Judicaël Courant 2018-W14-1 (2 avril)

Lycée La Martinière Monplaisir

Option Informatiqe 2^eannée Langages rationnels et automates (exercices)

Langages rationnels et automates (exercices)

Judicaël Courant 2018-W14-1 (2 avril)

NB : Il est évidemment utile de connaître le théorème de Kleene (un langage peut être décrit par une expression ra- tionnelle si et seulement s’il est reconnu par un automate fini).

Exercice 1 On considère un alphabetΣ^∗ et on s’intéresse au langageLdéfini par

L={x∈Σ^∗| ∃y ∈E P(x, y)}

oùP(x, y)est une formule portant sur les variablesxety.

On suppose que pour touty ∈ E, le langageLy défini parL_y ={x∈Σ^∗|P(x, y)}est rationnel.

1. Montrer que siEest fini,Lest nécessairement ration- nel. Montrer que ce n’est pas nécessairement le cas siE n’est pas rationnel.

2. Mêmes questions en remplaçant le quantificateur exis- tentiel par un quantificateur universel dans la défini- tion deL.

Exercice 2 Soit(Q, q₀, F, δ)un automate sur un alphabet Σ. On noteLle langage reconnu par cet automate.

1. Soitpetq deux états de cet automate. Justifier que le langage{u∈Σ^∗ |δ^∗(p, u) =q}, qu’on noteraL_p,q, est rationnel.

2. Montrer que le langage {u∈Σ^∗ |uu∈L} est ra- tionnel. Ce langage est appelé racine carrée deL et noté √

L. Écrire L à l’aide d’opérations ensemblistes sur les langagesL_p,qpour(p, q)∈Q.

3. On poseL⁰ = {u∈Σ^∗|uu∈L}. Montrer que L⁰ est rationnel.

4. On poseL⁰ ={uv|u∈Σ^∗, v∈Σ∗, vu∈L}. Mon- trer queL⁰est rationnel.

Exercice 3 SoitΣetΣ⁰ deux alphabets. Soitµ: Σ → Σ⁰ une application.

On étend µ en une application de Σ^∗ dans Σ^0∗ en po- sant, pour tout entier naturel n et tout mot a1. . . an, µ(a₁. . . a_n) =µ(a₁). . . µ(a_n)(en particulierµ() =).

SoitL⊂Σ^∗un langage. On poseL⁰ =µ(L)(autrement dit,L⁰est l’image directe deLparµ).

1. Remarquer qu’on n’a pas nécessairement l’équivalence µ(u)∈µ(L) ⇐⇒ u∈L.

2. Montrer que si Lest rationnel, µ(L) l’est également mais que la réciproque n’est pas nécessairement vraie.

Exercice 4 SoitΣ₁ etΣ₂ deux alphabets etL₁ etL₂ des langages sur ces alphabets respectifs. On poseΣ = Σ₁×Σ₂. L’ensembleΣest fini, donc c’est un alphabet.

On note alorsLle langage surΣdont les éléments sont les mots de la formeu= (a₁, b₁). . .(a_n, b_n)deΣ^∗, oùn∈N, aveca1. . . anetb1. . . bnappartenant respectivement àL1

etL₂. En particulierLcontient le mot vide si et seulement siL₁ etL₂ le contiennent tous les deux.

1. Montrer que siL₁ etL₂ sont rationnels, alors Ll’est également.

2. Montrer que siLest rationnel et queL₂ contient des mots de n’importe quelle longueur, alorsL₁est ration- nel. Est-ce toujours le cas sans l’hypothèse surL2? Exercice 5 SoitΣun alphabet.

1. Soit L et D deux langages rationnels sur un alpha- betΣ. Montrer que le langageL : D, défini comme {u∈L| ∃v∈D|u|=|v| }, est rationnel.

2. Soit L un langage rationnel. Montrer que le lan- gage ¹₂L est rationnel, où ¹₂L est défini comme {u∈Σ^∗| ∃v ∈Σ^∗|u|=|v|etuv∈L}

Exercice 6 On noteΣl’alphabet{a, b}. On noteL_a(resp.

L_b) le langage sur Σ constitué des mots contenant un nombre pair dea(resp. b). On noteLle langage constitué des mots contenant un nombre pair deaet un nombre pair deb.

1. On demande de montrer queL_aest rationnel de deux façons différentes et indépendantes :

a) Donnez une expression rationnelle décrivant La1. Vous justifierez votre réponse².

b) Donnez un automate reconnaissantL_a. Vous jus- tifierez votre réponse³.

2. Il est alors clair que L est rationnel (intersection de deux langages rationnels). Donnez un automate recon- naissantL.

1. On cherche donc une expression rationnelle E telle que L(E) =La.

2. Attention à ne pas confondre égalité et inclusion.

3. Là encore, attention à ne pas confondre égalité et inclusion.

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