le corps des nombres complexes

(1)

Nombres complexes Exercice 1

D´eterminer et repr´esenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesztels que : a)

¯¯

¯¯z−3 z−5

¯¯

¯¯= 1 ; b)

¯¯

¯¯z−3 z−5

¯¯

¯¯<1 ; c)Re(1−z)≤2 ; d)Re(iz)≥1 ; e) z⁷et 1

z² soient conjugu´es ; f)|z|+z= 1 + 3i.

Exercice 2

D´eterminer la partie r´eelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : a)z1= 1 +im

2m+i(m²−1) (mest un réel fixé) ; b)z2= 1 +eîθ

1−eîθ (θest un réel fixé).

Exercice 3

Soituet vdeux nombres complexes. Montrer que :

|u+v|²+|u−v|²= 2|u|²+ 2|v|². Exercice 4

Soitz∈C\ {−1,1}. Montrer que 1−z

1 +z est imaginaire pur si et seulement si|z|= 1.

Exercice 5

D´eterminer le module et une d´etermination de l’argument du nombre complexe : 1 +i√

√ 3 3 +i. Exercice 6

Calculerz= µ 3

√3 +i

¶₈ . Exercice 7

Pour lesquels des entiers suivants : 2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010 le nombre (1 +i)ⁿest-il imaginaire pur ?

Exercice 8

Montrer que pour toutn∈Z,

(1 +i)ⁿ = 2^n/2 h

cos(nπ

4 ) +isin(nπ 4 )

i .

Exercice 9 Calculer

µ 1 +i 1 +i√

3

¶_n

en fonction de l’entier positifn.

Exercice 10

Trouver les racines troisi`emes de−8i.

Exercice 11

Montrer que la somme des racines septi`emes de n’importe quel complexe vaut 0.

Exercice 12

R´esoudre dansCles ´equations suivantes, d’inconnuez:

a)z⁴+ 4 = 0 ; b)zⁿ+ 1 = 0 (n≥1 est un entier fix´e) ; c) z⁵−z= 0 ; d) (1 +i√

3)z⁴−1 +i= 0.

Exercice 13

Calculer les racines deuxi`emes des nombres complexes suivants :

a) 8−6i; b)−3 + 4i; c) 7 + 24i; d) 9 + 40i; e) 1 +i.

.

(2)

Résoudre dansCles équations du second degré suivantes, d’inconnuez:

a) z²−(3 + 2i)z+ 5(1 +i) = 0 ; b)iz²+ (1−5i)z+ 6i−2 = 0 ; c)z²−(7 + 2i)z+ 13(1 +i) = 0 ; d)z²+ 4z+ 5 = 0 ; e) z²−(3 + 4i)z+ 7i−1 = 0 ; f) 2z²+ (5 +i)z+ 2 + 2i= 0.

Exercice 15

D´eterminer le module et un argument dez1=

√6−i√ 2

2 et dez2= 1−i, puis le module et un argument de z1/z2. En d´eduire la valeur de cos(π

12) et celle de sin(π 12).

Exercice 16

Soitzun nombre complexe, avec z6= 0 etz6=−1.

1) ´Ecrire l’expressionQ(z) = 1 +z⁵

z²(1 +z) en fonction deu=z+1 z. 2) On poseω= cos (π

5) +isin (π

5). CalculerQ(ω) et déduire de ce qui précède la valeur de cos (π 5).

Exercice 17

Utiliser le r´esultat de l’exercice 13e) pour calculer les valeurs de cos

³π 8

´

et de sin

³π 8

´ . Exercice 18

R´esoudre dansCles ´equations du suivantes, d’inconnuez:

a) 27(z−1)⁶+ (z+ 1)⁶= 0 ; b)z⁶−(3 + 2i)z³+ 2 + 2i= 0 ;

c) z⁵= 16¯z; d)z⁵−z+ ¯z= 0.

Exercice 19

1) Soitn≥1 un entier. R´esoudre (z+ 1)ⁿ= (z−1)ⁿ. Combien y a-t-il de solutions ? 2) En d´eduire la valeur de

Y2p

k=1

cotan µ kπ

2p+ 1

¶ .

Exercice 20

D´eterminer l’ensemble des nombres complexesz pour lesquels il existex∈Rtel que z=1 +ix 1−ix. Exercice 21

Soitu,v et wtrois nombres complexes tels que|u|=|v|=|w|= 1.

Etablir la relation :´

|uv+vw+wu|=|u+v+w|.

Exercice 22

Soitzun nombre complexe de module 1 ; on noteraϕune repr´esentation de l’argument dez.

Donner le module et une repr´esentation de l’argument de 1 +z+z². Exercice 23

Soitαun r´eel. Montrer que pour toutn∈Z, (et si ces expressions ont un sens), µ1 +itanα

1−itanα

¶_n

= 1 +itan(nα) 1−itan(nα). Exercice 24

Résoudre le système suivant d’inconnues complexesu,v etw(oùa,betcsont des paramètres complexes et j désigne selon l’usage le complexee^2iπ/3).

(u+ v + w =a u+ jv +j²w=b u+j²v+ jw =c .

Pour quelles valeurs des param`etresa, betc les solutions sont-elles toutes trois r´eelles ?

(3)

Trigonom´etrie Exercice 25

Soitθ un r´eel. En utilisant l’exponentielle complexe, retrouver les formules permettant de calculer cos(3θ) en fonction de cosθet sin(3θ) en fonction de sinθ.

Exercice 26

Lin´eariser les expressions cos⁵θ, puis cos⁴θsin²θ.

Exercice 27

Soitn≥1 un entier etθun r´eel.

1) Calculer les expressions An= 1 +

µn 1

¶

cos(θ) + µn

2

¶

cos(2θ) +· · ·+ µn

n

¶

cos(nθ) et Bn=

µn 1

¶

sin(θ) + µn

2

¶

sin(2θ) +· · ·+ µn

n

¶

sin(nθ).

2) Calculer les expressions

Cn= Xn

k=0

cos(kθ) et Sn= Xn

k=0

sin(kθ).

Exercice 28

Etablir la formule suivante :´

tan(x−y) + tan(y−z) + tan(z−x) = tan(x−y) tan(y−z) tan(z−x).

où x, y, zsont trois réels pour lesquels les trois tangentes apparaissant dans la formule sont définies.

Exercice 29

R´esoudre les ´equations :

1) 2^sin²^x= cosx; 2) sin(cosx) = cos(sinx).

Exercice 30

Soitaun réel Soitfa(θ) = sin²θ+acosθ. Déterminer, en fonction dea, le plus grand intervalle de la forme [0, Ca] où une restriction defa est bijective.

Rappels sur exponentielle, logarithme, puissances Exercice 31

Calculer, en justifiant précisément comment on s’est ramené aux théorèmes de comparaison connus : (1) lim

x→+∞(e^x−x) ; (2) lim

x→+∞

e^x

lnx ; (3) lim

x→0x²e¹^x.

Exercice 32

Soitf une fonction réelle d’une variable réelle etaun réel. On suppose quef(x)→aquandx→+∞.

Trouver la limite de µ

1 + f(x) x

¶_x

quandxtend vers +∞.

Exercice 33

Soitf:R^+∗→Rl’application d´efinie par f(x) = lnx x . Etudier les variations de´ f et tracer son graphe.

D´eterminer tous les couples d’entiers strictement positifs (m, n) v´erifiantmⁿ =n^m.

(4)

Préciser les domaines de définition et les domaines de dérivabilité, puis calculer les dérivées des fonctions suivantes :

(1)f(x) =e^x²; (2)g(x) = ln|lnx|; (3)h(x) = ln

¯¯

¯sin

³x 2

´¯¯¯.

Exercice 35

Soitf:R⁺→Rl’application d´efinie par f(x) =

nx^x six >0 1 six= 0 .

Déterminer la limite def(x) quandxtend vers 0 (avecx6= 0), puis étudier en quels points deR⁺la fonction f est dérivable. Étudier ses variations et tracer sommairement son graphe.

Exercice 36

Discuter l’équation exp(−ae^−ax) =x, o`u le paramètrea, est un réel donné vérifiant 0≤a≤e.

Fonctions hyperboliques Exercice 37

Soitf : R→R. Montrer qu’il existe deux fonctions réellesf1 et f2, avecf1 paire etf2impaire, telles que f(x) = f1(x) +f2(x) pour tout x∈ R. Montrer que cette décomposition est unique. Déterminer f1 et f2

dans le casf(x) =e^x. Exercice 38

Montrer les formules suivantes, valables pour tous r´eelsx, y:

(1) ch²x+ sh²y= sh²x+ ch²y= ch(x+y) ch(x−y) ; (2) shx+ shy= 2 shx+y

2 chx−y

2 ; (3) chx−chy= 2 shx−y

2 shx+y 2 . Exercice 39

Etudier les variations et tracer les graphes des fonctions suivantes :´ (1)f(x) = th1

x ; (2)g(x) =xth1

x ; (3) h(x) = thx− 1 chx. Exercice 40

R´esoudre le syst`eme :

½chx+ chy= 3 shx+ shy= 2. Exercice 41

Calculer ch(¹₂ln 3) et sh(¹₂ln 3).

Utiliser le résultat pour trouver les solutions réelles de l’équation : 2 ch(x) + sh(x) =√

3 ch(5x).

(5)

Fonctions réciproques en trigonométrie et trigonométrie hyperbolique Exercice 42

Calculer :

a) Arcsin Ã

−

√3 2

!

b) Arcsin sin(2π

3 ) c) sin Arcsin(1

5) d) Arctan tan(π

7) e) Arctan tan(82π 11 ).

Exercice 43

Calculer Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3.

Exercice 44

Calculer, lorsque cela est possible, Arccos(−^√₂³), cos(Arccos10), Arccos(cos^5π₄ ).

Etudier les variations de la fonction´ f(x) = Arccos(cosx).

Exercice 45

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies pour tout r´eel leur donnant un sens ? et pour les autres, pour quels r´eels sont-elles vraies ?

sin(Arcsinx) =x; Arcsin(sinθ) =θ; tan(Arctanx) =x; Arctan(tanθ) =θ ; sh(Argshx) = x ; Argsh(shu) = u; th(Argthx) = x ; Argth(thu) = u.

Exercice 46

Soitgla fonction d’une variable r´eelle d´efinie par : g(x) = Arctan

µ1 +x 1−x

¶ . 1) Pr´eciser l’ensemble de d´efinition deg

2) Calculer la fonction d´eriv´ee deg.

3) Montrer que pourx <1, on a :

g(x) = Arctanx+π 4. Exercice 47

Trouver le domaine de d´efinition, puis ´etudier les variations des fonctions suivantes : f(x) = Arcsin

µ 2x 1 +x²

¶

, g(x) = Arcsin(Arcsinx)

Exercice 48

D´emontrer que Arctanx+ Arctan(¹_x) = ^π₂ pour toutx >0. Que peut-on dire pourx <0 ? Exercice 49

Soitf : R\ {−√ 2,√

2} →Rla fonction d´efinie par :

f(x) = Arctan(x−1) + Arctan(x+ 1)−Arctan µ 2x

2−x²

¶ .

Etudier les propri´et´es de´ f et tracer son graphe.

Exercice 50

Trouver la dérivée de la fonctionf(x) = Arcsin(2x²−1) et expliquer le résultat obtenu. Même question avec la fonction

f(x) = Arctanx²−2x−1 x²+ 2x−1.

(6)

Etudier, sur l’ensemble o`´ u elles sont définies (et qu’on précisera) les fonctions suivantes, puis tracer leurs courbes représentatives :

(1)f(x) = Arctan x

1−x² ; (2)g(x) = Arcsin 2x

1 +x²−2 Arctanx; (3)h(x) = ch³

Argshp x²−1´

; (4)k(x) = Arcsin(2x−1) + 2 Arctan

r1−x x . Exercice 52

Les ´equations suivantes ont-elles des solutions ? Si elles existent, les d´eterminer.

Arccosx+ Arctanx= 0, Arcsinx+ Arctan1 3 = π

4, Arccosx+ Arctan1 2 =π.

Exercice 53

Résoudre, pour une inconnue x variant dans l’ensemble des réels pour lesquels l’équation à un sens les

´equations suivantes :

(1) 2 Arcsinx= Arcsin(2xp

1−x²) ; (2) Arctan(x−1) + Arctanx+ Arctan(x+ 1) = π

2. Exercice 54

Etablir les formules suivantes, valables pour tout´ xdans le domaine de d´efinition des fonctions qui y appa- raissent :

(1) Argchx= ln(x+p

x²−1) ; (2) Argshx= ln(x+p

x²+ 1) ; (3) Argthx=1

2ln1 +x 1−x. Exercice 55

1) Trouver les r´eelsxtels que 2Argshx+ Argth¹₂ = Argch 3.

2) R´esoudre l’´equation Argchx= Argsh (x−2).

(7)

Alg`ebre lin´eaire Exercice 56

Lesquels de ces ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels deR²? 1) L’ensembleD1engendr´e par le vecteur (2,3).

2) L’ensembleD2={(x, y)∈R²|3x−2y= 0}.

3) L’ensembleD3={(x, y)∈R²|3x−2y= 1}.

4) L’ensembleD4={(x, y)∈R²|x²+y²−3x+ 4y= 0}.

5) L’ensembleD5={(x, y)∈R²|x²+y²<1}.

6) L’ensembleD6={(α,2α)|α∈R}.

7) L’ensembleD7={(x, y)|x≥0, y≥0}.

8) L’ensembleD8={(x, y)∈R²|9x²+ 4y²−12xy= 0}.

Exercice 57

Lesquels de ces ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels deR³? 1) L’ensembleE1={(α, β,0)|α∈R, β∈R}.

2) L’ensembleE2={(x, y, z)|xy+yz+z+x= 0}.

3) L’ensembleE3={(x, y, z)|x+y+z= 0}.

4) L’ensembleE4={(x, y, z)|x+y+z= 1}.

5) L’ensembleE5={(x, y, z)|sinx+ siny+ sinz= 0}.

Exercice 58

1) a) Soitxun r´eel. Discuter selon la valeur dexde ce que vaut le sous-espace vectoriel Vect(x) duR-espace vectorielRengendr´e parx.

b) En d´eduire la description compl`ete des sous-espaces vectoriels deR.

2) a) Soit (a, b) et (c, d) deux vecteurs deR²non colinéaires l’un à l’autre (c’est-à-dire tels que pour tout λréel, on ait (a, b)6=λ(c, d) et (c, d)6=λ(a, b)).

Montrer que le sous-espace vectoriel duR-espaceR²engendré par (a, b) et (c, d) est égal àR². b) En déduire la description complète des sous-espaces vectoriels deR².

Exercice 59

On poseu= (1,4,3), v= (0,2,1) etw= (3,1,−1).

1) Montrer que (u, v, w) est libre dansR³.

2) Montrer que (u, v, w) est un système générateur deR³(sans utiliser la théorie de la dimension).

Exercice 60

DansR³, on consid`ere les vecteurs :

u= (1,−1,1),v= (0,−1,2), w= (1,−2,3).

1) La famille (u, v, w) est-elle libre ?

2) SoitF le sous-espace vectoriel engendr´e par (u, v, w). Donner une base deF.

3) SoitG={(x, y, z)∈R³|x+ 2y+z= 0}. Montrer queGest un sous-espace vectoriel deR³, puis que F =G.

Exercice 61

DansR⁴, on consid`ere les vecteurs :

v1= (1,2,0,1), v2= (1,0,2,1), v3= (2,0,4,2),

w1= (1,2,1,0),w2= (−1,1,1,1),w3= (2,−1,0,1),w4= (2,2,2,2).

1) D´emontrer que les familles (v1, v2) et (w1, w2, w3) sont libres.

2) SoitF le sous-espace vectoriel engendré par (v1, v2, v3). Déterminer une base deF. 3) SoitGle sous-espace vectoriel engendré par (w₁, w₂, w₃, w₄). Déterminer une base deG.

(8)

DansR³, déterminer la nature géométrique et une base de chacun des sous-espaces vectoriels suivants : 1)E1={(x, y, z)∈R³ | 2x+y+z= 0},E2={(x, y, z)∈R³ | 2y−z= 0}, et enfin

E3={(x, y, z)∈R³ | 2x+y+z= 0 et 2y−z= 0}.

2)F1 = {(x, y, z) ∈ R³ | x+ 2y +z = 0}, F2 = {(x, y, z) ∈ R³ | x+y = 0 et y+z = 0} et enfin F3=F1∩F2.

Exercice 63

Dans ce qui suit, on note (x1, x2, x3) un vecteur quelconque deR³. On appelle :

F1le sous-espace deR³ d’´equationx1+x2−3x3= 0.

F2le sous-espace deR³ engendr´e par les trois vecteursa= (3,0,1), b= (2,1,1) etc= (1,2,1).

F3le sous-espace deR³ caractérisé par les équations :

(x1+x2−3x3= 0 x1−x2−x3= 0 . F4le sous-espace deR³ caractérisé par les équations :







x1+x2−3x3= 0, x1−x2−x3= 0

x₁−2x₃= 0 .

F5le sous-espace deR³ engendr´e par les deux vecteursb= (2,1,1) etd= (0,1,0).

1) D´eterminer des bases respectives des cinq espacesF₁,F₂, F₃,F₄et F₅.

2) Pour chacune des inclusions énumérées ci-dessus, dites (et justifiez) si elle est vraie ou non : a) F1⊂F2? b) F2⊂F1? c) F3⊂F5? d) F5⊂F3? e) F3⊂F1? f) F1⊂F3? g) F3⊂F4? h) F4⊂F3? Exercice 64

Le vecteur (1,2,3) est-il ou non dans le sous-espace de R³engendr´e par la famille suivante : ((1,1,1),(−2,1,7),(1,−1,5),(2,1,−1)) ?

Exercice 65

On notecanla base canonique deR³, etele triplet (e1, e2, e3) o`u

e₁= (1,2,0), e₂= (1,1,1), e₃= (−1,0,−3).

1) Montrer queeest une base deR³. 2) Soitxle vecteur de matrice



1 2 3



danse. Expliciter la matrice dexdanscan.

3) Soity le vecteur de matrice



1 2 3



danscan. Expliciter la matrice dey danse.

Exercice 66

1) Montrer que la réunion de deux sous-espaces vectorielsF etGd’un mêmeRⁿ peut ne pas être un espace vectoriel.

2) SoitF etGdeux sous-espaces vectoriels d’un mˆemeRⁿ, tels queF 6⊂GetG6⊂F.

Montrer queF∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel deRⁿ.

(9)

Exercice 67

Montrer que les deux familles de vecteurs suivantes :

((1,2,−1,3),(2,4,1,−2),(3,6,3,−7)) et ((1,2,−4,11),(2,4,−5,14)) engendrent le mˆeme sous-espace vectoriel deR⁴.

Exercice 68

On noteH le sous-espace deR⁴ engendr´e par les vecteurs :

u= (1,2,3,0) etv= (1,0,−1,5).

1) Donner une base deH.

2) Compl´eter explicitement cette base deH en une base deR⁴. Exercice 69

SoitE={(x, y, z, t)∈R⁴|x= 2y−zet t=x+y+z}.

Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR⁴et en d´eterminer une base.

Exercice 70

Soit e = (e1, e2, e3) une base de R³. Soit m un r´eel et soit les vecteurs u1, u2, . . . , u3 de R³ ayant pour coordonn´ees danseles matrices respectives :

mate(u1) =



1 1 0



 mate(u2) =



m 0 m



 et mate(u3) =



 0 m

3



.

Discuter, en fonction de la valeur du param`etrem, si (u1, u2, u3) constitue ou non une base deR³. Exercice 71

u1= (1,1,1,1),u2= (1,−1,1,−1),u3= (1,3,1,3), u4= (1,2,0,2),u5= (1,2,1,2), u6= (3,1,3,1).

SoitF le sous-espace vectoriel engendr´e par (u1, u2, u3) etGle sous-espace vectoriel engendr´e par (u4, u5, u6).

D´eterminer une base deF, deG, deF+G, de F∩G.

Exercice 72

a1= (0,1,1,1), a2= (1,0,1,1), a3= (1,1,0,1), a4= (1,1,1,0).

SoitF le sous-espace vectoriel engendr´e par (a1, a2) et Gcelui engendr´e par (a3, a4).

Montrer queR⁴=F⊕G.

Exercice 73

DansR⁴, on consid`ere les vecteurs : u1= (2,3,0,−1), u2= (1,0,0,1), u3= (0,1,0,0), u4= (1,2,2,1).

SoitF le sous-espace vectoriel engendr´e par (u1, u2) etGle sous-espace vectoriel engendr´e par (u3, u4).

D´eterminer les sous-espacesF∩Get F+G.

Exercice 74 Mˆeme exercice avec :

u1= (1,0,0,1), u2= (5,3,0,5), u3= (−1,−1,1,0), u4= (0,0,1,1).

(On donnera une base deF∩Get une repr´esentation cart´esienne deF+G).

Exercice 75

DansR⁴ on note E={(x, y, z, t)∈R⁴ | x+y+z = 0 etx−y+t= 0}, F la droite de base (1,2,1,0) et Gla droite de base (0,0,1,1).

Montrer queE⊕F⊕G=R⁴.

(10)

DansR⁴, on notea= (1,−1,1,2), b= (0,1,−1,3),c= (0,1,0,−1) etd= (2,2,−1,12).

On noteF = Vect(a, b) etG= Vect(c, d).

1) a) (a, b, c, d) est-il une base deR⁴? b) A-t-onF+G=R⁴?

c) D´eterminerF∩G.

d) D´eterminer une base deF+G.

2) On notee= (0,0,0,1), etD la droite engendr´ee pare.

a)eest-il ´el´ement deF+G? b) Montrer que (F+G)⊕D=R⁴. Exercice 77

On consid`ere les deux sous-ensembles suivants deR⁴:

E={(x, y, z, t)∈R⁴|x+ 4y−5z−2t= 0}et F ={(x, y, z, t)∈R⁴|3x−y+t= 0}

1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel de R⁴; on admettra sans le d´emontrer queF est ´egalement un sous-espace vectoriel deR⁴.

2) D´eterminer une base deE, puis une base de F.

3) D´eterminer une base deE+F.

4) D´eterminer une base deE∩F.

5) Soit (f1, f2, f3) la base deF d´etermin´ee au 2). Expliciter un vecteur f4 tel que la famille (f1, f2, f3, f4) soit une base deR⁴.

Exercice 78

Soita= (1,2,3,4) etb un autre vecteur deR⁴, non donné par l’énoncé. Il est toutefois précisé queb n’est pas colinéaire àa(autrement dit, queaet bne sont pas proportionnels).

On note E = {(x, y, z, t) ∈ R⁴|x+y−z−6t = 0} et F le sous-espace de R⁴ engendr´e par a et b (on admettra sans le d´emontrer queE est un sous-espace vectoriel deR⁴).

1) D´eterminer les dimensions respectives deE et de F.

2) Montrer que dim(E∩F)6= 0.

3) Montrer queE∩F 6=F. 4) D´eterminer dim(E∩F).

Exercice 79

Soitnun entier etF,Get H trois sous-espaces deRⁿ tels que :

F∩G=F∩H, F+G=F+H, G⊂H.

Montrer queG=H.

Exercice 80

Soitnun entier naturel, et soitF,Get H trois sous-espaces deRⁿ. 1) Montrer l’inclusion :

(F∩G) + (F∩H)⊂F∩(G+H).

Expliciter un exemple montrant que cette inclusion peut ˆetre stricte.

2) Montrer l’´egalit´e :

(F∩G) + (F∩H)⊂F∩[G+ (F∩H)].

(11)

Manipulations ´el´ementaires sur les matrices Exercice 81

On consid`ere les matrices suivantes :

A=

µ1 2 3 4 5 6

¶

B= (α β γ) et C=



a b c





Parmi les produitsAB,BA,AC,CA,BC,CB lequels ont un sens ? Calculez les.

Exercice 82

On consid`ere la matrice suivante :

D=





√1

2 − 1

√2

√1 2



.

CalculerD³⁵.

Applications lin´eaires Exercice 83

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont lin´eaires ? Justifier la r´eponse.

1)f:R³→R³, f(x, y, z) = (x+ 1, y+ 1, z+ 1) ; 2)f:R³→R, f(x, y, z) =x+y+z;

3)f:R³→R, f(x, y, z) =xyz;

4)f:R³→R³, f(x, y, z) = (10,100,1000) ; 5)f:R³→R, f(x, y, z) =x²+y²+z²; 6)f:R→R³, f(x) = (x,2x,7x) ; 7)f:R²→R³, f(x, y) = (sinx,cosy).

Exercice 84

Soitf l’application deR² versR⁵ d´efinie pour tousα,β r´eels par :

f[(α, β)] = (α+ 2β,−2α+ 3β, α+β,3α+ 5β,−α+ 2β).

1) Montrer quef est une application linéaire ; écrire sa matrice dans les bases canoniques deR² etR⁵. 2) Déterminer Kerf et préciser sa dimension.

3) D´eterminer Imf et pr´eciser sa dimension.

Exercice 85

DansR³, on consid`ere les vecteurs :

u= (2,1,−1),v= (1,−1,3) etw= (3,3,−5).

On noteF le sous-espace engendr´e par (u, v, w).

1) D´eterminer une base deF.

2) Soitf l’application deR³ vers lui-même définie pour tous réelsα, β etγ par : f[(α, β, γ)] = (3α+γ, α−β+γ,−3α−3β+γ).

Montrer quef est un endomorphisme deR³.

3) D´eterminer une base de Kerf et une base de Imf; pr´eciser rgf. 4) A-t-onR³= Kerf⊕Imf?

5) Les vecteursu,v etwsont-ils des éléments de Imf? 6) Déterminer une base et la dimension deF∩Imf.

(12)

Soitu:R²→R²l’application d´efinie pour tout (x, y)∈R²par : u(x, y) = (4x−5y,3x−4y).

1) Montrer queuest lin´eaire et expliciter sa matrice dans la base canonique deR². 2) Montrer queuest bijective.

3) Expliciter la r´eciproqueu⁻¹. Exercice 87

Soitnun entier etE un sous-espace vectoriel deRⁿ; soit (e1, e2, e3) une base deE.

Soitul’endomorphisme de E d´efini par :

u(e1) =−e1+e2+e3, u(e2) =e1−e2+e3, u(e3) =e1+e2−e3. On note enfinF={x∈E|u(x) =x},G={x∈E|u(x) =−x}et H={x∈E|u(x) =−2x} 1) ´Ecrire la matrice deudans la base (e1, e2, e3) deE.

2) Montrer queF, Get H sont des sous-espaces vectoriels deE, et d´eterminer une base de chacun d’entre eux.

3) Montrer queE=F⊕H. D´eterminer une nouvelle base (f1, f2, f3) deE telle que : u(f1) =f1, u(f2) =−2f2, u(f3) =−2f3. Ecrire la matrice de´ udans la base (f1, f2, f3) deE.

4) Montrer queuest bijective.

Exercice 88

Soitu:R³→R³l’endomorphisme d´efini par : pour tout (x, y, z)∈R³,

u(x, y, z) = (−y+ 2z,2x−3y+ 4z, x−y+z) et soitv=u+Id_R³.

1) D´eterminer une base de Keru.

2) Quel est le rang deu?

Déterminer une représentation cartésienne de Imu.

3) ´Ecrire la matrice de v dans la base canonique deR³. Quel est le rang de v? Quelle est la dimension de Kerv?

4) Montrer que pour toutxde Kerv,u(−x) =x; en d´eduire que Kerv⊂Imu, puis que Kerv= Imu.

5) Montrer que Kerv∩Keru={0}.

6) Montrer que pour toutx∈Keru,u³(x) =u(x), et que pour toutx∈Kerv, u³(x) =u(x).

7) Montrer queu³=u.

Exercice 89

1) Déterminer l’ensemble des application linéaires surjectives deR⁴ versR⁶. 2) Déterminer l’ensemble des applications linéaires injectives deR⁴ versR³. 3) Déterminer l’ensemble des applications linéaires injectives deRversR⁴. Exercice 90

Soitnun entier etE un sous-espace vectoriel deRⁿ; soituun endomorphisme deE.

On noteE1={x∈E | u(x) =x}etE−1={x∈E | u(x) =−x}.

Montrer que Keru,E₁ etE₋₁ sont en somme directe.

(13)

Exercice 91

Soitn≥1 un entier, etE₁,E₂,E₃ trois sous-espaces deRⁿ tels que : Rⁿ =E₁⊕E₂⊕E₃. Soitf1,f2 etf3trois endomorphismes de Rⁿ tels que

Imf1=E1, Imf2=E2, Imf3=E3

Montrer que :

Ker(f1+f2+f3) = Kerf1∩Kerf2∩Kerf3. Exercice 92

Soitnun entier etE un sous-espace vectoriel deRⁿ; soit (e1, e2, e3, e4) une base deE.

Soitul’endomorphisme de E d´efini par :

u(e1) =e2+e3, u(e2) =−e1−e2+e4, u(e3) =e1+e2−e4, u(e4) =−e1+e3+e4. 1) Pour chacun des vecteursei de la base (e1, e2, e3, e4), calculeru²(ei) (o`u on noteu²=u◦u). En d´eduire que Imu⊂Keru.

2) On posef1=u(e1) etf2=u(e4). Montrer que (f1, f2) est une base de Imu.

3) Montrer que Imu= Keru.

4) On posef3=e1+e4et f4=e1−e4. SoitF le sous-espace deE engendr´e par (f3, f4).

Montrer queF∩Imu={0}.

En déduire que la restrictionu|F deuà F est une application linéaire bijective de F sur Imu.

Montrer queE= Imu⊕F. En d´eduire que (f1, f2, f3, f4) est une base deE.

5) Pour un vecteurxdeE´ecrit dans la base (f1, f2, f3, f4) sous la forme : x=λ1f1+λ2f2+λ3f3+λ4f4

exprimeru(x) dans cette mˆeme base.

Exercice 93

Soitul’endomorphisme de R³dont la matrice dans la base canonique est :

A=



1 1 −1 2 2 −3

0 0 1



.

1) Montrer, en calculant le moins possible, que Keruest une droite.

2) D´eterminer une baseade Keru.

3) On noteb= (1,1,1) etc= (1,2,0). Montrer que (a, b, c) est une base deR³ et expliciter la matrice deu dans la base (a, b, c).

4) On noteE le sous-espace vectoriel deR³engendr´e parb etc.

a) On notev la restriction deu, deE versR³. Expliciter la matrice dev dans (b, c) et (a, b, c).

b) Montrer que cela a un sens de consid´erer l’applicationw, restriction deudeE versE, et expliciter la matrice dew dans la base (b, c).

(14)

Exercice 94

1) Donner un exemple d’endomorphismef deR² tel que Kerf = Imf.

2) Soitnun entier etEun sous-espace vectoriel deRⁿetf un endomorphisme deE. Montrer l’´equivalence : Kerf = Imf ⇐⇒ f◦f = 0 et dimE= 2 rg(f).

Exercice 95

Soitnun entier etE un sous-espace vectoriel deRⁿ; soitf un endomorphisme deE.

1) Montrer les inclusions :

Im(f◦f)⊂Imf et Kerf ⊂Ker(f ◦f).

2) Montrer l’´equivalence :

Im(f◦f) = Imf ⇐⇒ Ker(f◦f) = Kerf.

3) Montrer l’´equivalence :

Ker(f◦f) = Kerf ⇐⇒ E = Kerf⊕Imf.

Exercice 96

Soitn1et n2deux entiers et E,F deux sous-espaces vectoriels respectifs deRn1 etRⁿ². 1) Soitf etg deux applications lin´eaires deE dansF.

Montrer que :

|rg(f)−rg(g)| ≤rg(f+g)≤rg(f) + rg(g).

2) Soituetv deux endomorphismes deE.

a) On suppose queu◦v= 0 et queu+v est bijectif.

Montrer que :

rg(u) + rg(v) = dimE.

b) Montrer que :

dim[Ker(u◦v)]≤dim[Keru] + dim[Kerv].

En d´eduire que :

rg(u◦v)≥rg(u) + rg(v)−dimE.

Exercice 97

Soitn1, n2 et n3trois entiers et E,F et Gtrois sous-espaces vectoriels respectifs deRⁿ¹,Rⁿ² etRⁿ³. Soitf une application lin´eaire deE versF etg une application lin´eaire deEversG.

Montrer l’´equivalence de : (i) Kerg⊂Kerf.

et

(ii) Il existe une application lin´eairehdeGversF telle quef =h◦g.

(15)

Calcul de primitives Exercice 98

Calculer, sur un intervalle où le calcul est valable, les primitives des fonctions rationnelles suivantes (sauf indication expresse de l’énoncé, il n’est pas demandé d’expliciter l’intervalle sur lequel on calcule) :

a)

Z x²

1 +x²dx b)

Z x

x²−3x+ 2dx c)

Z 1

x(x−1)(x−2)dx d)

Z x⁴

x³−3x+ 2dx e)

Z dx

x²+ 4 f)

Z x

x²−4x+ 9dx g)

Z dx

x³−1 h)

Z x² (x²−1)²dx i)

Z dx

x⁵⁰⁰(x−1) j)

Z (x⁵+x+ 1)dx

x⁴(x−1)³ k)

Z dx

(x²+ 1)² l)

Z µ 1 + 1

x

¶₂₀₀₆ dx x² m)

Z 6x²+ 2

x⁴+x²+ 1dx n)

Z x²+x+ 1

x²−x−1dx o)

Z dx

4x²+ 4x+ 5 p)

Z 5x x⁴+ 1dx q)

Z 2x+ 1

(x²+x+ 3)²dx r)

Z 2x+ 4

x³+ 5x²+ 9x+ 5dx s)

Z x⁵

(x³+ 1)(x³+ 8)dx t)

Z 7

(x+ 1)⁷−x⁷−1dx.

Exercice 99

Et maintenant, faites en autant pour les fonctions suivantes : a)

Z

sin²x dx b)

Z

Arctanx dx c) Z

(x³+ 1)e^−xdx d) Z

ln(x²+ 2)dx e)

Z e^Arcsinx

√1−x²dx f) Z

x√

1 +x dx g)

Z √ x+x²

x⁴ dx h)

Z √₃ x−x³

x⁴ dx i) Z p

1−x²dx j)

Z 1 +x+x²

√1−x² dx k)

Z dx x+√

x²−1 l)

Z dx cos²xsin²x m)

Z sinx

1 + cosx+ cos 2xdx n)

Z 1−cos(x/3) sin(x/2) dx o)

Z dx

2 + cosxsur ]−π, π[ p)

Z dx

2 + cosxsurR.

Exercice 100

1) D´ecomposer la fonction rationnelleF(x) = 2

(x²+ 1)(x−1) en ´el´ements simples.

2) Quelles sont les primitives deF sur ]− ∞,1[ ?

3) On noteGla fonction de ]0, π[ versRd´efinie pour touttde ]0, π[ par : G(t) = 2 sin(2t)

(cos²(2t) + 1)(cos(2t)−1).

En effectuant un changement de variables, pr´eciser l’ensemble des primitives deG.

Exercice 101 1) Calculer

Z dx

x²−√ 2x+ 1.

2) En effectuant un changement de variable, d´eduire de la question 1 le calcul de

Z dx

x²+√ 2x+ 1. 3) D´ecomposer la fonction rationnellef(x) =x²+ 1

x⁴+ 1 en ´el´ements simples, sachant que x⁴+ 1 = (x²−√

2x+ 1)(x²+√

2x+ 1).

4) Déduire de ce qui précède une primitive de la fonctionx7→ x²+ 1 x⁴+ 1.

(16)

On se propose de calculer :

Z dx

2√

1−x²+ 1−x².

1) Si on ne se veut pas spécialement astucieux, quel changement de variable fera-t-on pour commencer ? Une fois ramené à une intégrale contenant des fonctions trigonométriques, par quel changement de variable poursuivra-t-on ?

2) a) Montrer que faire successivement les changements de variablex= cosθ puist= tan(θ/2) revient `a poser directementt=

√1−x² 1−x .

b) Intepréter géométriquement t comme l’opposé de la pente d’une droite et tenter de donner une justification géométrique au a).

3) Agissez maintenant ! Faites-le, ce changement de variable t =

√1−x²

1−x , et menez `a terme le calcul de primitive demand´e.

Exercice 103

Calculer les primitives suivantes : a)

Z ϕ dϕ

cos²ϕ b)

Z 1 +e^t

e^2t−2e^t+ 1dt c)

Z cos√

√ x

x dx d)

Z

ln³t dt e)

Z cosθ

1 + sin²θdθ f) Z

shxsinx dx g)

Z dx

x³√

49−x² h)

Z rt+ 7 t+ 6dt i)

Z x dx

√x+ 2 +√

x+ 1 j)

Z x²

(xsinx+ cosx)²dx k)

Z (x²+ 1)dx x√

x⁴−x²+ 1 l)

Z e^xdx (3 +e^x)√

e^x−1 Exercice 104

Soit trois nombres r´eelsa,betc(aveca6= 0). Donner, en fonction du signe deaet de celui du discriminant b²−4acune expression pour

Z dx

√ax²+bx+c.

Exercice 105 Pourn≥0, soitIn=

Z _π/2

0

sinⁿx dx.

1) CalculerI0 etI1.

2) Montrer que pourn= 2kpair

I2k =1×3× · · · ×(2k−1) 2×4× · · · ×(2k)

π 2 et que pourn= 2k+ 1 impair

I2k+1= 2×4× · · · ×(2k) 3×5× · · · ×(2k+ 1) 3) Montrer queIn est une fonction d´ecroissante den.

4) Montrer que quandk→+∞

2 1 ×2

3×4 3×4

5 ×6 5×6

7× · · · × 2k

2k−1× 2k 2k+ 1 →π

2 (c’est la “formule de Wallis”).

(17)

Equations diff´´ erentielles Exercice 106

Résoudre, sur un intervalle adapté au calcul où toutes les fonctions detfigurant dans l’équation sont défnies, les équations différentielles suivantes (la variable estt, l’inconnue esty) :

a) y⁰+ 2y=t²+t b) y⁰−y= sint

c) 2y⁰+ 3y=t²e^t d) y⁰−y=t²sht

e) t²y⁰−y= 0 f) (1 +t²)y⁰+ty= 2t²+ 1 g) (1 +t²)y⁰+ty−2t= 0 h) y⁰+ytant= sin 2t

i) ty⁰+ (1 +t)y=e^t j) (t²−1)y⁰+ty=√ t²−1

k)ty⁰−2y= lnt l) 2ty⁰−3y=√

t m) t(t−1)y⁰−(2t−1)y+t²= 0 n) t(t²−1)y⁰+ 2y=t²

o) (t+ 1)y⁰−ty=t²−1 p) y⁰+ 6

t+ 2y= 1 (t+ 2)² q)ty⁰−(1 +t)y+ (t²+ 1)e^t= 0 r) y⁰+ 2ty= 1.

Exercice 107

Résoudre l’équation différentielle|t|y⁰+y=t², d’abord surR^+∗, puis surR^−∗, et enfin surR.

On tracera l’allure des solutions.

Exercice 108

Résoudre les équations différentielles suivantes :

a) y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y= 0 b) y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y= 0 c) y⁰⁰−6y⁰+ 9y= 0.

Pour chacune d’entre elles, tracer succinctement l’allure des divers types de solutions.

Exercice 109

a) y⁰⁰−4y⁰=e^2t b) y⁰⁰−4y⁰+ 4y=te^2t c) y⁰⁰+y⁰+y= cos(3t).

Identifier pour chacune d’entre elles la solution v´erifianty(0) = 0,y⁰(0) = 1.

Exercice 110

a) y⁰⁰+y⁰= cos²t b) y⁰⁰+y⁰−2y= cost+t⁵ c) y⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^tsin 3t d) y⁰⁰−2y⁰+y=e^t(t²+ 1).