q 1 et q 2 sontnulles. La

Examen de robotique

Durée: 3heures

Doumentsautorisés.

Exerie 1

SoitunrobotdetypeSCARAà2artiulationsrotoïdesdontlemodèleestdonnéparlagure

1.Lerobotest représentédans laposition oùlesoordonnéesartiulaires

q ¹

^et

q ²

^{sontnulles. La}

longueurdesorpsest

l ¹

^et

l ²

^{.Onmodéliselamassedesorpsparlesmasses}

m ¹

^et

m ²

^onentrées

auxextrémitésdesorps.

Le ouple exeré par les ationneurs sur les orps 1 et 2 sont respetivement

τ 1

^et

τ 2

^{. Les}

équationsdeladynamique deerobotsontlessuivantes:

τ 1 = m 2 l 2 ² (¨ q 1 + ¨ q 2 ) + m 2 l 1 l 2 cos q 2 (2¨ q 1 + ¨ q 2 ) + (m 1 + m 2 )l 1 ² q ¨ 1 − m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 2 ² − 2m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 1 q ˙ 2

τ ² = m ² l ¹ l ² cos q ² q ¨ ¹ + m ² l ¹ l ² sin q ² q ˙ ² 1 + m ² l 2 ² (¨ q ¹ + ¨ q ² )

Fig.1RobotSCARA.

1. Lorsque

q ˙ 1

^et

q ˙ 2

^{sontonstants,pourquelle(s) valeur(s)} partiulière(s)de

q 2

^leseortsdes

ationneurs sont-ilsmaximums?Dansette (es) onguration(s)partiulière(s),quelleest

lenomdeseetsquigénèrent

τ ¹

^et

τ ²

^?

2. On donne

m ¹ = 20

^kg,

m ² = 10

^kg,

l ¹ = l ² = 0.4

^m,

q ˙ ¹ = ˙ q ² = 1

^{rad/s. Caluler pourla}

(les) onguration(s)partiulière(s)delaquestion1.lesouplesexerésparlesationneurs

pourgénérerunmouvementàvitesseangulaireonstantede

1

^{rad/ssurles2axes.Disuter}

lerésultatobtenu.

On déide de linéariser le modèle dynamique autour de 2 points de fontionnement :

q ² = 0

^et

q 2 = π/2

^{. Pour linéariser les équations} dynamiques, on néglige les termes faisant appa- raîtredesvitesses auarré(parexemple

m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 1 ²

^{)oudes produitsde vitesse(parexemple}

2m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 1 q ˙ 2

^).

3. Pourles2pointsdefontionnment, donnerleséquationsdynamiques linéarisées.Faire l'ap-

pliationnumérique.

4. Pour les 2 points de fontionnement, donner (numériquement) la matrie de fontion de

transfert

F (s)

^telleque:

Q 1 (s) Q 2 (s)

= F(s)

Γ 1 (s) Γ 2 (s)

ave

Q 1 (s)

^,

Q 2 (s)

^,

Γ 1 (s)

^,

Γ 2 (s)

respetivement les transforméesde Laplae de

q 1 (t)

^,

q 2 (t)

^,

τ 1 (t)

^et

τ 2 (t)

^{.Disuterlerésultatobtenudupointdevuedelaommandedeerobot.}

Exerie 2

Soitlerobotà3axesrotoïdesreprésentésurlagure2danslapositionoùtouteslesoordonnées

artiulairessontnulles.

Fig.2Robot3R.

1. Plaer les repères

R 0

^à

R 3

^{en respetant laonventionde} Denavit-Hartenberg. Les axes

z

serontorientésverslehautouversl'arrièreetlesaxes

x

^{verslagauheouverslehaut.}

2. Donnerletableau deDHdeerobot. En déduirelatransformation

M 03

^{.Onpourras'aider}

des résultatsdu ours.Donnerle Jaobien3x3 dee robotreliant

0 V ^{O 3}

^{,le veteur vitesse}

de

O 3

^{exprimédanslerepèredebase,à}

q ˙

^{,leveteurdesvitesses}artiulaires.

3. Danslaongurationreprésentéesurlagure2,onveutquelapineexereuneortstatique

F

^surl'environnementdont lesoordonnées dans

R 0

^sont

[1 0 0] ^T

^{. Donnerles ouplesque}