) est. passant par le point V d affixe i. Le cercle Γ coupe la droite ( OA ) en deux points M et N. ( M a une abscisse positive )

(1)

Une construction d’un pentagone régulier : version 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O ; u , v ). Unité : 4 cm.

Partie A Valeur exacte de cos ( 2 5

 )

Soit w le complexe de module 1 et d’argument ² 5

. On pose α = w + w ⁴ et β = w ² + w ³.

1. Quelle est la valeur de w ⁵ ? Montrer que1 + w + w ² + w ³ + w ⁴ = 0.

2. En déduire que α + β = α β = – 1.

3. Résoudre dans C l’équation z ² + z – 1 = 0.

4. Montrer que w ⁴ = w ^{– 1}. En déduire que α = 2 cos ( ² 5

 ).

5. Prouver que la valeur exacte de cos ( ² 5

 ) est ⁵ ¹ 4

 .

Partie B Construction à la règle et au compas

A , B , C , D , E sont les points d’affixes respectives 1 , w , w ² , w ³ , w ⁴. H est le point d’intersection des droites ( BE ) et ( OA ).

1. Réaliser une figure qu’on complétera au fur et à mesure.

2. Vérifier que le point H a pour abscisse cos ( ² 5

 ).

3. Γ est le cercle de centre K d’affixe – ¹

2 passant par le point V d’affixe i.

Le cercle Γ coupe la droite ( OA ) en deux points M et N. ( M a une abscisse positive ) a. Justifier que le point M a pour abscisse α et le point N a pour abscisse β.

b. Quel est le milieu du segment [OM] ? Justifier.

4. Expliquer comment on peut construire à la règle et au compas un pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A et effectuer cette construction.

Source : d’après un exercice assez ancien de BAC Scientifique.

(2)

Partie A Valeur exacte de cos ( 2 5

 )

1. w ⁵ = (

2 5 i 

e ) ⁵ = e ^{i 2 π} = 1. 1 + w + w ² + w ³ + w ⁴ =

5 1

1



 w

w = 0.

2. α + β = w + w ⁴ + w ² + w ³ = ( 1 + w + w ² + w ³ + w ⁴ ) – 1 = 0 – 1 = – 1.

α β = ( w + w ⁴ ) ( w ² + w ³ ) = w ³ + w ⁴ + w ⁶ + w ⁷ = w ³ + w ⁴ + w + w ² = – 1.

3. On résout dans C l’équation z ² + z – 1 = 0.

On pose a = 1 , b = 1 , c = – 1.

Δ = b ² – 4 a c = ( 1 ) ² – 4  ( 1 )  ( – 1 ) = 5.

Δ > 0 donc l’équation donnée possède deux solutions réelles distinctes z 1 et z 2 . z 1 = ⁺

2

b 

a = ⁵ ¹ 2

 . z 2 = 2

  b

a = – ^{5 + 1} 2 . 4. w ⁴ =

w 5

w = ¹

w = w ^{– 1}. α = w + w ⁴ = w + w ^{– 1} =

2 5 i 

e +

2 5

i 

e = 2 cos ( ² 5

 ).

5. ( z – α ) ( z – β ) = z ² – α z – β z + α β = z ² – ( α + β ) z + α β = z ² + z – 1.

α et β sont les deux solutions de l’équation z ² + z – 1 = 0 dans C.

α = 2 cos ( ² 5

 ) donc α > 0 or z 2 < 0 donc α = ⁵ ¹ 2

 donc cos ( ² 5

 ) est ⁵ ¹ 4

 .

Partie B Construction à la règle et au compas 1.

2. B a pour affixe w =

2 5 i 

e . E a pour affixe w ⁴ = w ^{– 1} =

2 5

i 

e . Les points B et E ont pour abscisses respectives cos ( ²

5

 ) et cos ( – ² 5

 ) qui sont égales

donc les points B et E appartiennent à la droite d’équation x = cos ( ² 5

 ).

On en déduit que le point H a pour abscisse cos ( ² 5

 ).

(3)

Une construction d’un pentagone régulier : version 1 3.a. Le rayon du cercle Γ est KV.

KV ² = | i – ( – ¹

2 ) | ² = | ¹

2 – i | ² = ( ¹

2 ) ² + ( – 1 ) ² = ¹

4 + 1 = ⁵

4 donc KV = ⁵ 2 . x M – x K = ⁵

2 donc x M = x K + ⁵

2 = ⁵ ¹ 2

 = α.

x K – x N = ⁵

2 donc x N = x K – ⁵

2 = – ^{5 + 1} 2 = β.

3.b. M ( 2 cos ( ² 5

 ) ; 0 ) et H ( cos ( ² 5

 ) ; 0 ) donc H est le milieu du segment [OM].

4. On connaît le centre O et un point A du pentagone régulier.

On trace le cercle de centre O passant par A qu’on appelle c.

On construit le point T symétrique du point A par rapport au point O.

La médiatrice du segment [OT] coupe la droite ( OA ) en un point K.

La médiatrice du segment [TA] qui passe par O coupe le cercle c en deux points V et W.

Le point V est tel que son affixe est celle de A multipliée par i.

Le cercle Γ de centre K passant par le point V coupe le segment [OA] en un point M.

La médiatrice du segment [OM] coupe le cercle c en deux points B et E.

Le cercle c 1 de centre B passant par A recoupe le cercle c en un point C.

Le cercle c 2 de centre E passant par A recoupe le cercle c en un point D.

ABCDE est un pentagone régulier construit à la règle et au compas.

(4)

Une construction d’un pentagone régulier : version 2 c 1 est le cercle de centre O et de rayon 1.

[IK] et [JL] sont deux diamètres perpendiculaires du cercle c 1 . Le point M est le milieu du segment [OJ].

Le cercle c 2 de centre M passant par I coupe le diamètre [JL] en N.

Le cercle c 3 de centre I passant par N coupe le cercle c 1 en A et Z.

Partie A Etude expérimentale

On se propose de construire un pentagone régulier inscrit dans le cercle c 1 . 1. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, réaliser une figure.

2. Afficher la mesure en degrés de l’angle AOI. Construire le pentagone régulier IABCD.

Partie B Etude théorique

On se propose de justifier la valeur de la mesure en degrés de l’angle AOI. 1. a. Calculer MI , ON , NI.

b. En utilisant le triangle OIA, montrer que cos ( AOI ) = ⁵ ¹ 4

 .

2. a. Prouver que sin ( 4 t ) + sin ( t ) = sin t ( 2 cos t + 1 ) ( 4 cos ² t + 2 cos t – 1 ).

b. En déduire que 4 cos ² ( ² 5

 ) + 2 cos ( ² 5

 ) – 1 = 0.

c. Justifier que cos ( ² 5

 ) = ⁵ ¹ 4

 .

3. Quelle est la mesure en radians puis en degrés de l’angle AOI ?

Source : Manuel de première S, Collection Terracher, Editions Hachette 2001.

(5)

Une construction d’un pentagone régulier : version 2 Partie A Etude expérimentale

On peut utiliser le logiciel GeoGebra.

Créer les points : O = ( 0 , 0 ) ; I = ( 1 , 0 ) ; J = ( 0 , 1 ) ; K = ( – 1 , 0 ) ; L = ( 0 , – 1 ).

Créer le cercle c1 de centre O et de rayon 1. Créer les segments [IK] et [JL].

Créer le milieu du segment [OJ] noté M.

Créer le cercle de centre M passant par I noté c2.

Créer le point d’intersection du cercle c2 et du segment [JL] noté N.

Créer le cercle de centre I passant par N noté c3.

Créer les points d’intersection des cercles c1 et c3 notés A et Z.

Créer l’angle défini par A , O , I. On lit AOI= 72 °.

Créer le polygone régulier : Polygone [ I , A , 5 ].

(6)

Partie B Etude théorique

1.a. Le triangle MOI est rectangle en O donc MI ² = OI ² + OM ² donc MI ² = 1 + ¹ 4 donc MI ² = ⁵

4 donc MI = ⁵ 2 .

ON = MN – OM donc ON = MI – OM donc ON = ⁵ ¹ 2

 . Le triangle NOI est rectangle en O donc NI ² = OI ² + ON ² donc NI ² = 1 + ⁶ ^{2 5}

4

 donc NI ² = ⁵ ⁵ 2

 .

1.b. D’après la propriété de Al-Kashi, AI ² = OI ² + OA ² – 2  OI  OA  cos ( AOI ) donc ( 2  OI  OA ) cos ( AOI ) = ( OI ² + OA ² – AI ² )

donc ( 2  1  1 ) cos ( AOI ) = ( 1 ² + 1 ² – ⁵ ⁵ 2

 )

donc cos ( AOI ) = ⁵ ¹ 4

 .

2.a. sin ( 4 t ) = sin ( 2  2 t ) donc sin ( 4 t ) = 2 sin ( 2 t ) cos ( 2 t ) donc sin ( 4 t ) = 4 sin t cos t ( 2 cos ² t – 1 ).

sin ( 4 t ) + sin ( t ) = sin t [ 4 cos t ( 2 cos ² t – 1 ) + 1 ] donc sin ( 4 t ) + sin ( t ) = sin t ( 8 cos ³ t – 4 cos t + 1 )

donc sin ( 4 t ) + sin ( t ) = sin t ( 2 cos t – 1 ) ( 4 cos ² t + 2 cos t – 1 ).

2.b. sin ( 4  2 5

 ) + sin ( ² 5

 ) = sin ( 2 π – ² 5

 ) + sin ( ² 5

 )

donc sin ( 4  ² 5

 ) – sin ( ² 5

 ) = – sin ( ² 5

 ) + sin ( ² 5

 ) = 0.

D’après 2.a. , puisque sin ( ² 5

 ) ≠ 0 et 2 cos ( ² 5

 ) – 1 ≠ 0

alors 4 cos ² ( ² 5

 ) + 2 cos ( ² 5

 ) – 1 = 0.

2.c. cos ( ² 5

 ) est une solution de l’équation 4 x ² + 2 x – 1 = 0.

L’équation 4 x ² + 2 x – 1 = 0 a deux solutions réelles distinctes qui sont : ⁵ ¹

4

 

( réel négatif ) et ⁵ ¹ 4

 ( réel positif ).

cos ( ² 5

 ) > 0 donc cos ( ² 5

 ) = ⁵ ¹ 4

 .

3. D’après B1.b. et B2.d. : cos ( AOI ) = cos ( ² 5

 ) donc AOI = ² 5

 rad = 72 °.

(7)