc :

f(x) =−2

3× −3

√1−3x Une primitive def surI est donc :

F(x) =−2 3 ×2√

1−3x=−4 3

√1−3x

4. f(x) = 3xe^−x22 surI=R

f semble de la formeu⁰e^u avecu(x) =−^x₂² et u⁰(x) =−x.

On a donc :

f(x) =−3×

−xe^−x22 Une primitive def surI est donc :

F(x) =−3e^−x22

Exercices : 8 page 209 et 50, 51, 52, 53 page 219 et 116 page 229⁸ – 55, 57 page 219⁹ – 15 ,16, 17 page 212 ; 79, 80 page 222 et 84, 85 page 223¹⁰ [Magnard]

3 Résolution d’équations différentielles

3.1 Équations de la forme y

= ay (a 6= 0)

Théorème 1 : Les solutionssur I=Rde l’équation différentielle y⁰=ay sont les fonctions de la forme x−→ke^ax, oùk∈R.

Démonstration : Soitf(x) =ke^ax.

On a f⁰(x) =kae^ax=af(x) doncf est solution de l’équation différentielle.

Réciproquement, sig est une solution de l’équation différentielle, on noteh(x) =g(x) e^−ax. On a :

h⁰(x) = g⁰(x) e^−ax+ (−a)g(x) e^−ax

= ag(x) e^−ax−ag(x) e^−ax= 0

h⁰ est nulle surR donc il existe une constante ktelle que, pour tout x∈R, h(x) =k, c’est-à-dire g(x) e^−ax=k, d’où g(x) =ke^ax.g a donc bien la forme voulue.

Exemples : 1. Résolution sur Rde l’équation différentielley⁰+ 2y= 0 Cette équation se met sous la forme y⁰ =−2y.

Les solutions sont donc les fonctions de la formef(x) =ke^−2x, oùk∈R. 2. Résolution de l’équation différentielle 3y+ 4y⁰ = 0

Cette équation se met sous la forme y⁰ =−³₄y.

Les solutions sont donc les fonctions de la formef(x) =ke^−34x, oùk∈R.

8. Détermination de primitive.

9. Avec des conditions initiales.

10. Transformation de forme pour déterminer une primitive.

3.2 Équations de la formey⁰=ay+b 3 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Théorème 2 : Pour tout couple de réels (x₀;y₀), il existe une unique solutionf de l’équation différen- tielley⁰ =ay surI=Rvérifiantf(x₀) =y₀.

Démonstration :

Les solutions sont de la formef(x) =ke^ax.

f(x0) =y0⇐⇒ke^ax0 =y0⇐⇒k=y0e^−ax0 On a trouvé une seule valeur de la constantek, d’où l’unicité de la solution.

Remarque : Dans ce cas, la solution est :

f(x) =y0e^−ax0e^ax=y0e^−ax0+ax=y0e^a(x−x0)

Exemple : Déterminer la solutionf de l’équation différentielle 2y⁰−5y= 0 telle que f(2) = 3 L’équation différentielle se met sous la formey⁰ =⁵₂y.

Les solutions sont donc de la formef(x) =ke⁵2x.

De plus, on veut quef(2) = 3, c’est-à-direke⁵= 3. D’oùk= 3e⁻⁵ etf(x) = 3e⁵2x−5.

Exercices : 10, 11 page 211 ; 18 page 213 et 59, 60, 61, 64 page 220¹¹ – 20, 21 page 214 ; 63, 65 page 220 ; 71, 73 page 221 ; 88, 91 page 223 et 95 page 224¹² [Magnard]

3.2 Équations de la forme y

= ay + b (a et b non nuls)

Théorème : 1. Les solutions surI =R de l’équation différentielle y⁰=ay+b sont les fonctions de la formex−→ke^ax−^b_a, oùk∈R.

2. Pour tout couple de réels (x0; y0), il existeune unique solutionf de l’équation différentielle y⁰ = ay+b surI=Rvérifiantf(x0) =y0.

Remarque : La fonction constante x−→ −b

a est appeléesolution particulièrede l’équation.

Toute solution de l’équation se met donc sous la formede la somme d’une solution de l’équationy⁰=ay et de la solution particulière.

Démonstration (partielle) :

On montre facilement que toute fonction ayant la forme proposée est solution de l’équation différentielle.

Réciproquement, sif est solution de l’équation différentielle, on poseg(x) =f(x) +_a^b. On a :g⁰(x) =f⁰(x) et commef solution de l’équation différentielle,f⁰(x) =af(x) +b. d’où :

g⁰(x) = af(x) +b

= a

g(x)−b a

+b

= ag(x)−b+b

= ag(x)

Par suite, d’après3.1il existek∈Rtel queg(x) =ke^ax. Par suite : f(x) =g(x)−b

a =ke^ax− b a

La deuxième partie du théorème se prouve par une méthode analogue à celle du3.1.

Exercices : 12, 13 page 211 ; 19 page 213 et 66, 67, 69 page 220¹³ – 72, 75 page 221 ; 92 page 223 et 83 page 224¹⁴– 106, 107 page 226¹⁵ – 22, 23, 27 page 215 et 97, 98 page 224¹⁶ [Magnard]

11. Résolution d’équations différentielles de la formey⁰=ay.

12. Modéliser des phénomènes.

13. Résolution d’équations différentielles de la formey⁰=ay.

14. Modéliser des phénomènes.

15. Exercices-bilan.

16. Complément : résolution d’équations différentielles de la formey⁰=ay+ϕ, oùϕest une fonction.

Références

[Magnard] Maths Tle Spécialité,Magnard, 2020 2, 3, 4, 5, 6