B On désigne parRle corps des nombres réels, parCle corps des nombres complexes et parK l’un de ces deux corps lorsqu’on ne souhaite pas le préciser

Préambule : notations et rappels Notations

B On désigne par N l’ensemble des entiers naturels, par N^∗ l’ensemble des entiers naturels strictement positifs et parZl’anneau des entiers relatifs.

B On désigne parRle corps des nombres réels, parCle corps des nombres complexes et parK l’un de ces deux corps lorsqu’on ne souhaite pas le préciser.

B Simetnsont deux entiers relatifs, on pose [[m;n]]={k∈Z;m6k6n}.

B Pournentier naturel non nul, on noteS_nle groupe des permutations de [[ 1 ;n]].

B SiEest unK-espace vectoriel, on noteL(E) l’ensemble des endomorphismes deEet GL(E) le groupe des endomorphismes inversibles.

B Pour une famille (u₁, . . . ,u_k) de vecteurs deE, on note Vect (u₁, . . . ,u_k) le sous-espace vectoriel deEengendré par cette famille.

B Soitnun entier naturel non nul. On noteM_n(K) laK-algèbre des matrices (n,n) à coefficients dansKetInla matrice identité dansM_n(K).

B On note GL_n(K) le groupe multiplicatif des matrices inversibles, O_n(K) celui des matrices orthogonales et SOn(K) le groupe des matrices orthogonales de déterminant égal à 1.

B On note T⁺_n(K) le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures inversibles et T⁻_n(K) le groupe multiplicatif des matrices triangulaires inférieures inversibles.

B Soitnun entier naturel non nul etA∈ M_n(K).

Pouri∈[[ 1 ;n]], on noteL_ilai-ème ligne de la matriceA. Pourj∈[[ 1 ; n]], on noteC_jlaj-ème colonne de la matriceA.

B Soit n un entier naturel non nul et (i,j) ∈ [[ 1 ;n]]². On note E_i,j la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient situé à lai-ème ligne et à la j-ème colonne qui vaut 1.

Par exemple lorsquen=2, on a : E_1,1 =

1 0 0 0

, E_1,2= 0 1

0 0

, E_2,1= 0 0

1 0

etE2,2= 0 0

0 1

.

Rappels et compléments sur les actions de groupe (pour la partie IV)

B Soient (G,∗) un groupe dont l’élément neutre est notéeetXun ensemble non vide. On appelle actiondeGsurXtoute application :

G×X −→ X (g,x) 7−→ g·x vérifiant les deux propriétés suivantes :

1. ∀x∈X, e·x=x

2. ∀g,h∈G, ∀x∈X, g·(h·x)=(g∗h)·x

Lorsque l’on dispose d’une telle action, on dit que le groupeGagitsur l’ensembleX.

B Pour toutx∈X, on désigne parOxl’orbitedex. Par définition : Ox={y∈X, ∃g∈G, y= g·x}.

On rappelle que la relation binaire R, définie sur X par xRy ⇔ y ∈ Ox, est une relation d’équivalence surX.

B Lestabilisateurd’un élémentxdeXest le sous-groupe deGdéfini par : Stab_x ={g∈G, g·x=x}.

B On dit qu’une action est transitive (ou que le groupeG agit transitivement sur X) lorsque l’action ne possède qu’une seule orbite. Autrement dit :

∀(x,y)∈X×X, ∃g∈Gtel que y= g·x.

B On dira qu’une action estfidèle(ou que le groupeGagit fidèlementsurX) lorsque l’intersection de tous les stabilisateurs est le sous-groupe{e}:

\

x∈X

Stabx={e}.

Partie I : drapeaux de sous-espaces vectoriels

Dans toute cette partie,Eest un espace vectoriel de dimension finien(n>1) surK(on rappelle que Kdésigne indifféremment le corps des réels ou des complexes).

Soitp∈N^∗. Une famille (E_i)_06i6pde sous-espaces vectoriels deEest appelée drapeau si elle vérifie : {0}=E₀ (E₁(· · ·(E_p=E

En particulier pour tout entiericompris entre 0 etp−1,E_iest un sous-espace vectoriel strict deE_i+1. On dit qu’un drapeau (E_i)_06i6pesttotallorsquep=n.

1. Soit (e₁, . . . ,en) une base deE. On poseE₀={0}et,∀j∈[[ 1 ;n]], E_j=Vect (e₁, . . . ,e_j).

Montrer que (Ei)₀₆i6nest un drapeau total deE.

Etant donné un drapeau total (E_i)_06i6n, on dit qu’une base (e₁, . . . ,e_n) deEestadaptéeà ce drapeau si∀j∈[[ 1 ;n]], Ej =Vect (e1, . . . ,ej).

2. Montrer que tout drapeau total admet une base adaptée.

3. Soit (E_i)_06i6nun drapeau total deE. Montrer que siEest un espace euclidien, alors il existe une base orthonormée deEadaptée au drapeau.

Soitu∈L(E). On dit qu’un drapeau (E_i)_06i6nest stable parulorsque, pour touti∈ [[ 0 ;n]], le sous- espaceE_iest stable paru.

Dans la suite de cette partie,udésigne un endomorphisme deE.

4. On suppose dans cette question uniquement que u est diagonalisable. Montrer qu’il existe un drapeau total deE, stable paru.

5. On suppose dans cette question uniquementque u est nilpotent d’indice n, c’est-à-dire que u vérifieuⁿ=0_L(E)etuⁿ⁻¹,0_L(E).

(a) Soitk∈[[ 1 ;n]] etx∈Etel queuⁿ⁻¹(x),0. Montrer que la famille (u^n−j(x))_j∈[[ 1 ;k]]est libre.

(b) Montrer que (Keruⁱ)_06i6n est un drapeau total de E, stable par u. Construire une base adaptée à ce drapeau.

6. Montrer queuest trigonalisable si et seulement siEadmet un drapeau total stable paru.

7. Montrer à l’aide des questions précédentes que siEest euclidien et queuest trigonalisable, alors il existe une base orthonormée deEdans laquelle la matrice deuest triangulaire supérieure.

Partie II : des groupes quotients

Dans cette partie, on désigne par G un groupe dont la loi est notée multiplicativement et H un sous-groupe deG. On note 1_Gl’élément neutre deG.

On rappelle que sig∈G, on désigne pargHl’ensemble appeléclasse à gauche: gH={gh, h∈H}.

De manière analogue, on appelle l’ensembleHgune classe à droite.

On rappelle que la relation binaire définie par : g₁Rg₂ ⇔ g₂ ∈ g₁Hest une relation d’équivalence, dont les classes sont les ensembles du typegHet que l’on désigne parG/Hl’ensemble quotient pour cette relation.

On dit que le sous-groupeHest distingué dansGlorsque :∀g ∈G, gH =Hg. On note dans ce cas H/G. On remarquera queH/G⇔ ∀g∈G, g⁻¹Hg⊂H.

8. SoitH/G.

(a) Montrer que G/H peut être muni d’une structure de groupe en considérant la loi de composition?définie par (g₁H)?(g2H)=g₁g2H.

On expliquera pourquoi on a bien défini ainsi une loi de composition interne sur G/H.

(b) Montrer que l’application π : G → G/H définie pour tout g ∈ Gpar π(g) = gHest un morphisme de groupe surjectif.

9. On désigne dans cette question parTU_n⁺(K) le groupe des matrices triangulaires supérieures dont tous les coefficients diagonaux valent 1.

(a) Montrer queTU⁺_n(K)/T⁺_n(K).

(b) A-t-onTU⁺_n(K)/GLn(K) ?

10. SoitH un sous-groupe quelconque deG. On suppose queG/H est un ensemble fini à deux éléments. Montrer queH/G.

11. Dans cette question uniquement, on poseA=

0 −1

1 0

etB=

0 1 1 0

. On désigne par

∆ =

I₂,A,A²,A³,B,AB,A²B,A³B .

(a) Vérifier queA³B=BA, et montrer que∆est un sous-groupe de GL₂(R).

(b) On définitΓ =<A>le sous-groupe de∆engendré parAetR=<B>le sous-groupe de

∆engendré parB. Montrer que∆/Γest un groupe, isomorphe àR.

(c) Existe-t-il un isomorphisme entre les groupes∆etΓ×R?

SoientHetKdeux sous-groupes quelconques deG. Pour toutg∈ Gon appelle double classe de g relative aux sous-groupesHetKl’ensemble :

HgK=

hgk, (h,k)∈H×K .

Dans la suite,HetKétant fixés, on parlera simplement de « la double classe d’un élément de G ».

12. (a) Montrer qu’une double classe est une réunion de classes à gauche, et aussi une réunion de classes à droite.

(b) Montrer que les doubles classes relatives aux sous-groupesHetKconstituent une partition deG.

Partie III : décomposition de Bruhat et matrices Dans cette partie,Eest unK-espace vectoriel de dimensionn(n∈N^∗).

On munitEd’une baseB=(ε1, . . . , εn).

13. Pourσ∈S_n, soitu_σl’endomorphisme deEdéfini par l’égalité :

∀i∈[[ 1 ;n]], u_σ(εi)=ε_σ(i)

etP_σsa matrice dans la baseB. Une telle matriceP_σest appelée matrice de permutation.

(a) Dans cette question uniquement,σest len-cycle (1,2, . . . ,n). Expliciter la matriceP_σ.

(b) Soitσ∈S_n. On noteσ=c₁. . .c_k une décomposition deσen cycles de supports disjoints, oùk∈N^∗.

Exprimer la matriceP_σen fonction des matricesPc_j pour j∈[[ 1 ;k]].

(c) Montrer queP_σ∈On(R).

(d) À quelle condition surσla matriceP_σappartient-elle à SOn(R) ? 14. Pourλ∈Ket (i,j)∈[[ 1 ;n]]², on noteT_i,j(λ) la matriceI_n+λE_i,j.

Pourλ∈Keti∈[[ 1 ;n]], on noteD_i(λ) la matriceI_n+(λ−1)E_i,i. SoitA∈ M_n(K).

(a) Montrer que la matriceTi,j(λ)Aest obtenue à partir deAen effectuant l’opération élémen- taireL_i ←L_i+λLj.

(b) De manière analogue, donner les opérations élémentaires à effectuer pour obtenir les matricesD_i(λ)A,AT_i,j(λ) etAD_i(λ).

(c) Donner les opérations élémentaires à effectuer pour obtenir les matricesP_i,jAetAP_i,j, où P_i,jdésigne la matriceP_σlorsqueσest la transposition (i,j). Expliquer sans démonstration comment obtenirP_σAetAP_σà partir deA, lorsqueσ∈S_nest une permutation quelconque.

15. SoientUetVdeux matrices triangulaires supérieures inversibles et soientσetσ⁰deux permu- tations.

On suppose queP⁻_σ¹UP_σ⁰ =V. Montrer queσ=σ⁰.Indication :On pourra considérer le coeffi- cient d’indice (σ(j),j) deP_σV, où j∈[[ 1 ;n]].

16. SoitA∈GLn(K) une matrice inversible.

(a) Montrer qu’il existe une matrice triangulaire supérieureUne comportant que des 1 sur la diagonale, une matrice triangulaire supérieureVet une matrice de transpositionP_σtelles queA =UP_σVet que cette écriture peut être obtenue à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de la matriceA.On appelle cette écriture décomposition de Bruhat de la matrice A.

(b) Montrer que la matriceP_σde la question précédente est uniquement déterminée parA.

Le résultat de la question 16 permet donc d’affirmer que GLn(K)⊂ [

σ∈S_n

T_n⁺(K)P_σT_n⁺(K).

Nous admettrons par la suite que cette inclusion est une égalité.

17. Déterminer la décomposition de Bruhat d’une matrice A = a b

c d

∈ SL₂(K) i.e. telle que ad−bc=1.

Jusqu’à la fin de cette partie, on se place dans le cas où K = C et on munitM_n(C) d’une norme quelconquek · k.

Lesmineurs principauxd’une matriceA =(a_i,j)_{(i,j)∈[[ 1 ;n]]}2 ∈ M_n(C) sont les déterminants des ma- trices extraites (ai,j)_(i,j)∈[[ 1 ;k]]²pour toutk∈[[ 1 ;n]], ces matrices étant obtenues en ne conservant que leskpremières lignes etkpremières colonnes de la matriceA.

18. On considère les deux propositions ci-dessous, oùA∈ M_n(C) :

B (E₁) : la matriceAs’écrit comme produit d’un élément deT⁻_n(C) et d’un élément deT_n⁺(C), B (E₂) : les mineurs principaux deAsont tous non nuls.

(a) Montrer que siAsatisfait la propriété (E₁) ou la propriété (E₂) alorsA∈GLn(C).

(b) À l’aide d’une décomposition par blocs, montrer que (E₁)⇒(E₂).

(c) En procédant par récurrence, montrer que (E₂)⇒(E₁).

19. Montrer que l’ensemble des matrices qui vérifient la condition (E2) est un ouvert de GLn(C).

Indication: on pourra considérer pourk∈[[ 1 ;n]] l’applicationϕkdeM_n(C) dansCqui à une matriceA, associe son mineur principal d’ordrek.

20. Soitτ∈S_ndéfinie, pour toutk∈[[ 1 ;n]], par : τ(k)=n−k+1.

(a) Montrer que :P_τT_n⁺(C)P_τ =T_n⁻(C), où P_τT⁺_n(C)P_τ désigne l’ensemble

P_τUP_τ,U∈T⁺_n(C) . (b) Montrer que P_τT_n⁺(C)P_τT⁺_n(C) =

P_τUP_τV, (U,V)∈T⁺_n(C)×T⁺_n(C) est un ouvert de GLn(C).

(c) Montrer queP_τT_n⁺(C)P_τT⁺_n(C) est dense dans GLn(C).

(d) Montrer que l’application :

GLn(C) −→ GLn(C) A 7−→ P_τA réalise un homéomorphisme.

(e) En déduire queT_n⁺(C)P_τT_n⁺(C) est un ouvert dense de GL_n(C). Que peut-on affirmer sur la topologie de l’ensemble [

σ∈S_n σ,τ

T⁺_n(C)P_σT_n⁺(C) ?

Partie IV : décomposition de Bruhat et drapeaux

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N^∗.

On noteDl’ensemble des drapeaux totaux deEet∆l’ensemble des bases deE.

Dans cette partie, on désigne parδl’application de∆à valeurs dansDqui, à une baseB=(e₁, . . . ,en), associe le drapeau total (Vect (e₁, . . . ,e_i))_i∈[[ 1 ;n]].

21. Montrer que le groupe linéaire GL(E) agit fidèlement et transitivement sur l’ensemble∆par : g·(e_i)_i∈[[ 1 ;n]]= g(e_i)

i∈[[ 1 ;n]]. 22. Montrer que GL(E) agit transitivement sur l’ensembleDpar :

g·(E_i)_i∈[[ 1 ;n]]= g(E_i)

i∈[[ 1 ;n]]

et que les actions définies dans cette question et la question précédente sont compatibles, c’est-à-dire que :

∀B∈∆, ∀g∈GL(E), δ(g·B)=g·δ(B).

Dans la suite de la partie,viale choix d’une base B0 = (ε1, . . . , εn), on identifieEàKⁿet le groupe linéaire GL(E) à l’ensemble GL_n(K) des matrices inversibles.

23. Montrer que le stabilisateur deδ(B0) s’identifie au sous-groupeT_n⁺(K) des matrices triangulaires supérieures inversibles.

24. On définit la relation R sur GL_n(K) par : M R N si et seulement si M⁻¹N ∈ T_n⁺(K), pour M,N∈GLn(K). Montrer queRest une relation d’équivalence.

PourM∈GL_n(K), on noteMla classe deMdans l’ensemble quotient GL_n(K)/T⁺_n(K).

25. On considère l’applicationϕsuivante :

GL_n(K)/T_n⁺(K) −→ D

M 7−→ ϕ(M)=M·δ(B0) (a) Montrer queϕest bien définie.

(b) Montrer queϕest une bijection de GL_n(K)/T⁺_n(K) surD. 26. Montrer que pour toutXetYde GLn(K), on aϕ(XY)=X·ϕ(Y).

On considère l’action du groupe GL_n(K) sur l’ensemble GL_n(K)/T⁺_n(K) ×GL_n(K)/T⁺_n(K) définie par A·(X,Y)=(AX,AY).

27. SoientXetYdans GL_n(K). À l’aide de la décomposition de Bruhat, montrer qu’il existeσ∈S_n etT₁∈T_n⁺(K) tel que (X,Y)=XT₁·(I_n,P_σ), et queσest unique.

28. En déduire le nombre d’orbites dans l’action de GLn(K) sur GLn(K)/T⁺_n(K)×GLn(K)/T⁺_n(K).

FIN DU SUJET