Notion de fonction
Remarque : Les exercices précédés d’un symbole ! sont ceux qui disposent d’une fiche de TD spéciales, disponible sur le site ww.math93.com/.../seconde. Sur cette fiche de nombreux exercices identiques sont disponibles et corrigés, pour vous préparer à l’évaluation sommative de fin de chapitre.
Nombres et intervalles
Exercice 1. Ensembles de nombres
Précisez le plus petit ensemble, au sens de l’inclusion, auquel appartiennent les nombres suivants :
1. A= µ 1
p3
¶2
;
2. B=2, 8 0, 7; 3. C=(−10)2;
4. D= −p 2×p
8 ;
5. E= 1 1+p
3+ 1 1−p
3; 6. F=¡
1−p 2¢2
+p 8 ; Réponses
1.: A=1
3∈Q/2.: B=4∈N/3.: C=100∈N/4.: D= −4∈Z/5.: E= −1∈Z/5.: F=3∈N
Exercice 2. Algorithme : vrai ou faux
1: VARIABLES
2: a EST_DU_TYPE NOMBRE 3: b EST_DU_TYPE NOMBRE 4: c EST_DU_TYPE NOMBRE 5: DEBUT_ALGORITHME 6: a PREND_LA_VALEUR 1 7: b PREND_LA_VALEUR a+1 8: c PREND_LA_VALEUR 2∗b 9: a PREND_LA_VALEUR a+b+c 10: FIN_ALGORITHME
On considère l’algorithme ci-dessus. Compléter le tableau suivant puis dire si les affirmations sont vraies ou fausses
Ligne a b c
L6 · · · · L7 · · · · L8 · · · · L9 · · · · 1. Proposition 1:a∈[0 ; 7[ ;
2. Proposition 1:b∈[0 ; 3[ ; 3. Proposition 1:c∈[0 ; 4] .
Réponses
1.: Fausse /2.: Vraie /3.: Vraie
Exercice 3. Vrai ou Faux
Dire si ces affirmations sont vraie ou fausse, en justifiant votre réponse.
1. Le quotient de deux nombres irrationnels et toujours un nombre irrationnel.
2. 1
p7+1= p7−1
6
3. Le triangle ABC avecAB=p
3 cm,AC=p
8 cm etBC=p 5 cm est rectangle.
4.
q
¡1−p 2¢2
=1−p 2.
5.
q
¡4−p 5¢2
=4−p 5.
6. Le carré d’un nombre irrationnel est toujours irrationnel.
Réponses
1.: Fausse /2.: Vraie /3.: Vraie /4.: Fausse /5.: Vraie6.: Fausse.
Exercice 4. Intervalles
On considère les intervalles suivants :
A=]−∞; 10] ; B=]−5 ; 5] ; C=]3 ;+∞[
Déterminez et simplifiez les ensembles suivants : 1. A∩B
2. A∩C
3. C∩B 4. A∪B
5. A∪C 6. C∪B Réponses
1.B /2.]3 ; 10]/3.]3 ; 5]/4.A /5.R/6.]−5 ;+∞[
Notion de fonction
Exercice 5. Lectures graphique
On considère la fonctionhdont on donne la courbe représentativeChci-dessous.
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10 x
h(x)
b b b b b b b b
C
h1. Lire l’ensemble de définitionDhde la fonctionh.
2. Donner les images par la fonctionhde−3 et 0.
3. Donner les antécédents parhde 2.
4. Donner les antécédents parhde 0.
5. Déterminer l’ensemble des réels qui ont une image positive ou nulle par la fonctionh. On noteEcet ensemble.
6. Quels sont les maximum et minimum dehsur son ensemble de définition ? Pour quelles valeurs dexsont-ils atteints ? Réponses
1. [−9 ; 9] / 2. 9 et 2 / 3. 0 et −6, 4 / 4.−7 ; 1 ; 5 / 5. E=[−7 ; 1]∪5 6. Max. 9 atteint pour x= −3et Min.−8atteint pour x=9
Exercice 6. Bilan
On considère la fonctiongdont on donne la courbe représentativeCg ci-dessous.
−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6 x
g(x)
b b b b b b b b b b
C
g1. Lire l’ensemble de définitionDg de la fonctiong. 2. Donner les images par la fonctiongde−4 et 4.
3. Donner les antécédents pargde 4.
4. Donner les antécédents pargde 0.
5. Déterminer l’ensemble des réels qui ont une image positive ou nulle par la fonctiong. On noteEcet ensemble.
6. Quels sont les maximum et minimum degsur son ensemble de définition ? Pour quelles valeurs dexsont-ils atteints ? 7. Déterminer l’ensemble des réels qui ont exactement un antécédents par la fonctiong.
8. Tableau de variation.
8. a. Dresser le tableau de variation de la fonctiong.
8. b. Donner un encadrement deg(x) sur l’intervalle [−4 ; 5].
Réponses
1. [−5 ; 6] / 2. 0 et −2 / 3. −1 / 4.−4 ; 1 ; 3 ; 5 / 5.E=[−4 ; 3]∪[5 ; 6]
6. Max. 4 atteint pour x= −1et Min.−5atteint pour x= −5 / 7.[−5 ;−2[∪{4} / 8.b [−2 ; 4]
Exercice 7. Tableau de variation 1
Une fonctionhdéfinie sur l’intervalle [−4 ; 5] admet le tableau de variation ci-dessous.
x
Variations deh
−10 0 2 10
−5
−5
5 5
−7
−7
7 7
1. Pourx∈[−10 ; 2], encadrerh(x).
2. Quels sont les maximum et minimum dehsur son ensemble de définition ? Pour quelles valeurs dexsont-ils atteints ? 3. Combien l’équationh(x)=0 a-t-elle de solutions sur l’intervalle [−10 ; 2] ?
Exercice 8. Tableau de variation 2
Voici le tableau de variation d’une fonctionf définie sur [−4 ; 7].
x
f(x)
−4 2 7
0 0
−2
−2
5 5
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou sont fausses.
1. f(0)= −4.
2. f(2, 01)<0.
3. f(−3)>f(−2).
4. Six∈[−4 ; 2], alorsf(x)∈[0 ;−2].
5. Pour toutx∈[−4 ; 2],f(x)≤0
6. L’équation f(x)=0 admet deux solutions dans l’intervalle [−4 ; 7].
7. Le minimum def sur [−4 ; 7] est 2.
8. On suppose maintenant quef(4)=0.
8. a. f(0)<f(6).
8. b. Sif(x)∈]0 ; 5], alorsx∈[2 ; 7].
8. c. f(x)≤0⇐⇒x∈[−4 ; 2].
Réponses
1. Faux / 2.Faux / 3.Vrai / 4.Faux / 5.Vrai / 6.Vrai / 7.Faux / 8.a.Vrai / 8.b.Vrai / 8.c.Faux
Exercice 9. !Une fonction ... algébrique(*) (pas au programme de l’évaluation)
On considère la fonctionf définie surRpar
f(x)= −3x2+27x+15 1. Déterminer l’image dep
5 parf sous la formea+bp
5 oùaetbsont des entiers relatifs.
2. Déterminer l’image de
³
−3+p 2
´
parf sous la formea+bp
2 oùaetbsont des entiers relatifs.
3. Déterminer l’image de µ2
3
¶
parf sous la forme d’une fraction irréductible.
4.
4. a. Montrer que pour tout réelxon a
f(x)= −3(−1−x)(5−x)
4. b. En déduire les coordonnées des points d’intersection deCf, la courbe représentative de la fonction f avec l’axe des abscisses.
5. Déterminer les antécédents de 15 parf. Réponses 1.f¡p
5¢
=0+27p 5/ 2.f¡
−3+p 2¢
= −99+45p 2/ 3.f
µ2 3
¶
=95
3 / 4.b A(−1 ; 0) ;B(5 ; 0) /5. S={0 ; 9}
